1.6.3. Модель структуры системы

        Модель структуры – раскрывает связи внутри системы, отношения между ее элементами и подсистемами. Можно сказать, что структура системы – это совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений между элементами и подсистемами. В модели структуры сами элементы не рассматриваются, а лишь называются, хотя на практике говорить о связях между элементами целесообразно только после рассмотрения самих элементов.

        Реальное количество отношений между элементами системы очень велико, однако в модель включаются только отношения, существенные с точки зрения достижения цели.

Трудность заключается в том, чтобы выявить все реально существующие отношения – зачастую они не известны, к тому же, вообще неизвестно, является ли их число конечным. Интересное исследование было проведено с естественными языками: английским, итальянским и русским. Оказалось, что количество языковых конструкций, выражающих разные отношения типа: быть причиной, быть подобным, состоять из, двигаться от (к, вокруг,…), быть одновременно, находиться под (на, около,…) и т.п., в этих языках примерно одинаково и составляет немногим более 200.

       С в о й с т в а и о т н о ш е н и я

        Отношение – это связь, в которой участвуют не менее двух объектов.        Если элемент x, принадлежащий множеству X, находится в некотором отношении R с элементом y, принадлежащим тому же множеству X, то это можно записать следующим образом:

Если же элемент x, принадлежащий множеству X, не находится в отношении R с элементом y из того же множества X, то это можно записать следующим образом:

Множество всех упорядоченных пар (х, у) называется полным (универсальным) бинарным отношением, которое задается декартовым, или прямым произведением множества X на себя:

Математически любое бинарное отношение R является подмножеством полного множества всех пар, или бинарных отношений, т.е.

Если ввести понятие многоместного отношения, а не только бинарного, то свойство можно рассматривать как одноместное, или унарное отношение. Таким образом, свойство оказывается частным случаем отношения. Свойство – это атрибут одного объекта.

С п о с о б ы з а д а н и я б и н а р н ы х о т н о ш е н и й

Известны как минимум четыре разных способа задания отношений (рис. 1.24). Какой из них в каком случае удобнее использовать, зависит от свойств множества X.

1. Непосредственное перечисление всех пар элементов, состоящих в некотором бинарном отношении, возможно только в случае конечного множества X.

2. Матричный способ задания бинарного отношения R на конечном множестве X заключается в нумерации всех элементов множества, так что матрица отношения R будет определяться своими элементами:

Примером подобного способа задания отношений может служить турнирная таблица, в которой проигрыши и ничьи обозначены нулями, а победы – единицами: такая матрица задает отношение вида «x_i – победитель x_j».

3. Задание отношения R с помощью сечений используется для определения отношений на бесконечных множествах. Множество

называется верхним сечением отношения R, а множество

называется нижним сечением отношения R.

Рис. 1.24. Способы задания бинарных отношений

Иначе говоря, верхнее сечение представляет собой множество всех элементов , которые состоят в отношении R с заданным элементом , т.е. . Нижнее сечение – множество всех , с которыми заданный элемент находится в отношении R, т.е.: . Отношение определяется однозначно одним из сечений: верхним или нижним.

4. Задание отношения с помощью графа (см. п. 1.6.5). Вершинам графа G(R) соответствуют пронумерованные элементы множества X, а дугам (ребрам) графа соответствует наличие отношения R между теми элементами, которые это ребро соединяет между собой; если же , то ребро (дуга) между x_i и x_j отсутствует (рис. 1.25).

Рис. 1.25. Граф, задающий отношение R между элементами множества X

Рассмотрим некоторые элементарные свойства отношений, которые помогут впоследствии получать модели для решения нужных прикладных задач.

Э л е м е н т а р н ы е с в о й с т в а б и н а р н ы х о т н о ш е н и й

1. Рефлексивность. Бинарное отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в этом отношении сам с собой, т.е.

Пример. Если отношение R определить как «управлять», то свойство рефлексивности будет означать самоуправление или автоматическое управление.

2. Антирефлексивность. Бинарное отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если любой х из X не находится в этом отношении сам с собой, а R может выполняться только для несовпадающих элементов:

Пример. Если отношение R определить как «дополнять», то свойство антирефлексивности будет означать невозможность любого элемента x дополнять самого себя.

 3. Симметричность. Бинарное отношение на множестве Х называется симметричным, если из того, что х находится в отношении R с у следует, что и y находится в этом отношении R с x, где x, у – любые элементы из Х:

Пример. Если отношение R определить как «создавать сложную конструкцию», то свойство симметричности будет означать, что если любой элемент x создает сложную конструкцию в сочетании с элементом y, то и наоборот, любой элемент y создает сложную конструкцию в сочетании с элементом x.

4. Асимметричность. Бинарное отношение R на множестве Х называется асимметричным, если из того, что х находится в отношении R с у, следует, что y не находится в этом отношении R с x, где x, у – любые элементы из Х:

Очевидно, что асимметричное отношение R одновременно и антирефлексивно.

