2. Расчет балки

Определение усилий

Главные балки разрезных пролетных строений рассчитываются как изгибаемые элементы, загруженные следующими вертикальными, равномерно распределенными нагрузками:

• собственный вес g₁;

• вес балласта g₂;

• временная нагрузка v.

К указанным воздействиям при расчете на прочность вводятся коэффициенты надежности по нагрузке, а к временной нагрузке, кроме того, динамический коэффициент (1+μ) (см. табл. 2 – 4). При расчете на выносливость коэффициенты надежности по нагрузке не вводятся (_f=1), а к временной нагрузке вводится уменьшенный динамический коэффициент (1+2/3*μ), а также коэффициент ε, учитывающий исключение из рассмотрения особо тяжелого железнодорожного подвижного состава.

При расчете на раскрытие трещин все нагрузки вычисляются без коэффициентов надежности (_f=1), временные – с коэффициентом ε и без динамического коэффициента (1+μ=1).

Для определения внешних силовых факторов - изгибающего момента M и поперечной силы Q, действующих в различных поперечных сечениях балки, необходимо построить линии влияния этих воздействий.

Для построения огибающей эпюры M достаточно вычислить ее значения в середине пролета M_0,5 и в четверти M_0,25, а для поперечной силы – на опоре Q₀ и в середине пролета Q_0,5. Правила загружения линий влияния усилий в указанных сечениях и вид огибающих эпюр M и Q показаны на рис. 4. Более подробная информация по определению усилий в балках приведена в Методических указаниях Н.Н.Богданова и И.Ш.Гершуни¹.

Значения расчетных усилий записываются следующим образом:

M_0,5=(g₁*_f1+ g₂*_f2+ v_0,5/2*_f*(1+μ))*Ω_M0,5;

Q₀=(g₁*_f1+ g₂*_f2+ v₀/2*_f*(1+μ))*Ω_Q0;

Q _0,5=v_0,5/2*_f*(1+μ) *Ω_M0,5;

при расчете на выносливость

M'_0,5=(g₁+ g₂+ v_0,5/2*(1+2/3*μ)*ε)*Ω_M0,5;

при расчете на раскрытие трещин

M''_0,5=(g₁+ g₂+ v_0,5/2*ε)*Ω_M0,5;

Расчет балки на прочность (рис. 5,а)

g1 = 30,8 / 12,20 = 2,52 тс/пог.м балки; (вес блока)

g2 = 2 * 0,5 * 2,0 = 2 тс/пог.м балки; (балласт с частями пути)

g3 = 0,6 / 2 = 0,3 тс/пог.м балки. (тротуары)

v/2 = 10,59 тс/пог.м балки (λ = l = 11,5; α = 0,5).

M_0,5 = (2,52*1,1 + 2*1,3 + 0,3 * 1,1+ 10,59 * (1,3 - 0,003*11,5)* (1 + 10 /( 20 + 11,5)))*11,5^2/8 = 386,1 тс*м;

A_s = M_0,5 / (R_s * (h- h_f’/2 - a_s)) = 386,1*10^5 / (2550 * (105 – 18/2 – 16)) = 189,3 см²;

Принимаем 28 стержней d = 30 мм; A_s = 28* 3,141 * 3^2/4 = 197,9 см² (рис. 6);

A_s' = 24 * 3,141*1^2/4 = 18,8 см² (24 стержня, d = 10 мм; A-I ).

Находим высоту сжатой зоны x

R_s * A_s– R_b * b_f’ * x = 0;

x = R_s * A_s/(R_b * b_f') = 2550 * 197,9 / (205*208) = 11,83 см < h_f'

Сжатую арматуру в расчете не учитываем, поскольку x=11, 83 < 2 * a_s' = 18 см.

Расставляем рабочую продольную арматуру и уточняем положение ее центра тяжести относительно нижней грани сечения

a_s = 4,6+(5*(6,4+13,1+16,3+19,5) +3*(3,2))/28 = 14,82 см.

Проверка несущей способности сечения

M_lim = 208 * 11,83 *205 * (105 – 11,83/2 – 14,82) = 420,8 * 10^5 кгс*см = 425,1 тс*м > 386,1 тс*м. Проверка удовлетворяется

.

¹ Методические указания по определению нагрузок и усилий при составлении курсовых проектов

Рис. 4. Загружение линий влияния M и Q

Рис.5. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси

изгибаемой железобетонной балки, при расчете: a – на прочность; б – на выносливость

Рис.6. Площадь зоны взаимодействия Ar рабочей арматуры и

бетона ребра балки

Расчет балки на выносливость (рис. 5,б)

M_0,5' = (2,52 + 2+ 0,3 + 10,59 * (1 + 2/3 * 10 /( 20 + 11,5))*0,85)*11,5^2/8 = 260,0 тс*м;

x' = - (n' * A_s +(n’ - 1) * A_s' +(b_f’ – b) * h_f') / b + (((n' * A_s +(n' – 1) * A_s' +(b_f' – b) * h_f') / b) ^2 + (h_f' ^2 * ( b_f – b) + 2* n' * A_s * h_o + 2 *(n' – 1 ) * A_s' * a_s') / b)^0,5 =

