6.2.3. Метод Ньютона. Метод касательных

Алгоритм метода Ньютона схож с алгоритмом метода хорд. Отличие состоит в том, что на некоторой итерации вместо хорды проводится касательная к графику функции f(x) при x=a или x=b и отыскивается абсцисса точки пересечения касательной с осью 0х.

Рис. 6.3

Уравнение касательной по формуле Тейлора

Для точки пересечения касательной с осью 0х на первой итерации координаты х=х_1, у=0.

Далее проверяем значения функции на концах отрезка [a,х₁], [х₁,b] и оставляем тот из концов отрезка, для которого выполняется теорема 1.

На рисунке 6.3 видно, что для данного поведения функции конец а отрезка [a,b] остается неподвижным.

На рисунке 6.4 неподвижным остается конец b.

Рис. 6.4

Таким образом, также как и для метода хорд, можно написать формулу, связывающую между собой два соседних приближения корня

(6.8)

При этом в качестве х₀ принимается тот из концов отрезка [a,b], для которого выполняется условие: значение функции и значение второй производной одинаковы по знаку

x₀=а

x₀= b

Итерационный процесс продолжается до выполнения условий

или

Из анализа расчетной формулы метода Ньютона следует, что

1. должно быть ,

2. на каждой итерации объем вычислений больший, чем в рассмотренных ранее методах дихотомии и хорд, так как требуется вычислить не только , но и . Однако скорость сходимости этого метода значительно выше, чем в других методах.

Уменьшить количество вычислений на каждой итерации позволяет видоизмененный метод Ньютона, для которого расчетная формула имеет вид

, (6.9)

то есть для получения этой формулы предположили, что . Данное предположение допустимо, если мало изменяется на отрезке [a,b].

Теоретически это означает, что мы заменяем касательную в точках с абсциссой прямыми, параллельными касательной проведенной к точке с абсциссой .

Рис. 6.5

Видоизмененный метод Ньютона избавляет нас от необходимости вычислять каждый раз значение производной , что весьма полезно, если является сложной.

6.2.4. Метод комбинированный

Соединил метод хорд и метод Ньютона. На каждом этапе этого метода находят значение по недостатку и значение по избытку корня нелинейного уравнения.

Рассмотрим случай

Рис. 6.6

Для метода хорд неподвижен конец b, , то есть х₀=а.

Для метода касательных так как

Метод хорд применяется на каждом шаге к новому отрезку

(6.10)

(6.11)

Вычисления прекращаются, если

Тогда корень уравнения по окончании вычислений лучше взять за среднее арифметическое

(6.12)

Комбинированный метод можно рассматривать иначе

Рис. 6.7

→ по методу касательных

(6.13)

по методу хорд.

Метод хорд на каждом шаге применяем к отрезку

(6.14)

Условие окончания и ответ аналогичен комбинированному методу для рис. 6.6

6.2.5. Метод итераций

Суть метода заключается в следующем

Исходное уравнение

заменим равносильным уравнением

. (6.15)

Выберем каким-либо способом приближенное значение корня х₀ и подставим его в правую часть преобразованного уравнения

и далее

То есть,

(6.16)

Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет обеспечено выполнение неравенства

Преобразование исходного уравнения необходимо выполнить таким образом, чтобы

(6.17)

на отрезке [a,b], что является условием сходимости.