6. Непрерывные случайные величины

Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале (a; b), то такая случайная величина называется непрерывной.

Вернемся к стрелку, на примере которого мы вводили понятие дискретного распределения вероятностей. Тогда мы рассматривали результат его стрельбы в виде номера круга, в который он попал. Теперь же представим, что, попадая в мишень, стрела оставляет на мишени точку. Вероятность того, что стрела два раза попадёт в одно и то же место, очень мала, поэтому можно считать, что точки не пересекаются. Мы увидим примерно такую картинку.

Рисунок

Если разделить количество точек, попавших в небольшой квадрат площадью ΔS = ΔxΔy, на общее количество выстрелов, то получится вероятность попадания в выделенный квадрат. Запишем: 

Функция φ (x, y), которая входит в это равенство, называется плотностью вероятности. Домноженная на дифференциал площади, она равна вероятности попадания стрелка в бесконечно малую окрестность точки (x, y).

Если нам нужно будет узнать вероятность, с которой стрелок попадает в площадку мишени, на которой плотность вероятности нельзя считать постоянной, эту функцию придется интегрировать.

Плотность вероятности существует и для распределений, зависящих от одной переменной. Рассмотрим это на следующем примере.

Пусть x – это расстояние от точки, в которую попал стрелок, до центра мишени. Тогда p (dx) = φ (x) dx – вероятность попадания стрелком в окрестность dx точки x. Вероятность того, что стрелок «попадёт» в промежуток [x₁; x₂], 

Рисунок

Отсюда следует важное свойство плотности вероятности. Поскольку попадание случайной величины x в интервал (–∞; +∞) – событие достоверное, то справедливо свойство нормировки плотности распределения вероятности.

Пример 1

Для некоторого случайного процесса график зависимости плотности вероятности от значения переменной x выглядит следующим образом:

Рисунок

Найти величину a.

Решение

Если φ (x) – плотность распределения вероятности, то   В нашем случае  Следовательно,   Отсюда  Обратите внимание, что интеграл от функции равен площади под графиком функции. Следовательно, площадь под графиком функции плотности вероятности φ (x) равна единице. Ответ.

Математическое ожидание величины x для непрерывного распределения, задаваемого плотностью φ (x), определяется формулой 

а дисперсия – формулой 

Среднеквадратичное отклонение по-прежнему задается формулой 

Вообще, в том случае, если плотность распределения случайной величины x равна φ (x), математическое ожидание какой-либо функции f (x) этой случайной величины задаётся формулой 

1. Постоянное распределение

Распределение, частный случай которого приведён в примере 1, называется постоянным распределением. Его плотность принимает одно и то же значение   на некотором отрезке x   [a; b] и равна нулю вне этого отрезка. Учитывая свойство нормировки плотности распределения   становится ясно, что значение φ (x) полностью задаётся шириной отрезка [a; b].

Рисунок 4.3.7.4. Плотность вероятности постоянного распределения при a = 1, b = 5

Пример 2

Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение случайной величины x, а также среднее значение величины   для постоянного распределения 

Решение

Математическое ожидание для непрерывного распределения можно вычислить по формуле   В нашем случае   Этого и следовало ожидать: математическое ожидание величины x должно лежать в точности посередине отрезка [a; b]. Дисперсия  Среднеквадратичное отклонение   Наконец, среднее значение величины   равно  Ответ.

Пример 3

Вероятность того, что лампочка перегорит ровно через t дней, подчиняется закону p₀ (t) = 0,02 e^–0,02t. Найти вероятность того, что 100 дней лампочка будет работать безотказно.

Решение

Найдём сначала вероятность перегорания за 100 дней: Тогда вероятность безотказной работы Ответ. 0,135

Пример 5

Определите среднее значение скорости молекул газа, если закон распределения скоростей молекул задаётся формулой Максвелла 

Решение

Среднее значение скорости равно

Пример 6

Для данного выше распределения Максвелла вычислить дисперсию.

Решение

Имеем:  Ответ.