11.3. Понятие о проекционном методе Галеркина

Рассмотрим проекционный метод Галеркина решения уравнения теплопроводности.

Приведем проекционную постановку первой краевой задачи

(11.23)

Будем называть пробной функцией всякую непрерывную на кусочно-дифференцируемую функцию , обращающуюся; нуль при x = 0, . Множество всех пробных функций обозначим через . Умножив уравнение (11.23) справа на произвольную функцию и проинтегрировав полученное равенство по x от 0 до l, получим интегральное тождество

(11.24)

Итак, если функция u является решением дифференциального уравнения

(11.23), то она должна удовлетворять интегральному тождеству (11.24).

Таким образом, краевую задачу (11.23) можно сформулировать в следующей проекционной постановке. Требуется найти такую функцию u, которая удовлетворяет интегральному тождеству (11.24) для произвольной пробной функции и для которой выполнены краевые условия (11.23).

Приведем в качестве примера интегральное тождество

, (11.25)

соответствующее дифференциальному уравнению

(11.26)

Используя формулу интегрирования по частям (11.12) и учитывая, что , преобразуем выражение (11.25)

(11.27)

Отметим, что при замене уравнения (11.26) интегральным тождеством (11.27) отпадает необходимость рассматривать только лишь функции u, обладающие вторыми производными. Это обстоятельство играет важную роль при построении и исследовании методов решения рассматриваемой задачи, а также ряда других задач. Кроме того, проекционная постановка оказывается удобной при рассмотрении уравнений с разрывными коэффициентами.

Метод Галеркина. В методе Галеркина приближенное решение ищется в виде на всем отрезке

(11.28)

За приближенное решение принимается функция , удовлетворяющая интегральному тождеству

(11.29)

для любой функции пробной (базисной ) функции .

Для задачи (11.23) метод Галеркина с использованием интегрального тождества (11.27) приводит к следующей системе уравнений для определения коэффициентов

(11.30)

11.4. Понятие о проекционно-разностном методе конечных элементов

Как мы отмечали в предыдущих параграфах, системы уравнений, получаемые методом конечных разностей, обладает важным свойством, что матрицы коэффициентов, этих систем являются разреженными (более того, в рассмотренных примерах матрицы (трехдиагональными). Для решения таких систем разработаны эффективные методы (прогонка).

В общем случае применение метода Галеркина к решению краевых задач приводит к необходимости вычислять решения уравнений вида с заполненными (и зачастую плохо обусловленными) матрицами А. Современные варианты проекционных методов, объединяемые термином "метод конечных элемента свободны от указанного недостатка.

Метод конечных элементов представляет собой разновидность проекционных методов, основанную на специальном выборе базисных функций.

Отметим характерные черты метода конечных элементов, выделяющие его среди других проекционных методов.

1. Расчетная область (множество изменения независимой перемен- ной) разбивается на конечное число элементарных подмножеств стандартной формы (которые и называют конечными элементами).

1. Используемые базисные функции таковы, что они: на каждом элементе имеют простой вид (чаще всего — многочлены); отличны от нуля лишь на нескольких соседних элементах.

Покажем, как применяется метод конечных элементов к решению краевой задачи (11.23). Разобьем отрезок [0,l] точками, на M элементарных отрезков , длины . Причем в общем случае (неравномерная сетка). Таким образом, в роли конечного элемента выступает элементарный отрезок .

Введем базисные функции (шапочки) для j = 1, 2, 3, ….M- следующим образом

(11.31)

Введем также функции

(11.32)

(11.33)

Производные от базисных функций

(11.34)

Будем искать приближенное решение задачи в виде (11.28). Базисные функции обладают свойством . В силу этого и выражение (11.28) можно представить

(11.35)

Величины удовлетворяют системе уравнений (11.30). Заметим, что, базисные функции и и их производные одновременно могут быть отличны от нуля, только если . Поэтому при элементы

(11.36)

равны нулю.

Таким образом, для определения неизвестных получаем следующую систему уравнений с трехдиагональной матрицей

(11.37)

Коэффициенты - вычисляются с помощью выражения (11.36), но только на отрезке , где выражение (11.36) не равно нулю. Вычисление коэффициентов (интегрирование) по заданным коэффициентам уравнения теплопроводности (11.26) проводит или исследователь или ЭВМ. Желательно брать наиболее простые гладкие аппроксимации зависимостей коэффициентов уравнения (11.26) от координаты x, чтобы получить интеграл (11.36) в виде конечного числа элементарных функций или воспользоваться квадратурными формулами. Для случая гладких коэффициентов проблема интегрирования легко решается применением квадратурных формул. Например,

Систему уравнений (11.37) принято называть системой метода конечных элементов или проекционно-разностной схемой.

Решение нестационарных задач методом МКЭ встречает трудности, поэтому для решения нестационарных многомерных задач были разработаны более эффективные разностные схемы.