9.3. Виды планов экспериментов
Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех k факторов на двух уровнях, т.е. q=2. Такие планы называются планами типа 2k, где N=2k – число всех возможных испытаний.
Планирование эксперимента для получения коэффициентов линейной модели начинают с варьирования факторов на нижнем и верхнем xiв уровнях, которые расположены симметрично относительно основного уровня xi0 , i=1,…, k (рис. 9.2).
Рис. 9.2. Геометрическая интерпретация ПФЭ вида 22
С помощью масштабирования
где Δxi=(xiв–xiн)/2 – интервал варьирования фактора; xi0 – нулевой (основной) уровень, xi – натуральное значение фактора, масштабы по осям факторов приводятся к значениям: –1 для нижнего уровня, +1 для верхнего уровня и 0 для основного уровня (рис. 9.3).
Рис. 9.3. Геометрическая интерпретация ПФЭ вида 22 с учетом масштабирования по осям
В таблице 7 приведены комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, изображенного на рис. 9.3, составляющие план ПФЭ вида 22.
Таблица 7
Номер испытания |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
|
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
Обозначения строк |
(1) |
a |
b |
ab |
В таблице 7 использована сокращенная запись плана с помощью условных буквенных обозначений строк. При этом порядковым номерам факторов сопоставлены строчные буквы латинского алфавита: x1→a, x2→b, x3→c и т.д. Для каждой строки плана выписаны латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях. Испытание со всеми факторами, находящимися на нижних уровнях, обозначено как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.
Для оценки свободного члена b0 и определения эффектов взаимодействия b0 план эксперимента D расширяется до матрицы планирования X путем добавления «фиктивной переменной», представленной единичным столбцом и столбцами произведений, как показано для ПФЭ вида 22 в таблице 8.
Из рассмотрения плана эксперимента типа 22 видно, что количество испытаний в ПФЭ значительно превышает количество определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента. Иначе говоря, ПФЭ обладает значительной избыточностью, что вызывает естественное стремление уменьшить количество испытаний. Это позволяет сделать т.н. дробный факторный эксперимент, который заключается в следующем.
Пусть имеется простейший ПФЭ типа 22. Используя матрицу планирования, соответствующую таблице 8, можно вычислить коэффициенты bi и представить результаты в виде уравнения
Таблица 8
Номер испытания |
|
План ПФЭ |
|
Реакция y |
|
|
|
||||
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
y1 |
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
y2 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
y3 |
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
Если
можно
использовать линейную модель для
описания процесса в пределах выбранных
интервалов варьирования уровня, то
достаточно определить всего три
коэффициента уравнения: b0
, b1
и b2.
Таким образом, остается одна степень
свободы, которую можно использовать
для минимизации количества испытаний.
При использовании линейной модели
коэффициент b12=0,
так что вектор-столбец
в таблице 8 может быть использован для
нового фактора
.
При этом раздельных оценок, которые
имели место в ПФЭ типа 2k,
уже не будет, и оценки сместятся:
При использовании линейной модели все парные взаимодействия не учитываются, поэтому, например, вместо восьми испытаний в ПФЭ типа 23 необходимо провести только четыре испытания.
Правило проведения дробного факторного эксперимента: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается значения вектора-столбца матрицы, принадлежащего взаимодействию, которым можно пренебречь.
При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 23, так называемой «полурепликой». Если приравнять x3 и –x1x2, то можно получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением 2k–d. Например, «полуреплика» от 26 записывается в виде 26–1, а «четвертьреплика» – в виде 26–2.
Пример.
При построении
«полуреплики» 23–1
можно
приравнять
или
.
Соответствующие две «полуреплики» 23–1
показаны
в таблице 9. Произведение элементов
соответствующих строк трех столбцов
для первой из матриц этой таблицы равно
+1, а для второй –1.
Таблица 9
Номер испытания |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
2 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
4 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Номер испытания |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
3 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
4 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
При планировании экспериментов, кроме двухуровневых симметричных планов типа 2k, используют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на 3, 4, …, m-м уровнях и соответственно обозначаются как 3k, 4k, …, mk-планы. Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы варьируются на различных уровнях, строятся различными способами: комбинированием полных и дробных факторных планов типа 2k, методом преобразования симметричных планов в несимметричные и т.д. Такие планы называются планами регрессионного анализа для многофакторного эксперимента.
В том случае, когда модель планирования анализируется методами дисперсионного анализа (см. п. 10.4.3), то применяют соответственно планы дисперсионного анализа. Причем в том случае, если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокупности условий, то это соответствует полной классификации дисперсионного анализа, а если проводится сокращение перебора вариантов, то это соответствует неполной классификации. При этом сокращение перебора осуществляется либо случайным образом, либо в соответствии с некоторыми правилами.