ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.В.Кириличев

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Учебное пособие

Допущено Федеральным агентством по образованию

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 004.925.8

ББК в6

К 43

Рецензенты: Корнаушенко Е.К., г.н.с., д.т.н. ИПУ РАН,

Строганов Б.Г., нач. отд. внедрения ИТ в учебный процесс

РУДН, к.т.н., доцент.

Кириличев Б.В.

К 43 Моделирование систем: Учебное пособие. ­­– М.: МГИУ, 2006. – 251 с.

ISBN

Изложены основы теории моделирования, даны определения основных понятий, рассмотрены важнейшие свойства и разновидности моделей, приведены примеры математических моделей различных систем, процессов и явлений. Значительное внимание уделено математическому аппарату пространства состояний и его применению для анализа управляемости и наблюдаемости детерминированных систем. Приведены некоторые методы реализации процесса моделирования на компьютерах, в частности, методы численного интегрирования дифференциальных уравнений. Рассмотрены вопросы имитационного моделирования сложных дискретных систем, изложены основы метода РДО как эффективного инструмента исследования таких систем. Обсуждены проблемы планирования компьютерных экспериментов моделирования, а также обработки и интерпретации полученных результатов с применением методов статистического анализа.

Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, который автор читает в МГИУ.

Предназначено для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся по направлениям «Системы автоматического управления», «Автоматизация технологических процессов», «Информатика и вычислительная техника», «Информационные системы». Может быть полезно аспирантам и специалистам в области моделирования и проектирования систем управления, автоматизированных и информационных систем.

УДК 004.925.8

ББК в6

© Б.В. Кириличев, 2006

© МГИУ, 2006

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………………..9

ВВЕДЕНИЕ.…………………………………………………………………...13

1. МОДЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА..……………………………………………14

1.1. Основные понятия и определения…………………………………..14

Вопросы к разделу 1.1………………….....................................................15

