Вопросы к разделу 2.5

1. В чем состоит условие ортогональности векторов?

2. Результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр, а результатом векторного произведения?

3. Почему неравенство называется неравенством треугольника?

4. Почему в неравенстве Шварца в левой части используются одинарные прямые вертикальные скобки, а в правой – двойные?

5. Что называется дефектом особенной матрицы?

6. Что такое ранг матрицы?

7. Какие векторы являются линейно независимыми?

8. Что можно сказать о системе векторов, для которой определитель Грама равен нулю?

9. Что можно сказать о системе векторов, для которой определитель Грама имеет диагональный вид?

5. Линейное векторное пространство

Если система векторов x₁, x₂,…, x_m принадлежит некоторому пространству S, то и множество векторов y, являющихся линейной комбинацией векторов x_i, также образует векторное пространство, размерность которого равна максимальному числу его независимых векторов.

.

Если же в этом выражении только r векторов x_i являются линейно независимыми, то размерность пространства, которое можно образовать этими векторами, равна r (рангу системы векторов x_i).

Пример. Рассмотрим векторы

Эти векторы являются линейно зависимыми, так как существует линейное соотношение:

которое позволяет вектор y выразить следующим образом:

        Вектор y не может содержать три независимые составляющие. Только две составляющие y могут выбираться независимо. Следовательно, размерность пространства, образуемого данными x₁, x₂, x₃, равна двум.         В n-мерном пространстве n составляющие y могут выбираться независимо в том случае, когда вектор y образуется системой векторов, имеющих ранг n. В этом случае систему n линейно независимых векторов называют линейной оболочкой. Эту же систему линейно независимых векторов можно использовать как базис линейного векторного пространства.          Базисом пространства называется такая система векторов, при которой любой произвольный вектор пространства выражается в ней единственным образом в виде линейной комбинации этих (базисных) векторов.

2.6.1. Характеристические числа и характеристические векторы

От характеристических векторов зависят динамические свойства системы. Рассмотрим векторное уравнение

y = Ax,

где у – вектор входа (n×1); x – вектор выхода (n×1); А – квадратная матрица (n×n).

Вопрос о нахождении характеристических значений связан с вопросом: существует ли такой вектор x, который в результате его преобразования с помощью матрицы А переходит в вектор y, имеющий то же направление в пространстве что и вектор x. Если такой вектор x существует, то это значит, что y пропорционален x (рис. 2.11):

y = Ax = λx,

где λ – скаляр.

Рис. 2.11. Характеристический вектор y= λx

Перенесем λx = λEx в левую часть:

(λE – A)x = 0,

где E – единичная матрица.

Это векторно-матричное уравнение можно записать в виде равносильной системы скалярных уравнений, соответствующих строкам матрицы А:

Данная система имеет нетривиальное решение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

Раскрытие данного определителя приводит к характеристическому уравнению:

.

       Многочлен n-й степени относительно l называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни этого уравнения равны характеристическим (собственным) значениям матрицы А. Особый интерес представляют коэффициенты многочлена а₁ и а_n.

Если положить λ = 0, то:

Представим

и снова положим, что λ = 0. Тогда

,

откуда

Таким образом, произведение характеристических чисел равно определителю матрицы А. В случае равенства нулю какого-нибудь из характеристических чисел матрица А становится особенной (вырожденной).

Раскрывая характеристическое уравнение, записанное в виде произведения сомножителей, можно выразить коэффициенты при различных степенях λ через характеристические числа.

Выразим коэффициент при λ^n-1:

С другой стороны, раскрывая также определитель |λE–A|, найдем, что коэффициент при λ^n-1 равен со знаком минус сумме диагональных элементов матрицы А:

Таким образом, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее характеристических чисел:

Ввиду важности этого свойства сумме диагональных элементов матрицы присвоено особое название: след матрицы. Обозначим след матрицы: