Вопросы к разделу 1.3

1. В чем заключается опасность использования моделей без проверки их истинности?

2. Приведите пример ложной модели.

3. Допустима ли непреднамеренная ложность в познавательных моделях?

4. Допустима ли непреднамеренная ложность в прагматических моделях?

5. Всегда ли простота модели свидетельствует об ее истинности?

6. С чем связано свойство упрощенности моделей?

7. С чем связано свойство приближенности моделей?

8. Когда модель считается адекватной?

9. Как возможно исследовать бесконечный мир с помощью конечных моделей?

3. Способы реализации моделей

        В случае, когда модели сознательно создаются человеком, в зависимости от того, каким образом и с помощью чего они создаются, различают следующие виды моделей.

1. Материальные, или вещественные модели, если при их создании используются средства окружающего мира.

        2. Абстрактные, или идеальные модели, если при их создании используются средства сознания человека. По-другому, это идеальные конструкции, построенные посредством мышления.

Примерами материальных моделей могут служить манекены, протезы, масштабные копии сооружений, памятники, скульптуры, картины и т.п.

Примерами идеальных моделей могут служить уравнения, передаточные функции, частотные характеристики, матрицы, графы и другие математические модели, а также различные гипотезы и даже целые теории.

1.4.1. Материальные модели

      Материальные модели создаются с помощью материи (средств окружающего мира). Такими моделями являются куклы, реалистические картины, скульптуры, чучела и т.п. Для того чтобы модель была отображением оригинала необходимо, чтобы между моделью и оригиналом было установлено отношение подобия.

1.4.2. Виды подобия

Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие обычно не требуется, однако модель должна достаточно хорошо отображать исследуемую сторону функционирования объекта.

Существуют различные способы задания отношения подобия.

П р я м о е п о д о б и е

Отношение прямого подобия устанавливается в результате физического взаимодействия в процессе создания модели (модель автомобиля, самолета, рис. 1.2 и 1.3).

Рис. 1.2. Модель автомобиля

При прямом виде подобия модель всегда внешне похожа на оригинал, и только при прямом подобии существует взаимозаменяемость модели и оригинала (например, копия живописной картины). Тем не менее, при этом виде подобия, даже в том случае, когда модель субстратна (изготовлена из тех же материалов, что и оригинал) возникает проблема при переносе результата моделирования с модели на оригинал.

Рис.1.3. Модель самолета

К о с в е н н о е п о д о б и е

Отношение косвенного подобия (аналогия) устанавливается не в результате физического взаимодействия, а объективно существует в природе и обнаруживается в форме совпадения абстрактных моделей, а затем используется в практике моделирования (например, электромеханические аналогии).

Рассмотрим пример, использующий электромеханическую аналогию.

Пример. Пусть механическая система состоит из пружины с жесткостью k, подвешенного на ней груза массой m и демпфера с коэффициентом вязкости b (рис. 1.4).

Рис.1.4. Механическая система, состоящая из пружины, груза и демпфера

В качестве входной переменной рассматривается вынуждающая сила F(t), а выходной переменной является расстояние до точки подвеса y(t). В этом случае вертикальные колебания груза можно описать уравнением:

где первое слагаемое в левой части уравнения соответствует второму закону Ньютона для движения тела массой m, второе слагаемое описывает действие демпфера, а третье – пружины.

В общем виде это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно записать:

,

где m=a₂, b=a₁, k=a₀, F(t)=x(t).

Теперь рассмотрим электрическую систему, состоящую из источника ЭДС, являющейся внешним воздействием, активного сопротивления R, индуктивности L и емкости С (рис.1.5). Выходной переменной будем считать величину тока i(t).

Рис. 1.5. Электрическая система, состоящая из источника ЭДС, активного сопротивления, индуктивности и емкости

Согласно второму закону Ома сумма падений напряжений в цепи равна сумме ЭДС, поэтому уравнение, описывающее изменение тока в этой системе, будет иметь вид:

или, если продифференцировать по t и умножить на С обе части уравнения:

Обозначив LC=a₂, RC=a₁, 1= a₀, C=b₀, dE(t)/dt=x(t), получим:

Таким образом, при описании процесса, протекающего в электрической системе, мы получили линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, абсолютно идентичное тому, которое описывало процесс, протекающий в механической системе. Это и означает, что данные системы косвенно подобны.

        У с л о в н о е п о д о б и е

Отношение условного подобия устанавливается в результате специального соглашения (условия). Этот вид подобия не является ни прямым, ни косвенным. Например, деньги как модель стоимости, паспорт как модель личности, сигнал как модель информации. Хотя условное подобие не требует физического сходства, но модели условного подобия должны строиться с учетом возможностей восприятия человека, поэтому выбор символики должен осуществляться очень тщательно, так, чтобы человек легко, быстро и уверенно распознавал символы. 

Рис. 1.6. Деньги как пример модели условного подобия

Например, деньги являются моделью условного подобия стоимости любых товаров или услуг (рис. 1.6). Другим примером модели условного подобия может служить светофор, каждый из цветов которого предписывает по договоренности (условию) выполнение конкретного действия: красный – стоять, желтый – приготовиться к смене действия, зеленый – двигаться (рис.1.7).

Рис. 1.7. Светофор как пример модели условного подобия

Говорят, что наша жизнь полна условностей, следовательно, она полна моделей условного подобия. Приведите самостоятельно новые примеры таких моделей.