1.2. Целенаправленность моделей……………………………………….16

Вопросы к разделу 1.2…………………………………………………….17

1.3. Свойства моделей…………………………………………………….17

1. Конечность……………………………………………………....17

2. Упрощенность…………………………………………………...17

3. Приближенность………………………………………………...17

4. Адекватность…………………………………………………….17

5. Истинность………………………………………………………18

6. Ингерентность…………………………………………………...18

Вопросы к разделу 1.3……………………………………………………19

1.4. Способы реализации моделей…………………………………….....19

1.4.1. Материальные модели…………………………………………..19

1.4.2. Виды подобия……………………………………………………20

Прямое подобие……………………………………………...…..…...20

Косвенное подобие………………………………………………...…20

Условное подобие……………………………………...………..…...22

1.4.3. Идеальные модели………………………………………….........23

Модели, создаваемые средствами языка………………………........23

Знаковые модели……………….…………………………..………...24

Вопросы к разделу 1.4…………………………………………………….26

1.5. Виды моделей………………………………………………………...26

1.5.1. Познавательные и прагматические модели……………………26

1.5.2. Детерминированные и вероятностные модели………………..27

1.5.3. Непрерывные и дискретные модели……………………………28

1.5.4. Статические и динамические модели…………………………..29

1.5.5. Линейные и нелинейные модели……………………………….31

Преимущества и недостатки линейных моделей……...…………...34

1.5.6. Стационарные и нестационарные модели……………………..35

1.5.7. Сосредоточенные и распределенные модели………………….36

1.5.8. Классификация видов моделей…………………………………37

Вопросы к разделу 1.5…………….………………………………………41

1.6. Кибернетические модели систем…………………....……………...41

1.6.1. Модель типа «черный ящик»…………………………………...43

Сложности построения модели «черный ящик»…………..……….44

1.6.2. Модель состава системы………………………………………...44

Сложности получения модели состава системы……………..…….45

1.6.3. Модель структуры системы………………………………….…45

Свойства и отношения……………..……………………...……....…46

Способы задания бинарных отношений…………………....………46

Элементарные свойства бинарных отношений…….……...……….48

Отношения эквивалентности, порядка и доминирования……..…..50

Модель принятия решений на основе бинарных отношений……..50

1.6.4. Графы………………………………………………...…………...51

1.6.5. Структурная схема системы…………………………………….54

1.6.6. Итоги анализа моделей систем…………………………………55

Вопросы к разделу 1.6………………………………………………….....56

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ……..57

2.1. Общая математическая модель динамической системы………......57

Вопросы к разделу 2.1…………………………………………………….58

2.2. Частные математические модели динамических систем………….58

2.2.1. Модели детерминированных линейных непрерывных систем.59

2.2.2. Модели дискретных систем. Конечные автоматы…………….59

Вопросы к разделу 2.2…………………………………………………….67

2.3. Свойства динамических систем…………………...………………...68

Вопросы к разделу 2.3…………………………………………………….70

2.4. Линейная непрерывная модель многомерной детерминированной динамической системы в переменных состояния..………………………...70

Вопросы к разделу 2.4…………………………………………………….72

2.5. Векторы…...…………………………………………………………..72

2.5.1. Внутреннее, или скалярное произведение векторов…………..72

Ортогональные векторы………………………………………..........73

2.5.2. Внешнее, или векторное произведение векторов……………..73

2.5.3. Длина вектора……………………………………………………73

2.5.4. Неравенства……...………………………………………………73

Неравенство треугольника……...…………………………………...73

Неравенство Шварца……...………………………………...………..73

2.5.5. Линейная независимость векторов……………………………..74

2.5.6. Особенная матрица……………………………………………...74

Вырожденность..………………………………………………...74

Правило вырожденности Сильвестра…………...……………..74

2.5.7. Определитель Грама…………………………..………………...74

Вопросы к разделу 2.5…………………………………………………….75

2.6. Линейное векторное пространство……..…………………………...75

2.6.1. Характеристические числа и характеристические векторы…..76

2.6.2. Формула Бохера………………………………………………….78

2.6.3. Модальная матрица……………………………………………...79

2.6.4. Диагонализация квадратной матрицы………………...………..81

Вопросы к разделу 2.6…………………………………………………….84

2.7. Управляемость и наблюдаемость…………...……………………....85

Вопросы к разделу 2.7…………………………………………………….88

3. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ……...…..89

3.1. Ошибки усечения и округления………………..……………………89

3.2. Метод Эйлера…………..……………………………………………..90

3.3. Методы Рунге-Кутта……………………………………...………….90

3.4. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость…………………..…………………………………………….91

Вопросы к главе 3…………………………………………………………92

4. ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ………...93

4.1. Сложности алгоритмизации моделирования….…………………....94

Вопросы к главе 4…………………………………………………………95

5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ…………………………………………………………..96

5.1. Аналитические модели систем массового обслуживания (СМО)...96

5.1.1. Важнейшие выходные параметры СМО……………………….96

5.1.2. Простейшие модели СМО…………………………….………...97

5.1.3. Общая характеристика моделей СМО……….……………….100

5.1.4. Дисциплины обслуживания….………………………………..100

5.1.5. Характеристики входного потока заявок….………………….101

Свойства простейшего потока……………………………………….101

Характеристики входного потока…………………………………...101

5.1.6. Функция распределения Пуассона…….……………………...102

5.1.7. Характеристики обслуживания….…………………………….103

5.1.8. Показательный закон распределения времени обслуживания………………………………………………………………...103

Достоинства использования экспоненциального закона…………..104

5.1.9. Показатели качества обслуживания.………………………….105

5.1.10. Согласование источника заявок с каналом обслуживания...105

Случай согласования простейшего пуассоновского потока заявок с каналом с показательным законом распределения времени обслуживания….……………………………………………………...106

Случай согласования простейшего пуассоновского потока заявок с каналом с постоянным временем обслуживания…………………...107