Пример. Если отношение R определить как «входить в состав сборочного узла», то из того факта, что элемент x входит в состав сборочного узла y, будет следовать, что обратное невозможно, поэтому такое отношение асимметрично.

5. Антисимметричность. Бинарное отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если из того, что х находится в отношении R с у и y находится в этом отношении R с x для любых x, y следует, что x=y:

Пример. Фразу: «Благородный рыцарь сражается только с равным себе» можно трактовать как антисимметричность. Из того факта, что два рыцаря x и y сражаются между собой, следует, что они равны.

6. Транзитивность. Бинарное отношение R на множестве Х называется  транзитивным, если из того, что х находится в отношении R с у, а y находится в этом отношении R с z, следует, что и х находится в отношении R с z для любых x, y, z из X:

Пример. Пусть отношение R определено как «принадлежать к данной серии». Если установлено, что микросхемы x и y, а также y и z принадлежат к одной серии, то из этого следует, что микросхемы x и z также принадлежат к одной (данной) серии.

7. Отрицательная транзитивность. Бинарное отношение R на множестве Х называется  отрицательно транзитивным, если транзитивно «отсутствие отношения» R:

Пример. Пусть x, y и z – последовательные точки радиосхемы, а отношение R означает фильтрацию помех. Тогда, если помехи не отфильтрованы на участке схемы от точки x до точки y и от точки y до точки z, то это значит, что помехи не подавлены от x до z.

8. Сильная транзитивность. Бинарное отношение R на множестве Х называется  сильно транзитивным, если оно одновременно транзитивно и отрицательно транзитивно:

Пример. Пусть x, y и z – ретрансляционные станции, последовательно, по цепочке передающие сигналы, а отношение R соответствует передаче сигнала. Если сигнал передан от станции x к станции y и от станции y к станции z, то из этого следует, что сигнал передан от x к z. Обратный вывод справедлив в том случае, если сигнал не передан от станции x к станции y и от станции y к станции z: сигнал не передан от x к z.

        Эти элементарные бинарные отношения являются основой для построения других, более сложных отношений.

О т н о ш е н и я э к в и в а л е н т н о с т и, п о р я д к а

и д о м и н и р о в а н и я

        А. Отношение эквивалентности. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, отношение эквивалентности объединяет элементарные свойства 1,3 и 6. Обозначение:

x ~ у.

Примеры отношения эквивалентности: «четность» на множестве натуральных чисел – при этом все четные числа считаются эквивалентными; «быть студентами одной учебной группы» – каждый из студентов группы является элементом множества студентов данного института, и все они эквивалентны друг другу.

        В. Отношение нестрогого порядка. Отношение R на множестве Х называется отношением нестрогого порядка, если оно одновременно рефлексивное, антисимметричное и транзитивное, т.е объединяет в себе свойства 1, 5 и 6. Обозначение:

x ≤ у.

С. Отношение строгого порядка. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка, если оно одновременно антирефлексивное, асимметричное и транзитивное, т.е. объединяет в себе свойства 2, 4 и 6. Иначе отношение нестрогого порядка можно рассматривать как объединение отношений строгого порядка и эквивалентности, т.е. С и А. Обозначение: 

x < y.

D. Отношение доминирования. Отношение R на множестве Х называется отношением доминирования, если оно обладает одновременно свойствами антирефлексивности и асимметричности (свойства 2 и 4).   Отношение строгого порядка – частный случай отношения доминирования, при котором имеет место еще и транзитивность (6). Если элемент x доминирует (т.е. в каком-то смысле явно превосходит) над элементом y, то это обозначается следующим образом:

x >> у .

М о д е л ь п р и н я т и я р е ш е н и й н а о с н о в е

б и н а р н ы х о т н о ш е н и й

Отношения порядка и эквивалентности позволяют создать модель такого важного вида деятельности, как принятие решений (выбор). Выбор приходится осуществлять очень часто и в самых различных ситуациях – от бытовых случаев до проектирования сложных технических систем. Бинарные отношения позволяют сравнивать между собой различные варианты (которые называются альтернативами), являющиеся элементами множества X, и выбирать из двух более предпочтительную альтернативу. Так, в случае конечных множеств X удобно находить наилучшие альтернативы с помощью графа предпочтений, стрелки которого направлены в сторону менее предпочтимой альтернативы (рис. 1.26). Выделенные вершины графа, из которых ребра (стрелки) только выходят (на рисунке это альтернативы 1 и 5), – это так называемые недоминируемые (наилучшие) альтернативы.

Рис. 1.26. Пример графа предпочтений

Если граф сильно транзитивен (т.е. транзитивен и по наличию, и по отсутствию стрелок) и антирефлексивен (отсутствуют петли), то такой выбор сводится к однокритериальному выбору. Другие ситуации выбора можно описать другими типами графов.