П.10. Мультисекция

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

- многочлен с числовыми коэффициентами, qN , mN, 0 q < m. Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для m = 1 равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для m  1. Имеем

. (2)

Если - целое, то и

.

Если - не целое, то и по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем r для которых N . Отсюда следует (1). 

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

Следствие 1. Пусть n, mN, qN , 0 q< m. Тогда

. (3)

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

Применяя мультисекцию к многочлену получим, что

,

где . Полагая x = 1 в последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4) получаем равенство (3). 

П.11. Упорядоченные поля

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

( P, + ,  , - , 0 , 1 ,  ) такая, что:

1/ алгебра ( P, + ,  , - ,0 , 1 ) - поле;

2/  - линейный порядок на P;

3/ для a, b, c P

a  b  a + c  b + c;

4/ для a, b P

a  b  c  0  ac  bc. 

Другими словами, упорядоченное поле - это поле на множестве элементов которого определён линейный порядок  согласованный, условиями 3/,4/, с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если ( P, + ,  , - ,0 , 1 ,  ) - упорядоченное поле, то для aP из условия a  0, следует, что a  0 .

Доказательство. Т.к.  - линейный порядок, то a  0 или a  0. Если a  0, то, по условию 4/, a  0. Если a  0, то - a  0 и по условию 4/, a =

= (-a) (-a)  0. 

Теорема 10. Если ( P, + ,  , - ,0 , 1 ,  ) - упорядоченное поле, то для a, b P из условия a  0  b  0 следует, что a² + b²  0.

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что a  0 и b  0. Из условия 3 следует, что a + b  0. 

Теорема 11. Поле комплексных чисел (C, + ,  , - , 0 , 1) нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел (C, + ,  , - , 0 , 1) упорядоченно. Т.к. 1  0, i  0, то, по теореме 10, 1 + i  0 - противоречие. 

Задачник.

1. Найти действительную и мнимые части комплексных чисел:

,

Решение.



2. Найти a, bR, если:

1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. .

Решение примера 2.2. Запишем левую часть равенства в алгебраической форме

Приравнивая действительную и мнимую части чисел в левой и правой частях равенства получим систему линейных уравнений

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на (-3), прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-4), получим



3. Вычислить:

3.1. ; 3.6. ;

3.2. ( ; 3.7. ( ;

3.3. ; 3.8. ;

3.4. ; 3.9. ;

5. ; 3.10. .

Решение примера 3.6. Имеем



4. Вычислить :

1. ; 4.5. ;

2. ; 4.6. ;

3. ; 4.7. ;

4. ; 4.8. .

Решение примера 4.2. Имеем



5. Вычислить :

1. ; 5.2. ;

5.3. 5.4. ;

5.5. ; 5.6. .

Решение примера 5.4. Имеем



6. Вычислить :

1. , где nN ; 6.2. , где nN ;

3. 

Решение примера 6.1. Разделим, по теореме о делении с остатком, число n на 4, получим, что Имеем

Ответ: , где r- остаток при делении n на 4. 

7. Вычислить :

1. ; 7.2. ; 7.3. ; 7.4.

7.5. ; 7.6. ; 7.7. ; 7.8. .

Решение примера 7.2. Имеем



8. При каких z , z C :

1. Re ( z z ) = Re ( z ) Re ( z ) ?

2. Im ( z z ) = Re ( z ) Re ( z ) + Im ( z ) Im ( z ) ?

3. Re ( z z ) = Im ( z ) Re ( z ) - Im ( z ) Re ( z ) ?

Решение примера 8.1. Запишем z = a + b i, z = a + b i, где a ,b ,a ,b R. Имеем Re(z z ) = a a - b b . Поэтому условие примера равносильно равенству a a - b b = a a  b b = 0  b = 0 b = 0  z R  z R. 

9. Найти значение f ( x ) :

9.1. при x = 1 - 2i ;

при x = 1 + 2i .

