Умножение матриц
Число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B, тогда говорят, что эти две матрицы согласуются по форме, и произведение AB существует. Если матрица A имеет размерность (m×n), а матрица B имеет размерность (n×k), то матрица C, являющаяся результатом произведения AB=C, будет иметь размерность (m×k). Условно это обозначим так:
.
Для матриц A (m×n) и B (n×m) существует как произведение AB, так и произведение BA. Произведение AB имеет размерность (m×m), а произведение BA - размерность (n×n). Естественно, что они в общем случае не равны. Даже в случае m=n, а значит, при одинаковой размерности (m×m) произведений AB и BA, эти произведения не обязательно равны. Если же оказывается, что они равны, т.е. AB=BA, то в этом случае говорят, что матрицы коммутативны.
Пример 3. Вычислить произведения указанных матриц:
;
.
Свойства умножения матриц. Умножение в общем случае не коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно.
1. Некоммутативность:
AB≠BA.
2. Ассоциативность:
(AB)C=A(BC).
3. Дистрибутивность:
(A+B)C=AC+BC.
Умножение на скаляр.
При умножении на скалярную величину каждый элемент матрицы умножается на него.
Умножение на диагональную матрицу.
Умножение слева матрицы A на диагональную матрицу D эквивалентно операции эквивалентную операции со строками A. При умножении справа матрицы A на диагональную матрицу D операции производятся со столбцами матрицы A.
Умножение транспонированных матриц (транспонирование произведения матриц):
(A∙B)T = BT∙AT.
Умножение на единичную матрицу.
Умножение как слева, так и справа на единичную матрицу не изменяет исходную матрицу, т.е.
Дифференцирование матриц
Пусть
A(t)
– матрица (m x
n), элементы которой
aij
есть дифференцируемые функции
скалярной переменной t.
Производная от матрицы A(t)
по переменной t есть
матрица, элементами которой являются
:
.
Производная от суммы двух матриц равна сумме производных от этих матриц:
.
Производная от произведения матриц:
.
При этом должен сохраняться первоначальный порядок следования сомножителей произведения.
.
Интегрирование матриц
Интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интегралов от элементов исходной матрицы. Следовательно,
Для обозначения интеграла от матрицы обычно используется символ Q=∫ ( )dt. Если оператор Q снабжен индексами (сверху t, а снизу t0), то они указывают нижний и верхний пределы интегрирования:
Пример
4. Найти
Определители
Определители существуют только для квадратных матриц.
В общем случае используется разложение Лапласа определителя n порядка по элементам строки (столбца) на сумму n определителей (n–1) порядка.
Например, для n = 3:
Свойства определителей
1. Определитель равен единице, если матрица А – единичная.
2. Определитель равен нулю, либо если все элементы матрицы равны нулю, либо все элементы строки (или столбца) равны нулю, или равны между собой или пропорциональны элементы произвольных двух строк (или двух столбцов).
3. Величина определителя остается неизменной по модулю при перестановке местами его строк (или столбцов).
4. Знак определителя изменяется на противоположный при замени местами его двух строк (или столбцов).
5. Значение определителя умножается на постоянную k, если все элементы какой-либо его строки (столбца) умножаются на k.
6. Значение определителя не изменяется, если к какой-либо его строке (или столбцу) прибавить умноженные на k соответствующие элементы другой строки (или столбца).
Миноры и алгебраические дополнения
Если в определителе |А| вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у |А|, называемый минором элемента aij.
.
Минор Мij, взятый со знаком (–1)i+j называется алгебраическим дополнением элемента aij.
Cij = (–1)i+jMij .
Разложение определителя по Лапласу можно представить:
Присоединенная матрица
Присоединенная матрица образуется из алгебраических дополнений исходной матрицы А с последующим ее транспонированием:
Обратная матрица
Обратная матрица находится как частное от деления присоединенной матрицы Adj(A) на определитель |A|:
.
Произведение определителей
Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:
.
Производная от определителя
Производная от определителя по одному из элементов равна алгебраическому дополнению этого элемента:
Произведение обратных матриц
Матрица, обратная произведению матриц, равна произведению матриц, обратных матрицам-сомножителям, взятому в обратном порядке.
Рассмотрим произведение двух матриц:
Для того, чтобы найти С–1, умножим обе части равенства слева на В–1А–1, а справа на С–1:
Производная от обратной матрицы
Для значений t, при которых A(t) дифференцируема и существует обратная матрица, производная от A–1(t) имеет вид:
.
Это выражение можно получить, рассматривая
Раскрывая, получим:
откуда уже окончательно получаем выражение для производной от A–1(t).
Некоторые специальные обратные матрицы
1. Инволютивная матрица. Матрица А называется инволютивной, если она совпадает со своей обратной матрицей:
2. Ортогональная матрица. Матрица А называется ортогональной, если ее транспонирование равносильно нахождению обратной матрицы:
A–1 = AT.
3. Унитарная матрица. Матрица А называется унитарной, если матрица, обратная А, равна матрице, сопряженной с А:
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Некоторые сведения из теории графов
Описание спортивных соревнований с помощью графов
Предположим, что футбольная команда вашего вуза участвует в соревнованиях и играет с командами других вузов. Пусть общее число команд равно шести. Вашу команду обозначим буквой А, а другие команды – буквами В, С, D, E и F. Через несколько недель после начала соревнований окажется, что некоторые из команд уже сыграли друг с другом, например:
А с С,D,F,
В с С, Е, F,
С с А, В,
D с А, Е,F,
Е с В,D,F,
F с А,В,D,Е.
Это можно изобразить при помощи такой геометрической схемы. Каждую команду представим точкой или маленьким кружочком и соединим отрезком те пары точек, которые соответствуют командам, уже игравшим друг с другом. Тогда для данного списка проведенных игр получим схему, изображенную на рис. 1.
Схема такого вида называется графом. Она состоит из нескольких точек А, В, С, D, Е, F, называемых вершинами, и нескольких соединяющих эти точки отрезков, таких как АС или ЕВ, называемых ребрами графа.
Из рис. 1 видно, что точки пересечения некоторых ребер графа могут не являться его вершинами; это происходит потому, что наш граф изображен на плоскости.
Рис. 1. Граф G сыгранных футбольных матчей в ходе соревнований
Возможно, удобнее было бы представлять себе его ребра нитями, проходящими друг над другом в пространстве. При изображении на плоскости вершины графа во избежание путаницы должны отмечаться достаточно отчетливо (например, кружочками).
Рис. 2. Граф состязания восьми команд
Каждую совокупность игр любого турнира можно представить соответствующим графом. Наоборот, если задан некоторый граф, т. е. фигура, состоящая из точек – вершин, соединенных прямолинейными отрезками – ребрами, то его можно рассматривать как схему такого состязания. В качестве примера рассмотрим граф, изображенный на рис. 2. Его можно представлять себе как граф, соответствующий состязанию восьми команд, где команда А уже играла с командами В, Е, D, команда В играла с А, F, G, С и т. д.
Упражнения
1. Начертите граф игр, сыгранных к середине сезона вашими футбольными или волейбольными командами.
2. Дайте полный список проведенных игр, соответствующий графу рис. 2.
3. Сколько ребер и сколько вершин имеют графы рис. 1 и 2?