П.4. Модуль комплексного числа
Пусть записано в алгебраической форме = a + bi.
Определение. Модулем комплексного
числа называется
неотрицательное действительное число
.
Свойства модуля
Для , C, где = a + bi, = c + di, a, b, c, dR.
1/ = 0 = 0.
Доказательство.
= 0
=
0 a
+b
=
0 a
= b =
0
= a + bi = 0.
2/
.
3/
.
Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.
4/ = .
Доказательство.
.
Отсюда следует нужное утверждение.
5/ Если 0, то -1 = -1 .
Доказательство. -1 = 1 -1 = 1 -1 = 1
-1 = -1.
6/ Неравенство треугольника: + + .
Доказательство. Докажем сначала неравенство
+1 + 1.
Имеем
(
2)
+1
= ( +1
)(+1)
= (+1)(
+1) =
+
(+)
+1
+2 + 1,
т.к.
+
= 2a
2
= 2
.
Из (2) следует, что
+1 ( + 1) .
Из последнего неравенства следует неравенство (1).
Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для = 0. Докажем неравенство треугольника для 0. Имеем
+
=
(
+1)
=
+1
(
+ 1) =
= ( + 1) =
= + .
7/ + - .
Доказательство. = (+)+(-) + + - = + + . Отсюда следует нужное неравенство.
8/ + - .
Доказательство. Справедливы неравенства
+ - , + - = -( - ).
Одно из подчёркнутых чисел совпадает с - .
П.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Пусть записано в алгебраической форме = a + bi. Поставим в соответствие числу точку плоскости с координатами (a,b). Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.
Числа и
расположены симметрично относительно
оси абсцисс. Действительные числа
расположены на оси абсцисс, поэтому ось
абсцисс - ось действительных чисел. На
оси ординат расположены числа, у которых
действительная часть равна нулю. Иногда
ось ординат называют осью мнимых чисел.
Геометрический смысл модуля
Из рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа равно
. Поэтому геометрический смысл - расстояние от до начала координат.
y
bi
i
-
1+i
1+i
-1
0 1 a
x
-1-i 1-i
-i
Рис.1.
-bi
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества заданные, соответственно, следующими условиями: z =1; z 1; z 1.
y z =1 y z 1 y z 1
i
i
i
-1 1
-1 1
-1 1
0 0 0
-i -i -i
Рис.2.
Пусть записано в алгебраической форме записано в алгебраической форме = c + di. Имеем
-
=
=
.
Из рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.
y
b
d b-d
a-c
Рис.3.
0 c a x
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества заданные, соответственно, следующими условиями: z-1 =2; z+i 1.
y
y
z-1
=2 0
x
-i
-1 0 1 3 x z+i 1
-2i
Рис.4.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
векторами плоскости
Поставим в соответствие числу связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.
y
+
0 Рис.5
x
Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.