Решение примера 9.1. Имеем



10. Доказать, что :

10.1. ;

1. .

Решение примера 10.1. Имеем



Найти корни квадратного уравнения , где a, b, c  C.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Выделим полный квадрат в левой части и перенесём свободный член в правую часть

Перепишем последнее уравнение в виде

Обозначим через u какой-нибудь квадратный корень из . Тогда

Последнее равенство запишем в виде



12. Какие необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадратное уравнение , где a, b, c  C, имело: 1) действительные корни; 2) чисто мнимые корни; 3) комплекснозначные корни 

Решение первого примера. Пусть x , x - корни квадратного уравнения, тогда по формулам Виета

Поэтому b/a, c/a R. Квадратное уравнение запишем в виде

.

Последнее уравнение имеет действительные корни если

Ответ:



13. Решить над C квадратные уравнения :

1. x + 5x + 9 = 0 ; 13.6. x - ( 2 - i )x - 2i = 0 ;

2. 2x - 7x + 5 = 0 ; 13.7. x + ( 2 - i )x + ( -1 - 7i ) = 0 ;

3. 3x - 4x + 5 = 0 ; 13.8. x + ( 3 + 2i )x + ( 5 + 5i ) = 0 ;

4. x + ix + 1 - 3i = 0 ; 13.9. ( 2- i )x + ( 5+i )x + ( 2+2i ) = 0;

5. x - ( 2 + i )x + 2i = 0 ;

Решение примера 13.1. Имеем

Решение примера 13.6. Имеем

Обозначим

,

где Возводя в квадрат последнее равенство получим, что

Приравнивая действительные и мнимые части чисел расположенных в левой и правой частях равенства получим систему уравнений

Имеем

Решая последнее уравнение находим, что

Отсюда следует, что



14. Найти zC, удовлетворяющие уравнению :

1. ( i - z )( 1 + 2i ) + ( 1 - iz )( 3 - 4i ) = 0 ;

2. ( - i + z )( 1 - 2i ) + ( 1 + iz )( 3 + 4i ) = 0 .

Решение примера 14.1. Имеем

(-1-2i - i(3-4i)) z + (i(1+2i) + (3-4i)) = 0,

(-5-5i) z + (1-3i) = 0,



15 . Вычислить :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Решение примера 15.1. Имеем



16. Для nN, вычислить:

1. ; 16.2. ;

16.3. ; 16.4. .

Решение примера 16.1. Имеем

. 

17. Пусть z = a + bi, где a, b  R. Выразить через a, b :

1. z + z ; 17.2. z -z ; 17.3. z + 2z - 3z ; 17.4. ( 1 / z ) + ( 1 /z );

17.5.( 1 / z ) - ( 1 /z ) ; 17.6. ( 1 / z ) + ( 1 / ) ;

17.7. ( 1 / z ) - ( 1 /z ) .

Решение примера 17.7. Имеем



18.Решить уравнения :

1. ( 1 - i )z - 3iz = 2 - i ;

2. zz - 2z = 3 - i ;

3. zz + 3( z -z ) = 4 +3i ;

4. zz + 3( z +z ) = 3i ;

5. | ( z - 12 ) / ( z - 8i ) | = 5/3 ;

6. | ( z - 4 ) / ( z - 8 ) | = 1.

Решение уравнения 18.1. Запишем z в алгебраической форме z = a + bi, где a, bR. Уравнение перепишем в виде ( 1- i )( a - bi ) - 3i( a + bi ) = 2 - i. Запишем левую часть в алгебраической форме

( a - b + 3b ) + ( -a - b - 3a )i = 2 - i. Приравнивая действительные и мнимые части получим систему уравнений

Решая эту систему находим, что a = 0, b = 1, z = i. 

19. Следующие числа изобразить на комплексной плоскости :

1 ; -1 ; 0 ; 4 ; -4 ;

i ; - i ; 2i ; -2i ;

1 + i ; 1 - i ; -1 + i ; -1 - i ;

; ; ; ;

; ; ; .

