9. Численное моделирование краевых задач описывающих распространение тепла
9.1. Численное моделирование краевых задач описывающих стационарное распределение тепла
Рассмотрим одномерную задачу, описывающую стационарное распределение тепла в конечном стержне.
Данная задача описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:
(9.1)
и граничными условиями (третья краевая задача)
левое
краевое условие
(9.2)
правое
краевое условие
(9.3)
где
l
– длина стержня,
- действительные числа.
Аппроксимируем дифференциальный оператор (9.1) согласно рассмотренной выше схеме аппроксимации (рис. 5) следующим разностным оператором
(9.4)
где
-
операторы правой, левой и центральной
разности соответственно.
Раскроем результаты действия разностных операторов на функцию u(x)
(9.5)
или в упрощенной записи с помощью нижних индексов
(9.6)
Перепишем разностное уравнение (9.6) в каноническом виде
(9.7)
Проведем
аппроксимацию краевых условий (9.2), (9.3)
с первым порядком по h при
(9.8)
где M= l/h – число элементов сетки, на которые разбит отрезок длиной l.
Разностная схема (9.6) аппроксимирует дифференциальный оператор (9.1) со вторым порядком по h, а краевые условия (9.8) аппроксимируют краевые условия (9.2), (9.3) с первым порядком по h. Следовательно, можно сказать, что ожидаемая точность аппроксимации краевой задачи будет пропорциональна степени шага h не ниже первой.
В некоторых случаях аппроксимация краевых условий (9.8) может оказаться недостаточно точной. Поэтому применяют процедуру повышения точности аппроксимации. Так как
а вторая производная может быть найдена из уравнения (9.1) , то аппроксимация производной вида
дает второй порядок аппроксимации производной. Неизвестная первая производная в точке a может быть выражена из краевого условия (9.8). Например, левое краевое условие, имеющее второй порядок аппроксимации, будет иметь вид
(9.9)
Для решения краевой разностной задачи (9.6), (9.8) существует эффективный метод решения "прогонка".
Метод прогонки реализуется в два этапа.
На первом этапе "прямой прогонки" определяются по реккурентным формулам прогоночные коэффициенты
;
(9.10)
,
(9.11)
которые связывают два значения um+1 и um между собой формулой
.
(9.12)
Коэффициенты L1 и K1, необходимые для запуска соотношений (9.10), (9.11) определяются из уравнения краевого условия (9.8) и соотношения (9.12) при m=0, то есть
;
(9.13)
или
;
.
(9.14)
Проведя вычисления коэффициентов при m = 1,2,3...M мы закончим прямую прогонку. Из краевого условия (9.9) и соотношения (9.12) при m = M - 1 мы можем вычислить решение задачи в точках M и M - 1. Далее, используя известные пригоночные коэффициенты и соотношение (9.12) и значение решения в узле M - 1 мы можем получить справа налево все решения нашей задачи (9.6), (9.8), (9.9).
Для устойчивого решения уравнения (9.7) методом прогонки достаточно выполнения одного из условий
причем предполагается, что коэффициенты вещественны и удовлетворяют условию гладкости
где
-
вещественные числа,
-
дискретная переменная.
Применительно к уравнению (9.7) мы получим, используя третье условие
Из этого соотношения получаем условие
устойчивого решения уравнения (9.7)
.