2. Аналитические математические модели систем
2.1. Общая математическая модель динамической системы
Введем понятие состояния системы как внутренней характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние можно рассматривать как некоторое хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее. Обозначим это состояние через z(t), в общем случае это может быть вектор. Систему можно представить в следующем виде (рис. 2.1):
Рис. 2.1. Система, имеющая вход, выход и внутреннее состояние
Вышесказанное означает, что существует такое отображение
что
где Z – множество всех значений состояния системы;
T – множество моментов времени; Y – множество значений выходных величин.
С помощью этого отображения по вектору состояния в момент времени t можно определить значение вектора выходной величины в этот же момент времени. Это отображение называется отображением выхода. Явная зависимость h от t введена для учета возможности изменения зависимости выхода от состояния с течением времени.
Для полноты построения модели системы нужно еще описать связь между вектором входа x(t) и вектором состояния z(t). Для этого вводится параметрическое семейство отображений
,
заданных
для всех значений параметров
,
причем
.
Это означает принятие аксиомы о том,
что состояние в любой момент t
> t однозначно
определяется: 1) состоянием
в момент t; 2)
отрезком реализации входного воздействия
от t до t:
Такое отображение называется переходным отображением.
Математическая модель системы, соответствующая типу «белый ящик», представляет собой задание множеств входов Х, состояний Z и выходов Y, а также связей между ними, задаваемых отображениями s и h :
Подобная модель носит также название «вход-состояние-выход» (в отличие от ранее встречавшихся моделей «вход-выход»).
Вопросы к разделу 2.1
1. Что означает с математической точки зрения понятие «состояние системы»?
2. Почему семейство отображений
называется параметрическим?
3. Что с чем связывает отображение выхода?
4. Что с чем связывает переходное отображение?
5. Что являет собой с математической точки зрения модель типа «белый ящик»?
2.2. Частные математические модели динамических систем
В зависимости от конкретных свойств множеств X, Z, Y и отображений s и h можно получить математические модели различных классов систем. Так, если множество Т непрерывно, то получаем класс непрерывных систем. Если множество Т дискретно, то получаем класс дискретных систем. Если в классе дискретных систем потребовать, чтобы множества X, Z, Y имели конечное число элементов, то получим класс конечных автоматов, который описывается достаточно просто: для него достаточно использования методов алгебры и логики. Класс конечных автоматов охватывает большое количество реальных систем: дискретные (цифровые) измерительные, управляющие и вычислительные устройства, в том числе и компьютеры. Ввиду широкого распространения конечных автоматов более подробное описание этих моделей приведено в п. 2.2.2.
Если
X, Y, Z – линейные пространства,
а s и h
– линейные операторы, то получается
класс линейных систем. Напомним,
что основное свойство линейных систем
состоит в выполнении принципа
суперпозиции реакция системы (выход)
на сумму входных воздействий равна
сумме реакций на каждый их них в
отдельности. Если к линейной модели
предъявить дополнительные требования
топологической структуры пространств
X, Y, Z (это означает, что на
множествах X, Y, Z должна
существовать сходимость последовательностей
и быть определена метрика), а также
непрерывности операторов s
и h, то получим
класс гладких систем. Этот класс
имеет большое значение, поскольку
оказалось, что для гладких систем
переходное отображение s
является общим решением дифференциального
уравнения:
Для дискретных систем s является решением конечно-разностного уравнения:
где x()
– траектория для моментов времени
