3.3. Методы Рунге–Кутта

Методы Рунге–Кутта задаются приведенными ниже рекуррентными формулами. Методы (3.4) и (3.5) называют методами третьего порядка, поскольку формулы для z_k+1 являются точными при f(z,t)=1, t, t², t³; для достаточное количество раз дифференцируемой функции f(z,t) локальная ошибка усечения имеет порядок O(Δt⁴) при Δt→0. По аналогичным соображениям метод (3.6) называют методом четвертого порядка.

_(3.4)

(3.5)

(3.6)

Из этих методов (3.6) является наиболее употребительным.

4. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость

Формулы интегрирования, выбранные из-за малой локальной ошибки усечения, могут способствовать накоплению ошибок в последовательности значений решения.

Выбор метода решения дифференциального уравнения требует некоторого компромисса между учетом локальной ошибки усечения, устойчивостью и временем расчета. Предпочтительнее те формулы, в которых слагаемые имеют одинаковые знаки и не слишком отличаются по абсолютной величине, так как при этом уменьшается влияние ошибок, вызванных округлением.

Окончательный выбор зависит от области применения и от применяемых вычислительных средств. Часто применяется двойная точность вычисления значений переменных.

Если данная функция f(z,t) очень сложная, то основное время расчета связано с вычислением ее значений. Для задачи Коши с умеренно гладкой функцией f(z,t) многошаговые схемы интегрирования требуют относительно мало вычислений производных и допускают экономный автоматический контроль величины шага по величине .

Методы Рунге–Кутта очень устойчивы и не требуют отдельной программы для начала решения. Они предпочтительнее для задач, связанных с частым изменением шага. Однако методы Рунге–Кутта требуют относительно большого количества вычислений производных на каждом шаге и для них весьма сложен эффективный контроль величины шага.

Вопросы к главе 3

1. Что называется численным интегрированием?

2. Что называется ошибкой усечения?

3. Чем отличается полная ошибка усечения от локальной?

4. Как получить рекуррентную формулу метода Эйлера из исходного непрерывного дифференциального уравнения?

5. От чего зависит порядок метода численного интегрирования?

6. Какими параметрами характеризуются методы численного решения дифференциальных уравнений?

7. В чем состоят преимущества и в чем недостатки метода Эйлера?

8. В чем состоят преимущества и в чем недостатки методов Рунге-Кутта?

4. Динамика развития и использования моделей

Если рассматривать различные модели на протяжении их жизненного цикла от возникновения (создания) через развитие, функционирование, конкуренцию с другими моделями до замены другими, более совершенными, то можно прийти к выводу, что существует, по меньшей мере, два вида моделей. Одни, познавательные, имеют жизненный цикл, превышающий продолжительность человеческой жизни. Этапы существования этих моделей изучаются в качестве истории той или иной области знаний или деятельности. Жизненный цикл других моделей, в основном прагматических, должен завершаться в достаточно сжатые сроки, гораздо меньшие продолжительности жизни поколения людей, поскольку использование таких моделей должно приносить людям ощутимые результаты. Поэтому этапы развития подобных моделей представляют собой по существу технологический цикл, который должен осуществляться максимально эффективно: быстро, с наименьшими затратами и наилучшим качеством. Для достижения этого, необходимо моделирование самого процесса моделирования, т.е. необходима алгоритмизация моделирования.

Алгоритмизация моделирования наиболее актуальна в тех областях деятельности, в которых очень важна эффективность действий, а именно: в проектировании, в создании автоматизированных систем управления, в изобретательской деятельности, в исследовании операций, в имитационном моделировании.

Динамика моделей проявляется в последовательном чередовании различных этапов процесса моделирования, из которых он состоит. Этапы различаются качественно, целями, средствами и очередностью. Например, при имитационном моделировании (гл. 6) последовательность и содержание этапов примерно таковы (рис. 4.1): 1) формирование целей моделирования; 2) построение абстрактной модели; 3) генерирование реальной имитационной модели; 4) исследование имитационной модели; 5)обработка, анализ и интерпретация результатов моделирования.

Рис. 4.1. Этапы имитационного моделирования

Другой пример – конструирование новой технической системы (рис. 4.2). При этом модель проходит этапы развития от воплощения в виде результатов предварительной научно-исследовательской работы (1) через стадии технического задания (2), технического проекта (3), рабочего проекта (4), опытного образца (5) и пробной партии (6) – до модели, предназначенной для промышленного выпуска спроектированной системы (7).

Рис. 4.2. Этапы проектирования технической системы