9.1. Основные понятия теории планирования экспериментов

В качестве модели эксперимента используется уже знакомая из параграфа 1.6.1 пособия учебника кибернетическая модель типа «черный ящик». В этой модели различают входные переменные x_i, i=1,…, k и выходные y_j, j=1,…, m. Каждая из переменных в проводимом эксперименте может быть либо фактором, либо реакцией – в зависимости от той роли, которая ей отводится. В компьютерных экспериментах фактор является входной переменной, а реакция – выходной переменной.

Каждый фактор может принимать в ходе эксперимента одно из нескольких значений, соответствующих уровням. Фиксированная совокупность уровней факторов определяет одно из возможных состояний системы. Одновременно эта совокупность представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждой фиксированной совокупности уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперименты могут быть реализованы не во всех точках факторного пространства, а только в точках, принадлежащих допустимой области.

Между уровнями факторов и реакцией системы существует связь, задаваемая соотношением

y_j=ψ_j(x₁,x₂,…x_k), j=1,…, m.

Функция ψ_j, связывающая реакцию с факторами, называется функцией реакции. Геометрическая интерпретация, соответствующая функции реакции, представляет собой поверхность реакции.

Вид зависимостей ψ_j, j=1,…, m исследователю заранее не известен, поэтому используются приближенные соотношения:

ỹ_j=φ_j(x₁,x₂,…x_k), j=1,…, m.

Зависимости φ_j находятся по данным эксперимента, который необходимо провести таким образом, чтобы при минимальных затратах ресурсов, например, числа испытаний, изменяя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

Определим основные свойства факторов, используемых при планировании экспериментов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно задаются исследователем в процессе эксперимента. При компьютерной реализации модели исследователь принимает решения, управляя изменением различным факторов в допустимых пределах.

Фактор относится к наблюдаемым, если его значения измеряются и регистрируются. Как правило, в компьютерном эксперименте с моделью наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, поскольку неразумно и неудобно управлять фактором, не наблюдая его. В то же время неуправляемый фактор можно наблюдать. Например, при проектировании какой-либо конкретной системы невозможно управлять заданными случайным образом действиями внешней среды, но можно наблюдать их в ходе компьютерного эксперимента. Наблюдаемые неуправляемые факторы называются сопутствующими. Обычно при компьютерном эксперименте с моделью общее число сопутствующих факторов велико, поэтому следует учитывать влияние лишь наиболее существенно воздействующих на реакцию, интересующую исследователя.

Фактор называется изучаемым, если он включен в модель для изучения свойств системы, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор называется количественным, если его значениями являются числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формализуемой в виде системы массового обслуживания (СМО), количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопителей, количество обслуживающих каналов и т.д., а качественными факторами служат дисциплины постановки в очередь, выбора из очереди, обслуживания заявок каналами и т.д. Качественным факторам, в отличие от количественных, не соответствует числовая шкала. Тем не менее, и для них можно построить более слабую условную порядковую шкалу, с помощью которой можно упорядочивать факторы путем установления соот­ветствия между условиями качественного фактора и числами натурального ряда.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте иссле­дуются все интересующие экспериментатора значения фактора. Если же эксп­ериментатор исследует только некоторую случайную выбор­ку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. С использованием случайных факторов можно сделать вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В компьютерных экспериментах с моделями не бывает неуправ­ляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследу­емой системе. В качестве воздействий внешней среды, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в компьютерной имитаци­онной модели выступают стохастические входные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены, и во время проведения данного эксперимента с моделью дополнительные факторы вводить нельзя.

Каждый фактор может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемых уровнями, при­чем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фак­тора необходимо указать последовательность операций, с помо­щью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое опре­деление фактора называется операциональным и обеспечивает одно­значность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, явля­ются требование управляемости фактора и требование непосредст­венного воздействия на объект. Под управляемостью фактора пони­мается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменя­ющимся в соответствии с заданной программой. Требование непо­средственного воздействия на объект имеет большое значение в свя­зи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функци­ей других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменя­ются несколько факторов. Основные требования, которые предъ­являются к совокупности факторов, – совмести­мость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует воз­можности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении компьютерного эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, на­ходящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо отобрать факторы х_i i =1,2,…,k, влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость; установить диапазон изменения факторов [х_imin, х_imax]; определить координаты точек {х₁, х₂,…, х_k} факторного пространства, в которых следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.