2. Применение экономико-математических методов

при решении аналитических задач

Математика подобна мясорубке, она может переработать любое мясо, но для того, чтобы получить хорошие котлеты, нужно и хорошее мясо.

Гексли

Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа, повышает эффективность анализа деятельности предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.

Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на научно обоснованную классификацию методов и задач анализа и методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов. Используя только два признака классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы:

1. оптимизационные точные методы;

2. оптимизационные приближенные методы;

3. неоптимизационные точные методы;

4. неоптимизационные приближенные методы.

К оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся отдельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Математическое моделирование экономических явлений и процессов является важным инструментом экономического анализа. Оно дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Модель  условный образ объекта управления (исследования). В экономическом анализе используются главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств.

Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа [Баканов]:

1. Анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели.

2. Определение методов, с помощью которых можно решить задачу.

3. Анализ полученных результатов.

Основная особенность стохастического факторного анализа заключается в том, что при его проведении нельзя составлять модель путем качественного (теоретического) анализа, необходим количественный анализ эмпирических данных.

В экономических исследованиях нашли применение следующие математико-статистические методы стохастического моделирования хозяйственных явлений и процессов:

• оценка связи и корреляции между показателями;

• оценка статистической значимости связей;

• регрессионный анализ;

• выявление параметров периодических колебаний экономических показателей;

• группировка многомерных наблюдений;

• дисперсионный анализ;

• современный факторный (компонентный) анализ;

• трансформационный анализ.

Математический аппарат вышеперечисленных экономико-статистических методов нашел достаточное отражение в учебниках по теории статистики [Боровков, Елисеева, Ефимова, Ионин, Шмойлова].

Необходимость включения математико-статистических методов в методику анализа хозяйственной деятельности предприятий зависит от значимости решаемых при помощи данных методов количественных (статистических) задач.

Можно выделить следующие наиболее типичные классы задач в экономическом анализе [Баканов]:

1. Изучение наличия, направления и интенсивности связи экономических показателей.

2. Ранжировка и классификация факторов экономических явлений.

3. Выявление аналитической формы связи между показателями.

4. Сглаживание (выявление тренда) динамики изменения уровня показателей.

5. Выявление параметров закономерных периодических колебаний уровня показателей.

6. Ранжировка и классификация предприятий и их подразделений.

7. Изучение размерности (сложности, многогранности) экономических явлений.

8. Выявление наиболее информативных (обобщающих) синтетических показателей.

9. Изучение внутренней структуры связей в системе экономических показателей.

10. Сравнение структуры связей в разных совокупностях.

При анализе временных рядов широко применяются графические методы. Это объясняется тем, что табличное представление временного ряда и описательные характеристики не позволяют понять характер процесса, а по графику временного ряда можно сделать определенные выводы, которые потом могут быть проверены с помощью расчетов:

наличие тренда и его характер;

наличие сезонных и циклических компонент;

степень плавности или прерывистости изменений последовательных значений ряда после устранения тренда.

Так графический анализ ряда обычно задает направление его дальнейшего анализа. В MS-Excel для этого можно использовать средство Мастер диаграмм [Орлова].

В математически формализованной системе анализа, планирования и управления особое место занимают сетевые графики. Они дают большой экономический эффект при строительстве и монтаже промышленных и других предприятий. Применение сетевых графиков анализа, планирования и управления обеспечивает, как показывают многие примеры, сокращение сроков строительства на 20-30 %, повышение производительности труда на 15-20 %.

Приемы и алгоритмы нахождения критического пути и расчета соотношения «длительность/издержки» с помощью MS-Excel рассмотрены в [Зайцев]. В настоящее время на рынке программного обеспечения можно найти несколько программ, предназначенных для автоматизации процесса планирования, анализа и мониторинга проектов. Среди них MS-Project, Time Line, Primavera Project Planner, Spider Project, «Конвой». Краткое описание использования MS-Project приведено в [Зайцев].

Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.

С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача о смесях в металлургическом производстве (состав доменной и агломерационной шихты). Этим же методом решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. В качестве примера приведем формирование оптимизационной модели, адекватной реальному процессу текущего планирования выпуска продукции и использования ресурсов:

где X = (x₁, x₂, … x_n) – вектор выпуска n видов продукции; с_j – цена (прибыль) реализации единицы продукции; a_ij – норма затрат i–го вида ресурса в производстве j–го вида продукции; b_i – имеющийся в наличии запас i–го вида ресурса; d_j и d_j – соответственно нижняя и верхняя границы выпуска продукции, чаще всего нижняя граница – обеспечиваемый заказами минимальный выпуск продукции, а верхняя – выпуск продукции, предусмотренный производственной мощностью или прогнозируемой величиной продаж.

Допустим, нам необходимо составить оптимальный план выпуска продукции мебельного цеха. Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора.

На каждый шкаф расходуется 3,5 м стандартных ДСП, 1 м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. На тумбу - 1 м ДСП, 2 м стекла и 1 человеко-день трудозатрат.

Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у.е., а 1 тумбы -100 у.е.

Материальные и трудовые ресурсы ограниченны: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350 м ДСП и более 240 м стекла.

Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать прибыль максимальной?

Для формализации задачи прежде всего сведем данные - параметры, характеризующие работу цеха, - в следующую таблицу (табл. 5.1).

Таблица 5.1