2.2. Качественная характеристика физических величин. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности измерения и вычисления
На
этапе подготовки модели выявляются
основные "характеристики" явления,
которым сопоставляются некоторые
физические величины. Формализованным
отражением качественного различия
между физическими величинами служит
их размерность. Размерность обозначается
символом dim. Размерность основных
физических величин обозначаются
соответствующими заглавными буквами.
Для длины массы и времени, например,
Единицы измерения этих величин в системе
СИ
.
При определении размерности производных физических величин руководствуются следующими правилами:
1. Размерности левых и правых частей уравнения должны совпадать, так как приравниваться могут только одинаковые свойства.
Если в уравнении получается трансцендентная функция от размерной величины, то это означает, что допущена ошибка в преобразованиях.
2. Алгебра размерностей мультипликативная, то есть состоит только из
умножения и деления.
Например,
скорость определяется по формуле
,
то размерность
.
Ускорение
,
то размерность
.
Сила
,
то размерность
.
Единица измерения силы в системе СИ
ньютон [H],
а температуры в абсолютной шкале градус
Кельвина [K].
Анализ размерности важен при постановке проблемы (качественном анализе физической ситуации) и построении математической (модели особенно при поиске ошибок в уравнениях).
Далее встает вопрос о точности, то есть о мере уклонения решения (результата моделирования) от истинных значений. Для этого необходимо ввести основные понятия элементарной теории погрешностей.
1.
Абсолютная
и относительная погрешности. Пусть
-
точное вообще говоря, неизвестное
значение некоторой величины,
известное приближенное значение той
же величины (приближенное
число).
Погрешностью
(или как сейчас принято неопределенностью,
согласно ИСО) приближенного
числа
называют
разность
между
точным и приближенным значениями.
Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность
(2.2)
Однако
по величине абсолютной погрешности
далеко не всегда можно
тать правильное
заключение о качестве приближения.
Действительно если
,
то следует ли считать погрешность
большой или
можно признать ее малой?
Ответ существенным образом зависит от
принятых единиц измерения и масштабов
величин. Поэтому вводят понятие
относительной погрешности.
Относительная
погрешность (при
)
(2.3)
При фиксированной абсолютной погрешности относительная погрешность убывает с ростом , следовательно, измерения надо проводить при больших значениях измеряемой величины в конце шкалы прибора.
Использование
относительных погрешностей удобно, в
частности,
тем, что они не зависят от
масштабов величин и единиц измерения.
Так
как истинное значение
неизвестно,
то непосредственное вычисление
и
по формулам (2.2), (2.3) невозможно. Более
реальная
и часто поддающаяся решению задача
состоит в
получении
оценок погрешности вида
,
(2.4)
где
и
- известные величины,
получаемые в результате анализа процесса
вычисления или измерения.
Поскольку значение неизвестно, на практике применяют приближенные формулу для границ значений относительной погрешности и абсолютной погрешности, которые и принимают за величину погрешности
(2.5)
Формулы (2.4) позволяют оценить интервал, в котором находится точное значение
(2.6)