1.5.6. Стационарные и нестационарные модели

Стационарными называют объекты и процессы, параметры которых не изменяются с течением времени. Зачастую стационарность модели является следствием намеренного упрощения описываемого объекта или процесса. Примером стационарной модели может служить дифференциальное уравнение с постоянными, т.е. не зависящими от времени коэффициентами:

Большинство реальных систем и процессов не обладает свойством стационарности: со временем изнашиваются соприкасающиеся детали механизмов, в доменной печи обгорают свод и стены топки, изменяя теплоотдачу, сечение водопроводных труб уменьшается за счет отложения на стенках карбонатов. Под воздействием внешней среды со временем в результате так называемых причин естественного старения изменяются такие характеристики материалов, как упругость, прозрачность, магнитная и диэлектрическая проницаемость, теплопроводность и др. Такие изменения, разумеется, нежелательны. Но иногда изменения свойств с течением времени бывают нужны: например, в термисторах используется свойство изменения внутреннего электрического сопротивления в зависимости от температуры внешней среды (поскольку температура изменяется во времени, то и сопротивление в конечном счете зависит от времени). Если изменения параметров незначительны за время рассмотрения процесса или системы, то пользуются приближенными стационарными моделями, которые можно исследовать аналитически, благодаря хорошо разработанному математическому аппарату.

Для нестационарной модели важно, что изменения параметров происходят не за любое время вообще, а за время, сопоставимое со временем, в течение которого процесс исследуется, например, за время переходного процесса. Пример нестационарной модели – уравнение с коэффициентами, явно зависящими от времени:

в котором даже одного из коэффициентов 2t или 4sin(t) вполне достаточно, чтобы модель была нестационарной.

Нестационарные модели являются существенно более сложными, чем стационарные. Аналитическое решение для них возможно получить только в отдельных, довольно редких случаях. В общем случае исследовать нестационарные модели удается только с помощью численных методов.

1.5.7. Сосредоточенные и распределенные модели

Математическими моделями на микроуровне проектирования служат дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин, т.е. модели с распределенными параметрами. Независимыми переменными являются пространственные координаты x, y, z и время t. Примерами таких моделей являются уравнения математической физики с заданными краевыми условиями. Например, уравнение теплопроводности:

которое описывает зависимость температуры Т не только от времени t, но и от расстояния x сечения стержня от нагреваемого конца (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Изменение температуры в зависимости от времени и расстояния сечения от нагреваемого конца

Уравнения математической физики имеют общий вид: LV(z)=f(z), где z=(t,x,y,z) – вектор независимых переменных; L – дифференциальный оператор; V(z) – функция, определяемая природой описываемого объекта.

Другие примеры уравнений в частных производных: уравнения диффузии, упругости, электро- и газодинамики.

Уравнение диффузии описывает зависимость концентрации частиц N не только от времени t, но и от положения (x, y, z) точки в теле (в среде):

где D – коэффициент диффузии.

Уравнения непрерывности описывают изменения дырочного и электронного токов в полупроводниковых приборах. Для дырок:

для электронов:

где p – концентрация дырок, n – электронов; q – заряд электрона; J_p и J_n – плотности дырочного и электронного токов; g_p и g_n – скорости процессов генерации-рекомбинации дырок и электронов.

Уравнение теплопроводности в общем случае трех пространственных координат (а не только одной, как в случае со стержнем) также записывается через дивергенцию и градиент температуры:

где С – удельная теплоемкость; D – плотность; Т – температура; t – время;

8 – коэффициент теплопроводности; g – количество теплоты, выделяемой в единицу времени в единице объема.

Напомним, что градиент есть векторная функция:

Если обозначить частные производные

то дивергенцию – скалярную функцию – можно записать в следующем виде: