12. Понятие схем расщепления. Схема переменных направлений.

Разностные схемы расщепления – одно из важных средств при расчете решений многомерных нестационарных математической физики.

Идея метода расщепления заключается в сведении решения многомерной сложной задачи к решению набора безусловно устойчивых одномерных задач или к решению набора более простых задач, чтобы на интервале времени разделить действие различных факторов, влияющих на суммарный процесс. Для возникающих при этом сравнительно простых задач легче построить адекватные им разностные схемы.

Опишем далее схему расщепления сводящую решение двумерной нестационарной задачи к решению двух одномерных, безусловно устойчивых задач.

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности на плоскости xOy

(12.1)

Для двумерного уравнения теплопроводности придумана такая аппроксимация уравнения теплопроводности (12.1), которая совмещает безусловную устой чивость с возможностью построения эффективного вычислительного алгоритма решения уравнения. Эта конструкция (метод переменных направлений) – одно из важных изобретений в современных методах решения задач математической физики. Существенным ее элементом является прогонка. Вычисление проводится за два этапа по чередующимся формулам (сначала по координате x при фиксированном y – первая схема, а затем по координате y при фиксированном x - вторая схема).

Рассмотрим пару вычислений: пусть приближенное решение уравнения теплопроводности на слое известно.

Первый шаг . Используем начальное условие для нахождения решения первой вспомогательной схемы

, (12.2)

Вспомогательная схема (12.2) , аппроксимирует уравнение (12.1) с первым порядком по τ и со вторым по h₁ и h₂, причем производная по x аппроксимируется на слое , а производная по y на слое . Используя схему (12.2) и краевые условия вычислим прогонкой по x для всех фиксированных y промежуточную функцию .

Второй шаг . Используем начальное условие

для нахождения решения второй вспомогательной схемы

(12.3)

Вспомогательная схема (12.3) , аппроксимирует уравнение (12.1) с первым порядком по τ и со вторым по h₁ и h₂, причем производная по x аппроксимируется на слое , а производная по y на слое . Используя схему (12.3) и краевые условия вычислим прогонкой по y для всех фиксированных x промежуточную функцию .

Здесь h₁ и h₂ - шаги по координате x и координате y соответственно,

τ - шаг по времени.

Приближенное решение уравнения (12.1) на слое находится по формуле .

Исследуем устойчивость процесса вычисления. Для определения устойчивости нам надо найти параметр , связывающий и проверить выполнения условия . Для этого решение уравнений (12.2) и (12.3) будем искать в виде

(12.4)

где - числа, лежащие в интервале от 0 до 2π.

Подставляя выражения из (12.4) в (12.2) и (12.3) соответственно и проведя преобразования, получим

(12.5)

Или

(12.6)

Из первого соотношения в (12.4) и условия следует , а из второго соотношения (12.4) и условия следует или

. (12.7)

Произведение переводит решение со слоя n на слой n+1, а, значит, является показателем роста. Следовательно, устойчивость вычислительного процесса определяется произведением и если , то вычислительная схема будет устойчива. Из (12.6) видно, что это условие выполняется при любых , то есть схема переменных направлений, безусловно, устойчива. Кроме того она вычислительно эффективна поскольку использует две независимых прогонки. Рассмотрим далее применение схемы переменных направлений для решения уравнений Лапласа-Пуассона.

Метод установления. Схема переменных направлений позволяет решать стационарные уравнения Лапласа-Пуассона. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Пуассона и вспомогательное нестационарное уравнение

(12.8)

(12.9)

Разность определяет расхождение в решении задач (12.8) и (12.9) и удовлетворяет нестационарной задаче

(12.10)

Поскольку источники тепла, начальное условие и краевые условия не зависят от времени, то при разность w стремится к нулю. Причем если , то разность сразу. Следовательно, при решение нестационарной задачи (12.9) стремится к решению стационарной задачи (12.8). Для решения нестационарной задачи существует эффективная схема переменных направлений. Скорость, с которой стремится решение нестационарной задачи к решению стационарной задачи (12.8) определяется близостью начального условия к решению задачи (12.8). Поскольку решение задачи (12.8) неизвестно, то начальное условие обычно берут .