5.1.11. Оценка эффективности работы многоканальной СМО….…108

Формула Эрланга……………………………………………………109

Критерии эффективности работы многоканальной СМО…..........110

Пример оценки эффективности работы многоканальной СМО…110

Вопросы к разделу 5.1………..….............................................................111

5.2. Сети Петри…………...……………………………………………...112

5.2.1. Маркировка………………………………………..……………113

5.2.2. Правила срабатывания переходов…………………......……...113

5.2.3. Разновидности сетей Петри……………………………...…….114

5.2.4. Конфликтные ситуации в сетях Петри……………………..…114

5.2.5. Пример сети Петри для работы группы пользователей на одной рабочей станции……………………………………………………………..115

5.2.6. Пример сети Петри для системы обнаружения и устранения неисправностей в технической системе……………………………………115

5.2.7. Анализ сетей Петри…………………..………………………...116

Вопросы к разделу 5.2……………….......................................................118

6. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ……………………………....119

6.1. Имитационный эксперимент..………………………..……….........121

6.2. Развитие имитационного моделирования (ИМ).………………….122

6.3. Этапы имитационного моделирования ...………………………....123

6.4. Подходы к построению имитационных моделей……………..…..124

6.4.1. Событийный подход……......……………………………….…125

6.4.2. Подход сканирования активностей……..………………..…...125

6.4.3. Процессно-ориентированный подход………..……………….126

6.5. Разработка программ имитационного моделирования…...………126

6.5.1. Использование для ИМ универсальных языков программирования……………………………………………………...........126

6.5.2.Использование для ИМ специализированных языков моделирования……………………………………………………………….127

6.5.3. Создание и использование проблемно-ориентированных систем моделирования…………………………………...………………….127

6.6. Имитационное моделирование систем массового обслуживания.128

6.6.1. Событийный метод организации вычислений…..…………...128

6.6.2. Схема реализации событийного метода ИМ…………..…......129

Вопросы к главе 6…………………..……………………………………130

7. МЕТОД «РЕСУРСЫ-ДЕЙСТВИЯ-ОПЕРАЦИИ» (РДО)…………...….131

7.1. Основные положения метода РДО …………….……………….…131

7.1.1. Ресурсы сложной дискретной системы (СДС)...…………......131

7.1.2. Действия в СДС………………………………………..……….132

7.1.3. Операции в СДС…………………………………..……………132

7.1.4. Основные положения РДО-метода…..………………………..133

7.2. Представление СДС в РДО-методе…..……………………………134

7.3. Базовая структура инструментальной среды.………......................135

7.4. Продукционный имитатор……………..…………………………...136

7.5. Моделирование в среде РДО…………………………..…………...136

7.5.1. Основные понятия………………..…………………………….136

7.5.2. Объекты исходных данных и объекты, создаваемые РДО-имитатором при выполнении прогона……………………………..………137

7.5.3. Состав объектов модели…………………..…………………...138

7.5.4. Назначение объектов модели……………………………..…...139

7.6. Интегрированная среда моделирования (ИСМ) РДО………….....140

7.6.1. Состав функций ИСМ……………..…………………………...141

7.6.2. Главное окно ИСМ РДО………………………..……………...143

7.6.3. Инструментальная панель………………………………..……144

7.6.4. Работа с РДО-имитатором………………………..……………144

Окно РДО-имитатора……………………………………………….144

Использование анимации…………………………………………..145

Пример описания кадра анимации………………………………...148

Вопросы к главе 7…………………..……………………………………150

8. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ЯЗЫКА GPSS………….……………...............151