= -(10 * 197,9 + (10 – 1) * 18,8 + ( 208 – 50) * 18) / 50 +( ((10 * 197,9 + (10 – 1) * 18,8 + ( 208 – 50) * 18) / 50)^2+(18^2 * (208-50) + 2 * 10 * 197,9 * (105 – 14,82) + 2*(10 – 1) * 18,8 * 8,5 ) /50)^0,5 = -99,84 + 134,62 = 35,02 см;

I_red = b_f' * x’^3 /3 – (b_f' – b) * ( x' – h_f')^3 / 3 + n' * A_s* (h - a_s – x')^2 + (n' – 1) * A_s’ *(x' – a_s')^2 = 208 * 35,02^3 / 3 – (208 - 50) * (35,02 – 18)^3 / 3 + 10 * 197,9 * (105 – 14,82 – 35,02 )^2 + (10 – 1) * 18,8 * (35,02 – 8,5) ^ 2 = 2917000 - 248800 + 5893000 + 116900 = 8858456 = 8,86 *10^6 см⁴;

ρ = M'_g/ M'_g+v = (2,52+2 + 0,3) / (2,52 + 2 + 0,3 + 10,59*(1+2/3*10 / (20+11,5))) = 0,273

m_b1 = 0,6 *β_b * ε _b = 0,6 * 1,26 * 1,086 = 0,821

σ_b'= M' / I_red * x' = 260,0 * 10^5 /(8,69 *10^6) * 34,7 = 103,8 < 0,821 * 205 = 168,3 кгс.см².

m_as1 = 0,792;

σ_s'= n^’ * M' / I_red * (h_f' – x' – a_u) = 10 * 260,0 * 10^5 / (8,86 *10^6)*(105 – 35,02 – 4,6) = 1919 < 0,792 * 2550 = 2020 кгс/см². Проверка удовлетворяется.

Здесь a_u - расстояние от нижней грани до оси ближайшего ряда арматуры.

Расчет наклонного сечения по поперечной силе (рис. 5,б)

Расчет по прочности наклонных сечений должен производиться:

а) на действие поперечной силы между наклонными трещинами;

б) по наклонной трещине (рис.7).

Рис.7. Схема усилий в сечении, наклонном к продольной

оси, при расчете на прочность на действие поперечной силы

Условие, обеспечивающее прочность по сжатому бетону между наклонными трещинами, имеет вид

Q ≤ 0,3* φ_w1 * (1-0,001 * R_b)* R_b *b *h_o,

где R_b – расчетное сопротивление бетона по сжатию в кгс/см²,

Q – расчетная поперечная сила.

Поперечная сила в опорном сечении составляет

Q_o = 2,52 * 1,1 *11,5/2 + 2 * 1,3 * 11,5/2 + 0.3 * 1.1 +(1,3 – 0,003 * 11,5)*(1+10 / (20 + 11,5)) * 10.59*11,5/2 = 132,7 тс.

Здесь эквивалентная временная нагрузка принята для коэффициента положения вершины линии влияния a=0,5 согласно примечанию к п.2* приложения 5* СНиП 2.05.03-84*. Примем диаметр хомутов d_sw = 14 мм класса A-II, четыре ветви в одной плоскости, шаг плоскостей хомутов 15 см . Расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до нижней грани сечения примем 6 см.

φ_w1 = 1+η * n₁ * μ_w = 1 + 5 * (2,1*10^6 / 367000) * 3,141*1,4^2/4 * 4 / (50 * 15) = 1,23;

Q_lim = 0,3* 1,23 * (1-0,001 * 205)* 205 *50 * (105 – 6) = 297,7 * 10^3 кгс = 297,7 тс > Q_o = 148,5 тс. Проверка удовлетворяется.

Условие прочности по наклонной трещине

Q ≤ Σ R_sw * A_si * sin α + Σ R_sw *A_sw + Q_b .

Примем, что наклонную трещину пересекает пять поперечных плоскостей хомутов, по четыре стержня в одной плоскости. Тогда

Σ A_sw = 5 * 4* 3,141*1,4^2/4 = 30,8 см² ;

Q_b = (2 * R_bt * b*h_o^2) / c = (2*13 * 50* (105-6,0)^2) / (105 – 6,0 – 5,0) = 135,5 * 10^3 кгс.

Здесь расстояние от центра тяжести сжатой зоны до верхней грани сечения принято 5 см, расстояние от центра тяжести арматуры до нижней грани сечения – 6 см, угол наклона трещины 45^о.

Q_lim = 2550 * 0,8 * 2 * 3,141 * 3^2/4 *0.707 + 2550 * 0,8 * 30,8 + 135500 = 218,9* 10^3 кгс = 218,8 тс > Q_o = 132,7 тс.