3.2. Основные определения

Линейное пространство. Множество функций U образует линейное пространство, если для любой пары функций их сумма принадлежит U .

Норма функции. Нормой функции называется неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения функции от тождественного нуля. Причем выполнены три аксиомы нормы:

1.

2. , , а λ - произвольное число.

3. .

Линейный оператор. Оператор называется линейным, если выполнены следующие требования:

1. , а λ - произвольное число.

2. - свойство аддитивности.

Определение сходимости. Пусть требуется приближенно вычислить решение дифференциальной краевой задачи

(2.1)

поставленной в некоторой области G c границей Г, где L - дифференциальный оператор, u - точное решение задачи (2.1), f - правая часть. Для этого следует выбрать сетку дискретное множество точек , ввести линейное нормированное пространство функций определенных на сетке , ввести понятие таблицы точного решения на сетке . Для приближенного отыскания таблицы надо на основе задачи (2.1) составить разностное уравнение

(3.2)

относительно функции , чтобы имела место сходимость по норме

(3.3)

Если имеет место оценка нормы разности

,

то говорят, что сходимость порядка k относительно h.

Определение аппроксимации. Разностная задача (2.2) аппроксимирует исходную задачу (2.1), если в равенстве невязка стремится к нулю при : . Если

(3.4)

где C₂ не зависит от h , то аппроксимация имеет порядок k.

Определение устойчивости. Разностная краевая задача устойчива, если возмущенная разностная краевая задача имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие

, (3.5)

где C₃ – некоторая постоянная независящая от h, - решение исходной невозмущенной задачи (2.2), - ограниченное возмущение , а δ - некоторое ограниченное число. Неравенство (2.5) означает, что малое возмущение вызывает равномерно относительно h малое возмущение решения исходной задачи.

Для линейного уравнения условие устойчивости имеет вид

(3.6)

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует задачу на решении u с порядком k и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к , причем имеет место оценка

, где C₂ и C₃ – числа входящие в оценки (3.4) и (3.5).

Доказательство. Положим и . Тогда оценка (3.5) примет вид . Учитывая (2.4) получаем .

3. 3. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов

Необходимость замены производных при расчетах на ЭВМ вытекает из определения производной

В определении производной используется понятие континуального предела и понятие бесконечно малой величины ε. ЭВМ не работает с понятиями, она оперирует конечными двоичными числами и логическими переменными.

Рассмотрим процесс замены производных конечными разностями.

Аппроксимация простейших дифференциальных операторов.

- первая производная.

Для аппроксимации первой производной можно использовать три линейных разностных оператора

- правая разность, (3.7)

- левая разность, (3.8)

– центральная разность. (3.9)

Ответить на вопрос какая аппроксимация лучше, можно исследовав погрешность аппроксимации, то есть рассмотреть, как ведет себя при в рассматриваемой точке x разность .

Например, рассмотрим разность, определяющую погрешность аппроксимации первой производной

(3.10)

Для вычисления погрешности разложим u(x+h) в ряд по формуле Тейлора

(3.11)

Подставим этот ряд в (3.4) и получим разность

Отсюда видно, что разность при убывает как первая степень h, то есть аппроксимация первой производной правой разностью имеет первый порядок.

Аналогична погрешность и для левой разности. В случае же центральной разности погрешность будет пропорциональна h².

Говорят, что порядок аппроксимации дифференциального оператора в точке х равен k>0 , если в этой точке норма разности, определенная на решении дифференциальной задачи u,

(3.12)

Примеры простейших схем аппроксимации дифференциальных операторов.

Аппроксимация высших производных происходит по схеме. Например, третья производная

Рис.4. Схема аппроксимации оператора третьей производной.

где - любой известный линейный разностный оператор аппроксимирующий первую производную, определяемый соотношениями (3.7), (3.8), (3.9).

Рассмотрим аппроксимацию второй производной. Вторая производная аппроксимируется, согласно схеме изображенной на рис.4., следующим образом

(3.13)

Разность, определяющая погрешность аппроксимации

(3.14)

Разложим и в ряд Тейлора по степеням h

(3.15)

и подставим их в (3.14) получим разность

(3.16)

Погрешность стремится к нулю при пропорционально второй степени шага, следовательно, аппроксимация имеет второй порядок.

Данная аппроксимация второй производной имеет наибольшее распространение при аппроксимации дифференциальных уравнений второго порядка, поскольку имеет наибольший порядок аппроксимации из всех возможных аппроксимаций по схеме, показанной на рис.4.

Аппроксимация дифференциальных уравнений происходит по приведенной ниже схеме. Например, дифференциальное уравнение второго порядка

Рис.5. Схема аппроксимации одномерного дифференциального

уравнения.

Естественно аппроксимацию второй производной надо проводить по схеме (3.13), а аппроксимацию первой производной центральной разностью тогда порядок аппроксимации уравнения будет второй.

После проведения процедуры аппроксимации мы находим разностное уравнение, которое можно использовать для решения задачи на ЭВМ. Существует большое число разностных уравнений аппроксимирующих дифференциальное уравнение. Поэтому следует выбирать оптимальную разностную схему, то есть схема должна иметь наибольший порядок аппроксимации при наименьшем числе узлов сетки, которую она связывает и быть вычислительно эффективной и устойчивой.

Напомним, что из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует ее сходимость при к точному решению исходной задачи. Причем скорость сходимости по h равна порядку аппроксимации, а погрешность будет определяться соответствующей степенью шага h.