П.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать C, т.е. C = R . Приняты также следующие обозначения:

0 = (0,0); 1 = (1,0); i = (0,1); а = (а,0) для a R. 

Теорема 2. Каждое комплексное число  может быть, и притом единственным образом, записано в виде

 = a + bi,

где a,bR. (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют a,bR такие, что  = (a,b). Имеем

 = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi. 

Теорема 3. Число i обладает свойством: i = -1.

Доказательство. i = i i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1. 

Из равенства i = -1 следует, что iR.

Определение. Пусть  = a + bi, где a,bR. Число a называется действительной частью, b - мнимой частью комплексного числа . Пишем Re  = =a, Im  = b. 

Пусть  = a + bi - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если b = 0, то  = a  R;

если b  0, то   R.

Определение. Если Re  = 0,   0, то комплексное число  называют чисто мнимым числом. 

Действия над комплексными числами

в алгебраической форме

1/ Для a,bR

a + bi = 0  a = b = 0.

Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.

Доказательство. a + bi = 0  (a,b) = (0,0)  a = b = 0. 

2/ Для a,b,c,dR

a + bi = c + di  a = c  b = d.

Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.

Доказательство.

a + bi = c + di  (a,b) = (c,d)  a = c  b = d. 

3/ Для a,b,c,dR

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i.

Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.

Доказательство. (a + bi) + (c + di) = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) = (a+c) +

+ (b+d)i. 

4/ Для a,b,c,dR

(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i.

Доказательство. (a + bi)(c + di) = (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc) = (ac-bd) + +(ad+bc)i. 

5/ Для a,bR

-(a + bi) = -a-bi.

Доказательство. -(a + bi) = - (a,b) = (-a,-b) = -a-bi. 

6/ Для a,bR, если a + bi  0, то

(a + bi) ^-1 = a/(a²+b²) - (b/(a²+b²))i.

Доказательство. (a + bi) ^-1 = (a,b)^-1 = (a/(a²+b²),-b/(a²+b²)) = a/(a²+b²) -

- (b/(a²+b²))i. 

П.3. Операция сопряжения

Определение. Пусть комплексное число  записано в алгебраической форме  = a + bi. Числом сопряжённым с  называется число  = a - bi. 

Свойства операции сопряжения

Для ,C, где  = a + bi,  = c + di, a,b,c,dR.

1/.

Доказательство.

. 

2/ .

Доказательство. . 

3/ .

Доказательство.

.

.

4/ Если   0, то .

Доказательство.

. 

5/  R.

Доказательство.

=  a + bi = a - bi  a = a  b = -b  b =0   = a R. 

6/ = a +b .

Доказательство.

= (a + bi)(a - bi) = a - b i = a +b . 

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел . Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое со знаменателем и вычислить произведения в числителе и знаменателе.

Пример.

= = = 4+i. 