8.1. Оператор GENERATE……..………………………………………..151

8.2. Оператор FUNCTION…………………………..…………………...152

8.3. Операторы SPLIT и ASSEMBLE…………………………..………152

8.4. Операторы SEIZE и RELEASE………………………………..…...153

8.5. Оператор ADVANCE……………………………………..………...153

8.6. Операторы ENTER и LEAVE……………………………………....154

8.7. Операторы QUEUE и DEPART……………………..……………...155

8.8. Оператор TEST…………………………………………..………….155

8.9. Операторы START и TERMINATE……………………………..…156

8.10. Оператор TRANSFER…………………………………..…………156

8.11. Оператор ASSIGNE………………………………………..………157

8.12. Операторы управления движением заявок…………………..…..157

8.13. Вычислительный оператор VARIABLE………………………….158

8.14. Оператор синхронизации МАТСН………………………..……...158

8.15. Пример программы на языке GPSS для СМО…………………...158

Вопросы к главе 8…..……………………………………………………160

9. ПЛАНИРОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ……………………………………………………..161

9.1. Основные понятия теории планирования экспериментов…..……162

9.2. Модели планирования эксперимента………………………..…….164

9.3. Виды планов экспериментов………………………..……………...168

Вопросы к главе 9……………………………..…………………………171

10. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ………………………………………………………...172

10.1. Методы оценки……..……………………………………………...172

10.2. Статистические методы обработки………………………………173

10.3. Задачи обработки результатов моделирования……………….....176

10.3.1. Критерий согласия Колмогорова………..…………………...177

10.3.2. Критерий согласия Пирсона...……………………………..…178

10.3.3. Критерий согласия Смирнова……………………………..…178

10.3.4. Критерий согласия Стьюдента…………………………….....179

10.3.5. Критерий согласия Фишера………………………………….179

10.4.Анализ и интерпретация результатов компьютерного моделирования…………………………………………………………….....180

10.4.1. Корреляционный анализ результатов моделирования..……180

10.4.2. Регрессионный анализ результатов моделирования……..…183

10.4.3. Дисперсионный анализ результатов моделирования……....185

Пример исследования САУ под действием случайных возмущений..187

Вопросы к главе 10………..……………………………………………..191

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………..………………………………………………….192

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………...193

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые сведения из теории матриц…... …………194

Основные типы матриц…………………………………………….…....194

Специальные типы матриц……………………………………………...195

Операции над матрицами………………...……………………………..196

Сложение матриц………………….………..………………………..196

Умножение матриц………………….…………………………...…...197

Дифференцирование матриц……….………….………………….....198

Интегрирование матриц………………………..………….................199

Определители……………………...………………………...…………...200

Свойства определителей…………….……………………………..…200

Миноры и алгебраические дополнения…………...………………........200

Присоединенная матрица…………………...…………………………..201

Обратная матрица…………………..………………….………………...201

Произведение определителей……………...………………………........201

Производная от определителя…………………………………………..201

Произведение обратных матриц…………………….……….................202

Производная от обратной матрицы……………….……………………202

Некоторые специальные обратные матрицы……..………....................202

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Некоторые сведения из теории графов……….………203

Описание спортивных соревнований с помощью графов…………….203

Нуль-граф и полный граф...……………………...……………………...204

Изоморфные графы…….………………………………………………..206

Плоские графы……………………………………………………….. …209

Число ребер графа………...……………………………………………..211

Формула Эйлера…………………………………………………………214

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Непрерывные одномерные распределения…………..215

Нормальное распределение………………..…………………..………..215

Равномерное распределение……………..…………………………..….216

Распределение Лапласа………………………………..………………...217

Вырожденное распределение…………………………………………...218

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Краткие сведения о специализированных языках и проблемно-ориентированных системах имитационного моделирования.219

Process Charter-1.0.2……………………………………….……………..220

Powersim-2.01…………………………………………………………….220

Lthink-3.0.61……………………………………………………………...221

Extend+BPR-3.1…………………………………………………………..221

ReThink…………………………………………………………………...221

Piligrim-2.1………………………………………………………………..221

Arena-BE 3.6.1……………………………………………………………222

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ…………..………………………………….223

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ……………………...…………………………..228