4. Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли

При решении задач теории вероятности часто возникают ситуации, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно, причем исход каждого испытания независим от исходов других и наступает с одинаковой вероятностью. Такой эксперимент называютсхемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Пусть некоторое событие А наступает в каждом испытании с вероятностью  (вероятность успеха). Обозначим за   вероятность того, что событие А не наступит в испытании (вероятность противоположного события, неудачи). Произведем n независимых испытаний. Тогда вероятность   того, что событие А в них наступило в точности k раз, можно найти по формуле Бернулли:

Вообще говоря, данную вероятность можно было вычислить непосредственно, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Но при достаточно большом количестве испытаний это трудоемкий путь. Формула Бернулли обобщает способ вычисления таких вероятностей и дает простой и удобный инструмент вычисления (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик).

Распределение числа успехов (появлений события А) носит название биномиального распределения.

Схема Бернулли позволяет установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наивероятнейшего числа появлений события А имеет вид:  . При этом число   может принимать либо одно значение   (когда   является целым числом), или два значения (когда целым является  ).

Пример. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель.

Решение. Подставляем в формулу Бернулли данные задачи   и получаем:

Пример. На склад из производственного цеха поступает в среднем 5% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей 2 будут нестандартными.

Решение. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность  , число деталей  . По формуле Бернулли находим для  :

5. Дискретные случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. руб. и десять выигрышей по 1тыс. руб. Найти закон распределения случайных величин Х - стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0,01, Р₂=10/100=0,1, Р₃=89/100=0,89. Напишем искомый закон распределения:

X	50	1	0
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁, х₂, х₃,...,х_n вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, p₃,...,p_n. Тогда математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:

M(x)=х₁p₁+х₂p₂+...+х_np_n

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: М(х)=3 .

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С.  2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)  3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)•M(Y).  4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. Математическое ожидание М(х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению этих испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(x) = np.

Пусть Х- случайная величина и М(Х) – ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х - М(Х).

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Отклонение имеет следующий закон распределения:

X-M(x)	X1-M(x)	X2-M(x)	...	Xn-M(x)
P	p1	p2	...	pn

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X-M(x)=0.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(x)=M[X-M(x)]² (2)

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X	1	2	5
P	0.3	0.5	0.2

Решение: Найдем математическое ожидание:  [X₁-M(x)]²=(1-2.3)²=1.69  [X₂-M(x)]²=(2-2.3)²=0.09  [X₃-M(x)]²=(5-2.3)²=7.29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[X-M(x)]2	1.69	0.09	7.29
P	0.3	0.5	0.2

По определению, D(x) = 1.69•0.3+0.09•0.5+7.29•0.2=2.01

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: 

D(x)=M(x²)-[M(x)]² (3)

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X	2	3	5
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Найдем математическое ожидание М(х): M(x)=2•0.1+3•0.6+5•0.3=3.5

Напишем закон распределения случайной величины X²

X2	4	9	25
P	0.1	0.6	0.3

Найдем математическое ожидание M(x²): M(x²) = 4•0.1+9•0.6+25•0.3=13.5

Искомая дисперсия D(x)=M(x²)-[M(x)]²=13.3-(3.5)²=1.05

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0  2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(Cx)=C²D(x)  3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X₁+X₂+...+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+...+D(X_n)  4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X)=npq

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

σ(X) = √D(X) (4)

Пример . Случайная величина Х задана законом распределения

X	2	3	10
P	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение σ(x)

Решение: Найдем математическое ожидание Х: M(x)=2•0.1+3•0.4+10•0.5=6.4  Найдем математическое ожидание X²: M(x²)=2²•0.1+3²•0.4+10²•0.5=54  Найдем дисперсию: D(x)=M(x²)=M(x²)-[M(x)]²=54-6.4²=13.04  Искомое среднее квадратичное отклонение σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:

 (5)

Пример. На полке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по физике. Выбирают наудачу три книги. Найти закон распределения числа книг по математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Введем дискретную случайную величину X = (Количество книг по математике среди 3 отобранных). X может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Найдем соответствующие вероятности (по формуле гипергеометрической вероятности).  X=0, если все три книги – не по математике. Вероятность  . X=1, если одна книга по математике и две – не по математике. Вероятность  . X=2, если две книги по математике и одна нет. Вероятность  . X=3, если все три книги – по математике. Вероятность  . Получаем закон распределения случайной величины X: x_i 0 1 2 3 p_i 1/20 9/20 9/20 1/20 Математическое ожидание равно

М(Х²) = 0²*1/20 + 1²*9/20 + 2²*9/20 + 3²*1/20 = 2,7

D(X)= М(Х²)- М(Х) ²= 2,7 – 1,5² = 0,45