20. Вычислить модули всех чисел из задачи 19.

21. Вычислить аргументы всех чисел из задачи 19.

22. Какие части плоскости заданы условиями :

1. Re z = 3 ; 22.2. Im z  0 ; 22.3. Re z  -2 ;

2. Im z = -2 ; 22.5. Im z  1 ; 22.6. Re z  -3 ;

22.7. Re z  0  Im z  0 ; 22.8. Re z  -2  Im z  -3 ;

9. 0  Re z  2  -1 Im z  1 ?

23. Какие части плоскости заданы условиями :

23.1. | z | = 1 ; 23.2. | z |  2 ; 23.3. | z |  3 ; 23.4. | z - 1 | = 1 ;

5. | z + i |  1  | z - i |  2 ; 23.6. | z + 1 + i |  2 ;

6. | z + i |  1  | z - i |  2 ; 23.8. Re z  0  | z |  3 ;

23.9. | z - 1 - i | + | z | = 2 ; 23.10. | z - 2 | + | z + 2 | = 2 ;

11. | z - 2 | + | z + 2 |  2 ?

24 . Какие части плоскости заданы условиями :

1. - / 4  arg z   / 4 ; 24.2. - / 4  arg ( z - i )   / 4 ;

2. | z | = arg z ; 24.4. Re z + Im z  1 ; 24.5. | z - 1 |  2| z - i | ;

3. Im (( z - z ) / ( z - z )) = 0 ; 24.7. Re (( z - z )/( z - z )) = 0 ;

4. Re ( 1 / z ) = 1 ; 24.8. Im ( 1 / z ) = 1 ; 24.9. Re ( z ) = 1 ;

5. Im ( z² ) = 1 ; 24.11. | ( z - z ) / ( z - z ) | = , ( -    ) ;

24.12. arg ( ( z - z ) / ( z - z ) ) =  , ( -    )?.

25. Дайте геометрическую интерпретацию следующих отображений :

1. z  z ; 25.2. z  iz ; 25.3. z  iz ;

2. z  - iz ; 25.5. z  -z ; 25.6. z  2z .

Решение примера 25.1. В лекциях проверено, что это отображение является симметрией относительно оси действительных чисел. 

26. Доказать тождества :

1. | z + z | + | z - z | = 2( | z | + | z | ) ;

2. Дайте геометрическую интерпретацию тождества 26.1.

26.3. | 1 - z z | - | z - z | = ( 1 + | z z | ) - ( | z | + | z | ) .

Решение примера 26.1. Имеем



Решение примера 26.2. Использую геометрическую интерпретацию комплексных чисел векторами плоскости получаем: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. 

27 . Пусть - комплексные числа, . Доказать, что

.

Обобщить это равенство на случай n комплексных чисел равного модуля.

28. Доказать, что для  a  R, a  0,  z  C, z  -a

| a + z | / | 1 + ( z / a ) | = a .

Решение. Имеем



29. Доказать, что для  z , z  C , | z | = 1 или | z | = 1 , z  z

| (z - z ) / ( 1 - z z ) | = 1.

Решение. Пусть | z | = 1, тогда

Случай | z | = 1 рассматривается аналогично. 

30. Для каких z , z  C выполнены равенства :

1. | z + z | = | z | + | z | ? ;

2. | z + z | = | | z | - | z | | ? .

Решение примера 30.1. Изображая числа векторами плоскости получаем, что равенство | z + z | = | z | + | z | выполнено для z , z лежащих на одной прямой, проходящей через начало координат по одну сторону от начала координат. 

31. Доказать неравенства :

1. Если | z |  1 / 2 , то | ( 1 - i ) z - i z |  3 / 4 ;

2. Если | z |  1, то | z - z - i |  3 ;

3. Если | z |  2 , то 1  | z - 5 |  9 .

