Вероятность

Понятие вероятности относится к таким математическим понятиям, которое наполняется содержанием по мере его изучения.

Вероятность можно определить как меру правдоподобия случайного события A, выражаемую в долях от единицы:

Вероятность невозможного события (которое никогда не происходит) равна 0, а вероятность достоверного события (которое происходит всегда) равна 1.

Важно, что подобно многим другим мерам, таким как длины, площади, массы и т.п., с вероятностями можно производить арифметические действия: сложение, умножение, вычитание, деление.

Если события A и B несовместимы, т.е. возникновение одного события исключает возникновение другого, то их вероятности складываются:

Однако события могут быть и совместимыми, и тогда в общем случае:

Вероятность противоположного события

Сумма вероятностей события A и его дополнения (отрицания) есть достоверное событие, то есть 

Соответственно, вероятность противоположного события есть

Шансы за и против («одды»)

Отношение вероятности события A к вероятности противоположного события называется шансами за и против («оддами») этого события и обозначается как

где .

Шансы за и против по сути являются иным способом выражать степень правдоподобия события для бинарных событий A и (не A).

Шансы за и против события A не определены, когда , ибо деление на ноль – запрещенная операция.

Пример из генетики

Три к одному – какой закон!

Как много дум наводит он!

Л.З. Кайданов

Понятие шансов за и против («оддов») нам знакомо из курсов по генетике. Знаменитое менделевское отношение A- : aa = 3 : 1 суть шансы в пользу доминантного фенотипа против рецессивного. В терминах вероятностей это будут:

и .

Заметим, что здесь символы A и a суть обозначения для двух аллелей одного и того же гена, а прочерк в символе A- означает, что фенотипически не различающиеся генотипы AA и Aa объединены и записаны в виде так называемого фенотипического радикала.

Независимые события

Одним из фундаментальнейших понятий в теории вероятностей является понятие независимости случайных событий.

По определению два случайных события A и B являются независимыми, когда вероятность их совмещения (AB), т.е. их одновременного осуществления равна произведению вероятностей каждого из этих событий по отдельности:

Отношение шансов («оддов»)

Одной из мер зависимости между двумя случайными событиями может служить величина, называемая отношением оддов.

Отношение шансов («оддов») OR (Odds Ratio) для двух случайных событий A и B есть отношение шансов за и против события A к шансам за и против события B:

Напомним, что и .

Условные вероятности

Фактически все показатели точности, прогностичности и согласованности клинико-лабораторного диагностического теста являются условными вероятностями и функциями от них.

По определению, условная вероятность события A при условии, что (уже) произошло событие B, есть результат деления вероятности совмещения обоих этих событий P(AB) на вероятность происшедшего события B:

В формулах для обозначения условных вероятностей используется символ “|” - вертикальная черта. Читается и произносится как: «при условии, что» (или просто «при»).

Выражение читается как: «вероятность случайного события A при условии, что произошло событие B» (или «при условии, что утверждение B верно»).