П.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Определение. Аргументом комплексного числа  называется число Arg , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , Arg  определяется с точность до углов кратных 2. Главным значением аргумента комплексного числа  называется то значение Arg , которое принадлежит промежутку (-,, оно обозначается

arg  и - arg  . 

Пусть  записано в алгебраической форме  = a + bi  0. Тогда из геометрической интерпретации  следует, что:

Arg  = arg  + 2k, kZ;

arg  = arctg (b/a), если a  0;

arg  = arctg (b/a) + , если a  0, b  0;

arg  = arctg (b/a) - , если a  0, b  0.

Заметим, что arg  выражается только в радианах, arg 0 не определён.

Пример.

аrg 1 = 0, Arg 1 = 2k, kZ,

аrg (-1) = , Arg (-1) =  + 2k, kZ,

аrg i = /2, Arg i = /2 + 2k, kZ,

аrg (-i) = -/2, Arg (-i) = -/2 + 2k, kZ,

аrg (1+i) = /4, Arg (1+i) = /4 + 2k, kZ. 

Теорема 4. Каждое комплексное число   0 может быть записано в виде

 =   (cos(arg ) + i sin(arg )) =

=   (cos(Arg ) + i sin(Arg )).

Доказательство. Изобразим  вектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

y

b 

Рис.6.

0 a x

Угол, образованный вектором  и положительным направлением оси абсцисс, равен arg , следовательно, a =  cos(arg ), b =  sin(arg ). Поэтому  = a + bi =   cos(arg ) + sin(arg ) =  (cos(arg ) +

+ i sin(arg ). 

Определение. Если комплексное число  записано в виде  =  (cos  + + i sin ), то говорят, что  записано в тригонометрической форме. 

Пример. Запишем числа 1,-1, i, -i в тригонометрической форме:

1 = cos 0 + i sin 0; -1 = cos  + i sin ; i = cos(/2) + i sin(/2); -i =

= cos(-/2) + i sin(-/2); 1+ i = 2(cos(/4) + i sin(/4)). 

Правила действий с комплексными числами,

записанными в тригонометрической форме

Пусть комплексные числа  записаны в тригонометрической форме

 =   (cos  + i sin ),  =   (cos  + i sin ).

1/  =     ( cos ( + ) + i sin ( + )),

т.е. при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

 =  (cos  + i sin )   (cos  + i sin ) =

=     (( cos  cos  - sin  sin ) + i (cos  sin  + sin  cos ) =

=      ( cos ( + ) + i sin ( + )). 

2/ Если   0, то

 /  = (   /   ) (( cos ( - ) + i sin ( - )),

т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим  = (   /   ) (( cos ( - ) + i sin ( - )). Т.к.

  = (   /   ) (( cos ( - ) + i sin ( - )) (   (cos  + i sin )) =

= (cos  + i sin ) = , то нужное утверждение доказано. 

3/ Если   0, то

 =    ( cos ( - ) + i sin ( - )).

4/ Формула Муавра. Для nN,

 =    (cos n + i sin n).

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1. 

5/ Обобщённая формула Муавра. Для nZ ,

 =    (cos n + i sin n).

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3/. 