2. Сложные проценты

Вопросы и термины, рассмотренные в течение изучения темы: Сложные проценты. Дисконтирование. Эффективная ставка.

При применении сложных процентов («процент на процент») база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего, а начисление процентов в последующем периоде производиться на эту, уже наращенную величину первоначального капитала.

Начисление процентов также может быть антисипативным (предварительным) и декурсивным (последующим).

Декурсивный метод расчета сложных процентов – начисление процентов на первоначальную величину производится в конце периода наращения. Наращенную сумму за весь период может быть получена по формуле:

S = P*(1 + i)ⁿ;

где P – сумма капитала, предоставляемого в кредит;

i – процентная ставка, выраженная в долях единицы (десятичной дробью);

n – срок ссуды в годах.

(1 + i)ⁿ – множитель наращения сложных процентов.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты. Если i_п = i_c, а срок ссуды менее одного года, то (1 + n*i_п) > (1 + i_c), где i_п и i_c ставки простых и сложных процентов. При сроке сделки больше года наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам: (1 + n*i_п) < (1 + i_c).

Часто срок финансовой сделки выражен дробным числом. В подобных случаях начисление процентов может выполнятся двумя методами:

а) по формуле сложных процентов: S = P*(1 + i) ^{a + b};

б) смешанным методом: S = P*(1 + i)^a*(1 + b*i);

где n = a + b – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

Если начисление процентов осуществляется несколько раз (m раз) в году (поквартально или ежемесячно), то для начисления процентов используется формула:

S = P*(1 + j / m)^n*m;

где j – номинальная годовая процентная ставка;

m – число периодов начисления процентов в году.

Эффективная ставка (EFR) при начислении сложных процентов m раз в году измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Т.е. она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m?

EFR = (1 + j / m)^m – 1.

Вычисление наращенной суммы на основе сложных антисипативных процентов. В общем виде формула наращенной суммы записывается:

S = P* (1/(1 – d)ⁿ),

где 1 / (1 – d)ⁿ – коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов;

d – учетная ставка процентов;

n – число лет.

При начислении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле:

S = P*	___1__	;
	(1 – f / m)n*m

где f – номинальная учетная ставка.

Дисконтирование по сложной процентной ставке осуществляется по формуле:

P =	_S_	;
	(1+i)n

где 1 / (1+i)ⁿ – дисконтный множитель. Значение его табулированы (см.приложения).

При начислении процентов m раз в году получим:

P =	S__	;
	(1 + j / m)n*m

Величину P, найденную путем дисконтирования величины S, называют текущей, современной или приведенной, величиной.

Дисконтирование по сложной учетной ставке. В учетных (дисконтных) операциях широко применяется сложная учетная ставка.

В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле:

P^’ = S*(1 – d_c)ⁿ;

где d_c – сложная учетная годовая ставка.

Дисконт вычисляется как разность: D’ = S – P’.

При дисконтировании m-раз в году используется номинальная учетная ставка. Расчет дисконтированной величины производиться по формуле:

P^’ = S*(1 – f / m)^n*m;

где f – номинальная учетная ставка.