Решение примера 31.1. По неравенству треугольника | ( 1 - i ) z - i z | 

 | 1 - i | |z| + | iz |  

32. Пусть z , z - смежные вершины параллелограмма, z - точка пересечения его диагоналей. Найти две другие вершины параллелограмма.

33. Доказать неравенства и определить в каких случаях они превращаются в равенства :

1. | ( z / | z | ) - 1 |  | arg z | ;

2. | z - 1 |  | | z | - 1| + | z | | arg z | ;

3. | z - z | 

 | | z | -| z | | + | arg z - arg z | min ( | z | , | z | ) .

34. Если z + z + z + z = 0, | z | = | z | = | z | = | z | , то z , z , z , z либо являются вершинами прямоугольника либо попарно совпадают.

Решение. Числа z , z , z , z лежат на окружности с центром в начале координат. Т.к. z + z = - z - z , то векторы z + z и - z - z имеют одинаковые длины и направления. Отсюда следует нужное утверждение. 

1. Пусть | z | = | z | = | z | = 1. Числа z , z , z являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда z + z + z = 0.

2. Четыре числа z , z , z , z лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ( z - z ) ( z - z ) / ( z - z ) ( z - z ) = a, где a  R .

3. Каков геометрический смысл числа arg ( ( z - z ) / ( z - z ) ) ?

4. Доказать, что комплексные числа удовлетворяют условию тогда и только тогда, когда корни многочлена образуют на комплексной плоскости две вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого вершина прямого угла расположена в начале координат.

5. Какими должны быть числа , чтобы корни многочлена были векторами одинаковой не нулевой длины и чтобы угол между ними равнялся ?

6. Известно, что | z + ( 1 / z ) | = a. Каковы наибольшее и наименьшее значения может иметь | z | ?

7. Модули комплексных чисел z , z , z , z образуют геометрическую прогрессию, а их аргументы - арифметическую прогрессию. Найти z , z , если z = , z = 4 i .

1. Доказать, что если число

является чисто мнимым, то | z | = 1.

41. Какие части плоскости заданы условиями :

1. | z |  2  arg z = - ;

2. | z - i |  1  0  arg z  ;

3. | z - 1 |  1  | z |  2  0  arg z  .

42. Следующие числа записать в тригонометрической форме :

1 ; -1 ; 0 ; 4 ; -4 ;

i ; - i ; 2i ; -2i ;

1 + i ; 1 - i ; -1 + i ; -1 - i ;

; ; ; ;

; ; ; .

43. Записать в тригонометрической форме :

1. cos w - i sin w ; 43.2. - cos w + i sin w ; 43.3. - cos w - i sin w ;

2. 1 + cos w + i sin w ; 43.4. 1 - cos w + i sin w ;

3. 1 + cos w - i sin w ; 43.5. 1 - cos w - i sin w .

44. Вычислить n - ю степень, где n  Z , чисел из задачи 43.

45. Вычислить :

1. ( 1 + i ) ;

2. ; 45.3. ;

45.4. ; 45.5. ;

45.6. ; 45.7. ;

45.8. ; 45.9. ; 45.10. ;

45.11. ; 45.12. ;

45.13. ; 45.14. ;

15. . ; 45.16. ;

45.17. , если .

46. Записать в тригонометрической форме :

1. ;

2. .

47. Решить уравнение :

47.1. , где   С ;

47.2. , где   С ;

3. , где  ,  ,   С .

48. Решить уравнение , где , , ,   С .

49. Всякое комплексное число можно записать в виде

где .

50. Вычислить :

50.1. все корни степени n из 1, n = 2, 3, 4, 6, 8 ;

50.2. ; 50.3. ; 50.4. ; 50.5. ;

50.6. ;

50.7. ; 50.8. ; 50.9. ; 50.10. ;

50.11. ; 50.12. ; 50.13. ; 50.14. ;

50.15. ; 50.16. ; 50.17. ;

50.18. ; 50.19. ;

50.20. ; 50.21. ;

50.22. .

