Глава III Комплексные числа (теория и практика)
Комплексные числа появились в математике
более 400 лет тому назад. Впервые, по
видимому, комплексные числа появились
в книге Дж. Кардано «Великое искусство,
или Об алгебраических правилах» (1545
г.), который считал их бесполезными,
непригодными к употреблению. После
того, как были найдены формулы для
решения кубических уравнения, выяснилось,
что для их решения необходимо извлекать
квадратный корень из отрицательного
числа. Это привело к введению в математику
таких корней и содержащих их выражений,
т.е. к введению комплексных чисел.
Р.Бомбелли (1572 г.) дал простейшие правила
действий с комплексными числами.
Первоначально комплексные числа называли
мнимыми, невозможными и т.д. Комплексные
числа долго казались просто формальными
объектами, непригодными для использования
в других областях математики, физики.
Известно, например, что И. Ньютон не
считал комплексные числа числами,
а Г. Лейбниц писал : «Мнимые числа
-это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа, почти что амфибия
бытия с небытиём». Однако, в дальнейшем
выяснилось, что без использования
комплексных чисел невозможно развитие
многих областей математики, что
комплексные числа играют основную роль
в различных разделах физики. Задача о
вычислении корней степени n
из комплексных чисел была
решена в нескольких работах А.Муавра
(1707, 1724 гг.) и Р.Котеса (1722 г.).
Термин « комплексные
числа » появился
у Л.Карно (1803 г.). Геометрическое
представление комплексных чисел и
действий над ними впервые опубликовано
в работе К.Весселя (1799 г.). В начале
XIX, после работ Ж.Аргана
(1806, 1814 гг.) геометрическое истолкование
комплексных чисел (иногда называемое
диаграммой Аргана) вошло в математический
обиход и началось построение логически
строгих обоснований комплексных чисел.
Систематическое использование термина
« комплексные числа
» было начато Гауссом в 1831 г.. Гаусс
также стал систематически
употреблять
запись
вместо
.
Символ
ввёл Эйлер в 1794 г. Построение
комплексных чисел, как
упорядоченных пар действительных чисел,
впервые было предложено У.
Гамильтоном в 1837 г.
П.1. Построение поля комплексных чисел
Рассмотрим множество R
= {(a,b)
a,bR
}. Определим на R
бинарные операции сложения «+»,
умножения «», унарную
операцию минус «-» и определим элементы
0, 1.
Для (a,b), (c,d) R :
(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d);
(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc);
-(a,b) = (-a,-b).
Обозначим: 0 = (0,0), 1 = (1,0).
Теорема 1. Алгебра (R , + , , - , 0 , 1 ) является полем.
Доказательство. Проверим, что алгебра (R , +, - , 0 ) есть абелева группа.
1/ Для (a,b), (c,d), (e,f ) R
(a,b)+((c,d)+(e,f )) = ((a,b)+(c,d))+(e,f ).
2/ Для (a,b) R
(a,b)+0 = (a,b).
3/ Для (a,b) R
(a,b)+(- (a,b)) = 0.
4/ Для (a,b),(c,d) R
(a,b)+(c,d) = (c,d))+ (a,b).
Проверим, что операция «» ассоциативна, т.е. для (a,b),(c,d),(e,f ) R
(a,b)((c,d)(e,f )) = ((a,b)(c,d))(e,f ).
Действительно,
(a,b)((c,d)(e,f )) = (a,b)(ce-df,cf+de) = (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf),
((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd,ad+bc)(e,f ) = (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce).
Проверим левый закон дистрибутивности, т.е. для (a,b), (c,d), (e,f) R
(a,b)((c,d)+(e,f )) = (a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f ).
Действительно,
(a,b)((c,d)+(e,f)) = (a,b)(c+e,d+f ) = (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be),
(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f ) = (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be) =
= (ac-bd+ ae-bf, ad+bc+ af+be).
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
Из выше доказанного следует, что алгебра (R , + , , - , 0 ) есть кольцо.
Проверим, что кольцо (R , + , , - , 0 ) коммутативно, т.е.
для (a,b),(c,d) R
(a,b)(c,d) = (c,d)(a,b).
Действительно,
(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc), (c,d)(a,b) = (ca-db,cb+da).
Проверим, что (R , + , , - , 0 ) кольцо с единицей 1, т.е. (a,b) R
1 (a,b) = (a,b).
Действительно,
1 (a,b) = (1,0)(a,b) = (1a - 0b,1b + 0a) = (a,b).
Т.к. (1,0) (0,0), то 1 0.
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца (R , + , , - , 0 ) обратим. Пусть (a,b) (0,0), что равносильно a +b 0. Рассмотрим пару (a/(a +b ),-b/(a +b )) и проверим, что эта пара является обратной к паре (a,b). Действительно,
(a,b) (a/(a +b ),-b/(a +b )) = ((a +b )/ (a +b ),(-ab+ba)/(a +b )) =
= (1,0) = 1.
Из выше доказанного следует, что алгебра (R , + , , - , 0 , 1) - поле.
Определение. Поле (R , + , , - , 0 , 1) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами.