2. Мова класичної логіки висловів

Приступимо до систематичної побудови мови класичної логіки висловів. Перш за все задамо її алфавіт - сукупність вихідних символів даної формалізованої мови.

Множину нелогічних символів складає нескінченний список пропозиціональних змінних р, q, г, s, ... . Ці символи використовуються як параметри простих висловів при виявленні логічних форм контекстів природної мови.

Логічними символами даної мови є істиннісно-функціональні пропозиціональні зв'язки. У якості вихідних можуть бути прийняті різні набори зв'язок. Єдина вимога, що пред'являється до вказаних наборів, - наступна: система функцій істинності, представлених цими зв'язками, повинна бути функціонально повною, тобто за допомогою функцій даної системи повинна бути виражена будь-яка функція істинності. Домовимося використовувати у якості вихідних логічних символів зв'язки , &,  та .

Технічними символами є ліва і права круглі дужки: ( , ). Побудова алфавіту завершена.

Виразом мови класичної логіки висловів будемо називати будь-яку послідовність знаків його алфавіту. Деякі з цих виразів є правильно побудованими, а деякі такими не є. Причому в мові пропозиціональної логіки є один тип правильно побудованих виразів - формули. Точне визначення формули задається таким чином:

1. Всяка пропозиціональна змінна є формулою.

2. Якщо а — формула, то  а також є формулою.

3. Якщо а і в - формули, то вирази (а & в), (а  в), (а  в) також є формулами.

4. Ніщо інше не є формулою.

Формули, вказані в пункті 1 даного визначення, називають елементарними, а в пунктах 2 і 3 - складними. Зауважмо, що якщо в алфавіт мови введені логічні символи ┬ (константа істинності) або  (константа хибності), то їх також включають в клас формул, причому відносять до елементарних формул.

Користуючись визначенням формули, можна для будь-якого виразу мови у скінчене число кроків вирішити питання про те, чи є цей вираз формулою, чи ні.

Формула, що входить до складу деякої формули, називається її підформулою. В складній формулі завжди можна виділити зв'язку, яка називається її головним знаком. У формулах виду  А головним знаком є перше зліва входження символу . У формулах виду (А & В), (А  В), (А  В) головними знаками є, відповідно, ті входження символів &, , , які стоять між підформулами А і В. Наприклад, у формулі ( р  (q & r)) головним є знак . У формулі (( р  q) & r) — знак &, а у формулі  (р  (q & r)) - знак .

Для того, щоб записи формул мали більш компактний вигляд, приймемо угоду про опускання дужок: якщо першим знаком формули є ліва дужка, а останнім - права, то цю пару дужок домовимося опускати. Тоді формула ( р  (q & r)) запишеться як  р  (q & r).

Завершивши побудову формалізованої мови, покажемо, яким чином в ній виражається логічна форма висловів природної мови. Пояснимо, як здійснюється дана процедура, на прикладі. Виразимо в мові пропозиціональної логіки форму складного вислову "Якщо спортсмен став призером змагань, але не виграв їх, то він зайняв друге або третє місце".

Перш за все необхідно виділити прості вислови, що входять до складу складного. В нашому прикладі їх чотири:

1. Спортсмен став призером змагань.

2. Спортсмен виграв змагання.

3. Спортсмен зайняв друге місце.

4. Спортсмен зайняв третє місце.

З кожним простим висловом співвідноситься власна пропозиціональна змінна, наприклад, з першим - р, з другим - q, з третім - r, з четвертим - s.

Далі виділяємо логічні терміни, за допомогою яких з простих висловів утворюються складні: "але", "не", "або", "якщо..., то". Тепер необхідно з'ясувати, яке значення в даному вислові виражає кожний логічний термін, і зіставити цьому терміну зв'язку формалізованої мови, яка має аналогічний смисл. В нашому випадку терміну "але" по значенню відповідає кон'юнкція (&), терміну "не" - заперечення ( ), терміну "або" - диз'юнкція (). Що ж до сполучника "якщо..., то", то найближчою йому по значенню є матеріальна імплікація (). Однак, як вже мовилося, цей сполучник звикло виражає умовний зв'язок між положеннями справ і не є істиннісно-функціональним. Тому, замінюючи "якщо ..., то" зв'язкою "", ми повинні пам'ятати, що у вказаних випадках вона виражає лише частину логічного змісту умовного вислову.

Нарешті, необхідно встановити порядок і спосіб поєднання простих висловів в складний за допомогою логічних термінів. В нашому вислові головним є сполучник "якщо..., то", значить, його логічна форма повинна бути імпликативною формулою. Її антецедент — кон'юнктивна формула, першим членом якої буде р (цією змінною ми замінюємо простий вислів (1)), а другим членом - заперечення q (цією змінною замінюється вислів (2)). Отже, антецедент імплікації має вигляд (р &  q). Її консеквент - диз'юнктивна формула, членами якої є змінні r і s (ними замінюються вислови (3) і (4)). Отже, консеквент імплікації має вид (r  s). В цілому, логічною формою даного вислову є формула (р &  q)  (r  s).

Задавши мову класичної логіки висловів, приступимо до побудови в її рамках самої цієї логічної теорії - класичної логіки висловів. При цьому використовуватимемо метод, що отримав назву методу таблиць істинності.