8.2. Решение одномерного уравнения теплопроводности
Рассмотрим метод аналитического решения задач теплопроводности – метод разделения переменных.
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности на отрезке (стержне).
Уравнение (8.9) примет вид
(8.14)
Пусть
начальное распределение температуры
в стержне известно, то есть
,
где
- функция, описывающая начальное
распределение температуры по стержню.
Температура
на левом и правом концах стержня
поддерживается равной нулю. Граничное
условие на левом конце и правом конце
стержня имеют вид
.
Решение уравнения (8.14) будем искать самым распространенным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных - методом разделения переменных.
Пусть
решение уравнения (8.4) можно представить
.
Подставляя это выражение в (8.14) и проведя преобразования, получим
(8.15)
Из выражения (8.15) видно, что левая часть равенства (8.15) зависит тольrо от t , а правая часть только от x. Равенство (8.15) возможно только при условии
(8.16)
где
β – действительное число. Знак минус
перед
дает затухающее с ростом времени решение,
что согласуется с физикой процесса
распространения тепла.
Соотношение (8.16) эквивалентно двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
(8.17)
Решение этих уравнений известно и соответственно равно
(8.18)
Для
решения задачи необходимо определить
три постоянных интегрирования A,B,C
и параметр
.
Для определения неизвестных постоянных интегрирования используем граничные условие.
Левое
граничное условие
и соотношения (8.18) позволяют определить
постоянную интегрирования
.
Правое
граничное условие
,
соотношения (8.18) и найденное значение
постоянной
позволяет
найти уравнение
для определения параметра
.
Решая это уравнение, получим бесконечный
набор (спектр) значений параметра
,
где
Мы
получили бесконечное множество
частных
решений нашей задачи. Неединственность
решения должна быть устранена, поскольку
это не отвечает физике процесса
распространения тепла (температура в
любой точке тела имеет одно и только
одно значение).
Неединственность решения устраняется суммированием всех частных решений , что позволяет линейность задачи. Для исключения получения бесконечных температур при суммировании каждое слагаемое умножается на коэффициент (вес частного решения), который убывает с ростом номера
(8.19)
Для
определения множества коэффициентов
мы можем использовать только оставшееся
начальное условие
.
Начальное условие согласно (8.19) примет вид
(8.20)
Мы
имеем ряд Фурье по синусам для
непериодической функции
,
что потребует формальной периодизации
начального условия. Это не противоречит
физике задачи, так как нам интересно
решение только на отрезке
.
Коэффициенты Фурье ряда (8.20)
(8.21)
Для получения численного значения температуры мы должны получить разложение начального условия в ряд Фурье и просуммировать ряд (8.19), что представляет собой достаточно трудную вычислительную задачу и даст только приближенное значение температуры.
Решение неоднородного уравнения теплопроводности (распространение тепла от внешних источников) с однородными (нулевыми) начальным условием и граничными условиями.
(8.22)
, (8.23)
где
- мощность внешних распределенных
источников тепла.
Решение задачи (8.22), (8.23) будем искать в виде бесконечного ряда
(8.24)
Видно, что соотношение (8.24) удовлетворяет граничным условиям.
Предположим, что функцию можно представить в виде ряда Фурье, что требует ограничения мощности теплового источника
(8.25)
где
- коэффициенты разложения.
Подставим
выражения (8.24) и (8.25) в уравнение (8.22) и
после преобразований получим для
нахождения функций
набор уравнений
(8.26)
Решим уравнения (8.26) методом вариации произвольных постоянных Лагранжа и получим
(8.27)
Достоинством применения аналитических методов является получение качественных характеристик процесса полезных для понимания физики процесса распространения тепла.
Для получения численного значения температуры мы должны также получить разложения в ряд Фурье и просуммировать ряд (8.24), что представляет собой достаточно трудную вычислительную задачу и даст только приближенное значение температуры.
Применение численного моделирования задач распространения тепла на ЭВМ позволяет сразу получить значения температуры во времени и пространстве с требуемой точностью.