5. Возведение в степень.
-
Целой положительной степенью
квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.
Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.
-
,
,
,
.
-
Обращаем внимание, что из равенства
еще не следует, что матрица А=0.
6. Транспонирование матрицы.Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров.
-
Транспонированная матрица обозначается
или
.
-
Пусть дана матрица А. Переставим строки со столбцами. Получим матрицу
.
-
(1.2)
-
будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.
Свойства операции транспонирования:
1.3 Определители квадратных матриц
Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, - тесно связано с решением систем линейных уравнений.
-
Определитель матрицы А обозначается det A или
или
.
-
Определителем матрицы первого порядка
, или определителем первого порядка, называется элемент
:
-
Например, пусть А=(3), тогда
Определителем матрицы второго порядка
или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
-
(1.3)
-
Произведения
и
называются членами определителя второго порядка.
-
Например, пусть
тогда
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
-
Определителем матрицы третьего порядка
или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
-
(1.4)
Правило треугольника, правило Сарруса.
Например,
Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, потребуются некоторые дополнительные понятия.
Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 1,2...n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ
обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 ? 2, 2 ? 1, 4 ? 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде
,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
-
.
(1.5)
где индексы q1, q2,..., qn составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (1.5) равен (- 1)q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем квадратной матрицы n-го порядка, или определителем n-го порядка, называется алгебраическая сумма n! членов вида (1.5), каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как
-
,где
- число инверсий в перестановке J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания:
-
,
(1.6)
где сумма берется по всем перестановкам J.
На практике при вычислении определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.
Пусть дана квадратная матрица А n-ого порядка.
Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель порядка (n-1), который получается из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, содержащих данный элемент.
-
Например, минором элемента
матрицы А третьего порядка будет:
-
Алгебраическим дополнением
элемента
матрицы n-го порядка называется его минор Mij, взятый со знаком (-1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij будем обозначать Aij. Таким образом,
-
(1.7)
Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.
-
Например,
;
.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема Лапласа. (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение ? по элементам i-й строки
-
(1.8)
или j- го столбца
-
(1.9)
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Определитель треугольной (и, очевидно, диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Значение теоремы Лапласа состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка.