2.3. Погрешности арифметических операций
Абсолютная погрешность алгебраической суммы двух чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей обеих слагаемых
(2.7)
Доказательство. При доказательстве используется то, что модуль суммы не превосходит суммы модулей
В силу неравенства (2.7) можно положить условие для границ погрешностей
(2.8)
Для относительных погрешностей произведения и частного двух чисел справедливы оценки
(2.9)
(2.10)
Погрешность
вычисления функции. Пусть
функция трех переменных дифференцируемая
в области задания этих переменных.
Тогда
для оценки абсолютной погрешности при
приближенном вычисления функции
существует оценка
(2.11)
Если
,
то можно в силу оценки (2.11) положить
Погрешность
неявной функции. Нередко приходится
сталкиваться с ситуацией, когда функция
задана в неявном виде как решение
нелинейного уравнения
.
Для вычисления производной воспользуемся
известной формулой для производной
функции заданной неявно
Далее можно воспользоваться формулой (2.11).
2.4. Корректность вычислительной задачи
Постановка вычислительной задачи. Под вычислительной задачей будем понимать одну из трех задач, которые возникают при анализе математических моделей: прямую задачу, обратную задачу или задачу идентификации. Слово "вычислительная" подчеркивает, что основные усилия будут направлены на то, чтобы найти (вычислить) ее решение.
Будем
считать, что постановка задачи включает
в себя задание множества допустимых
входных данных
и множества возможных
решений
.
Цель вычислительной задачи состоит в
нахождении решения
по
заданному входному данному
.
Для
простоты понимания достаточно ограничиться
рассмотрением задач, в которых входные
данные и решение могут быть только
числами, наборами чисел (векторами,
матрицами,
последовательностями) и функциями.
Предположим, что для оценки величин
погрешностей приближенных входных
данных
и
приближенного решения
введены
абсолютные и относительные погрешности
,
,
,
,
а
также их границы
,
,
,
.
Определение корректности задачи. Анализ важнейших требований предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи, которое было впервые сформулировано Ж.Адамаром и развито затем И.Г.Петровским. Вычислительная задача называется корректной, если выполнены следующие требования:
1) ее решение существует при любых входных данных;
2) это решение единственно;
3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. В том случае, когда хотя бы одно из требований не выполнено, задача называется не корректной.
Существование решения вычислительной задачи — естественное требование к ней. Отсутствие решения может свидетельствовать, например, о непригодности принятой математической модели либо неправильной постановке задачи. Иногда отсутствие решения является следствием неправильного выбора множества допустимых входных данных X или множества возможных решений Y.
Единственность. Для некоторых вычислительных задач единственность является естественным свойством; для других же решение I и не быть единственным. Например, квадратное уравнение имеет два корня, а кубическое три. Как правило, если задача имеет реальное содержание, то неединственность может быть ликвидирована введением дополнительных ограничений на решение (т.е. сужением множества ). В некоторых случаях проблема снимается тем, что признается целесообразным найти набор всех решений, отвечающих входным данным X, и тогда за решение Y принимается этот набор. Например, для квадратного уравнения - решением можно назвать пару корней.
Неединственность решения вычислительной задачи — весьма неприятное свойство. Оно может быть проявлением неправильной постановки исходной прикладной проблемы, неоднозначности ее решения или неудачном выборе математической модели.
Устойчивость
решения.
Решение
у
вычислительной
задачи называется устойчивым
по входным данным X,
если
оно зависит от входных данных непрерывным
образом. Это означает, что для любого
существует
такое, что всякому исходному данному
,
удовлетворяющему условию
отвечает приближенное решение
,
для
которого
. Таким образом, для устойчивой
вычислительной задачи ее решение
теоретически можно найти со угодно
высокой точностью ε, если обеспечена
достаточно точность δ
входных
данных.
Пример
1. Покажем, что задача вычисления интеграла
от функции
устойчива
Пусть
приближенно заданная функция и
приближенное значение интеграла
Погрешность вычисления интеграла и ее оценка
Определим
погрешность задания функции как
.
Если
,
то
при выполнении условия
.
Пример 2. Покажем, что задача вычисления производной от функции заданной приближенно неустойчива.
Пусть
приближенно заданная функция, например,
.
Дополнительное слагаемое, является
возмущением и
малая величина, то есть исходная функция
возмущается мало.
Производная
.
Определим погрешность
определения
производной
и погрешность задания функции
.
Тогда имеет
и
,
то есть при как угодно малой погрешности
задания функции погрешность определения
производной сколь угодно большая.