Параметры задачи

Ресурсы	Запасы	Продукты
		Шкаф	Тумба
ДСП	350	3,5	1
Стекло	240	1	2
Труд	150	1	1
Прибыль		200	100

В колонке "Запасы" запишем предельный расход ресурсов (ДСП, стекла и количества человеко-дней), которые ежедневно может позволить себе начальник цеха.

В колонках "Шкаф" и "Тумба" (продукты, которые может вы­пускать цех) запишем расход имеющихся ресурсов на единицу про­дукции (т.е. сколько требуется ДСП, стекла и труда на один шкаф и на одну тумбу).

Наконец, на пересечении колонок "Шкаф" и "Тумба" и стро­ки "Прибыль" запишем величины прибыли от продажи одного шкафа и одной тумбы.

Определим теперь все элементы математической модели дан­ной ситуации: переменные решения, целевую функцию и ограничения (табл. 5.2).

В данном случае очевидно, что переменные решения (иначе - неизвестные), которые может задавать начальник цеха и от кото­рых зависит целевая функция (прибыль) цеха, - это количество шкафов и тумб, выпускаемых цехом ежедневно. Обозначим эти переменные соответственно Х₁ и Х₂.

Таблица 5.2

Элементы модели

Переменные решения	Целевая функция
X1 - количество шкафов X2 - количество тумб, производи­мых ежедневно	P = 200 × X1 + 100 × Х2 Ежедневная прибыль цеха
Ограничения
3,5 × X1 + 1 × Х2 ≤ 350 1 × Х1 + 2 × Х2 ≤ 240 1 × Х1 + 1 × Х2 ≤ 150 X1, Х2 ≥ 0

Рассмотрим ситуацию в банке, при которой требуется найти оптимальное решение в условиях полной определенности.

Инвестиционный отдел банка рассматривает множество возможных проектов вложения денег на следующий год I₁, I₂, ... I_n. Каждый проект в конце года должен принести определенную прибыль р₁, p₂, ... р_п. Аналитик банка приписал количественные индексы надежности каждому проекту r₁, r₂, ... r_п. Кроме того, каждый проект I_i в течение следующего года требует определенного ежемесячного финансирования е_i¹, е_i² ... ei¹². Банк рассчитывает, Что его денежные поступления в следующие 12 месяцев составят S₁, S₂, ... S₁₂. Какие проекты выбрать, а какие отвергнуть, чтобы средневзвешенная надежность инвестиционного портфеля R была максимальной, прибыль Р - не ниже заданного предела и чтобы планируемого притока наличности хватило для финансирования отобранных проектов?

Понятно, что в реальной ситуации при планировании инвестиционного портфеля совершенно необходимы расчет рисков, вероятностные оценки различных случайных факторов. Однако если считать, что такой расчет рисков проводился при определении индексов надежности проектов r₁, r₂, ... r_п, а также если пренебречь вероятностью сильных вариаций планируемых ежемесячных денежных потоков S₁, S₂, ... S₁₂, получится модель, в которой все известно и осталось только из множества приличных проектов выбрать набор наилучших для банка.

Задачу линейного программирования можно решить с помощью надстройки Поиск решения в среде MS-Excel, используя технологии, описанные в [Зайцев, Орлова].

Теория игр исследует оптимальные стратегии в ситуациях игрового характера. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наивыгоднейших производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т.д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого [Лабскер, Бабешко].

Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечные – функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличение запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором – стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно, возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций – с другой стороны.

Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонии, а затем и в других областях хозяйственной деятельности.

Например, организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них (в том числе и «механических») наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах (по групповому и внутригрупповому ассортименту). Надлежит выбрать такой оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество  высоким, не будет излишних народнохозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи. При этом различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.

Систему массового обслуживания с неявными потерями (правило очередей) можно показать на примере обслуживания рабочих необходимым инструментом (из обособленных кладовых промышленного предприятия).

Допустим, что в инструментальной кладовой работают два кладовщика. Требуется определить, в какой мере они своевременно обеспечивают заявки на обслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очереди за инструментом дороже, чем дополнительное содержание еще одного или двух кладовщиков? Для решения данной задачи необходимы прежде всего хронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени. Если хронометраж осуществлялся в течение 10 дней каждые 15 мин за смену (кроме начала и конца рабочего дня), то за этот отрезок времени было произведено 300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10). Время наблюдений (7) составит 4500 мин (15 • 300). Причем таких промежутков, когда на склад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось, приход двух рабочих отмечался один раз, трех - три раза и т. д. (табл. 5.3).

Таблица 5.3