51. Найти ошибку в вычислении :

1=

52. Решить уравнение над полем комплексных чисел :

1. ; 52.2. ; 52.3. ;

52.4. ; 52.5. , где n  N .

53. Решить уравнение:

1. ; 53.2.  .

54. Решить уравнение :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

55. Пусть ,  C , , . Доказать, что корни уравнения

,

где лежат на одной окружности ( которая может выродиться в прямую ) , для  n  N .

56. Доказать, что все корни уравнения

действительны и различны, где n  N, a  R.

57. Вычислить

.

58. Представить в показательной форме числа из задачи 42.

59. Записать в алгебраической форме :

59.1. ; 59.2. ; 59.3. ; 59.4. ;

59.5. ; 59.6. .

60. Доказать, что сумма всех корней степени n, из z  0 , равна 0, для n >1.

61. Доказать, что :

1. ;

2. .

62. Вывести формулы :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

63. Вывести формулы :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

64. Вычислить :

1. ; 64.2 .

65. Выразить через

66. Выразить :

1. через ; 66.2. через ;

66.3. через ; 66.4. через ;

66.5. через ; 66.6. через .

67. Доказать :

1. 

;

2. 

.

68. Упростить ядро Дирихле

.

69. Доказать :

1. 

= ;

2. 

.

70. Вычислить :

1. ;

2. .

71. Вычислить :

1. ;

2. .

72. Доказать, что :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. ;

8. ;

9. .

73. Доказать, что :

73.1. Если , где , то

;

2. .

74. Вычислить:

74.1. ;

2. .

75. Доказать, что :

1. 

;

2. 

.

76. Применить задачу 75 в следующих случаях :

1. , ; 76.2. ;

76.3. ; 76.4. ;

76.6. ; 76.7. .

77. Доказать, что :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

78. Доказать, что :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

79. Доказать, что :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

80. Найти формулы для вычисления , для аналогичные формулам задачи 79.

81. Найти формулы вычисления , для аналогичные формулам задачи 78.

82. На окружности, описанной около правильного n - угольника , взята точка . Доказать, что сумма квадратов расстояний от этой точки до всех вершин n - угольника не зависит от положения точки на окружности и равна , где - радиус окружности. Дать геометрическое доказательство для чётных .

83. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки , взятой в плоскости правильного - угольника , до всех вершин - угольника зависит только от расстояния точки от центра многоугольника и равна , где - радиус окружности, описанной около многоугольника.

84. Доказать, что утверждение предыдущей задачи остаётся в силе и в том случае, когда точка не лежит в плоскости - угольника .

85. На дуге окружности, описанной около правильного - угольника , взята точка . Доказать, что:

85.1. Если - чётно, то сумма квадратов расстояний от точки до вершин - угольника с чётными номерами равна сумме квадратов расстояний от этой же точки до вершин с нечётными номерами.

85.2. Если нечётно, то сумма расстояний от точки до вершин - угольника с чётными номерами равна сумме расстояний от этой же точки до вершин с нечётными номерами.

86. Радиус окружности, описанной около правильного - угольника , равен . Доказать, что:

1. Сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей - угольника равна ;

86.2. Сумма длин всех сторон и всех диагоналей - угольника равна

.

87. Найти сумму 50-х степеней длин всех сторон и всех диагоналей

правильного 100-угольника, вписанного в окружность радиуса .

88. Доказать, что

88.1. ;

88.2. ;

88.3. ;

88.4. ;

88.5 ;

88.6. ;

88.7. ;

88.8. .

Указание. Применить Следствие 1 к теореме о мультисекции. 

89. Вычислить:

89.1. ;

89.2. ;

89.3. ;

89.4 , ;

89.5. , ;

89.6 , ;

89.7. , .

90. Пусть . Доказать, что:

90.1.

90.2.

для .

90.3. .

91. Вычислить:

91.1. ;

91.2. .?

92. Дан многочлен ,

где . Вычислить:

92.1. , ;

93.2. ,

.