Вопросы для самопроверки:

1. Сформулируйте классическое определение вероятностей случайного события.

2. Что такое сочетания, размещения, перестановки?

3. В каком случае случайные события образуют полную группу?

Тема 10.Сложные события

[2, гл. II, § 1-3; гл III, § 1-4, гл.IV, § 2], [1, гл. II, § 1? Упр. 46,49,51,52,64-66, §2, упр. 80-84, § 3, упр. 89,90]

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется суммой двух событий?

2. Какие события называются несовместными?

3. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

4. Что называется произведением двух событий?

5. Каике события называются независимыми?

6. Сформулируйте теорему умножения вероятностей независимых событий.

7. Что называют условной вероятностью?

8. Содержание формулы полной вероятности.

Тема 11. Повторение испытаний

[2, гл.V, § 1], [ 1, гл. III, § 1, упр. 110,112,115].

Вопросы для самопроверки:

1. Какая формула и в каких случаях позволяет вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществляется ровно К раз? Как нужно изменить формулу, если необходимо вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится не менее К₁ и не более К₂ раз.

Тема 12. Случайные величины

[2, гл. IV, § 1-5; гл. VII, §1-2; гл. VIII, § 1-4,7; гл. IX, § 1-3; гл. XI, § 1,4; гл. XII, § 1-4 ], [1, гл.IV, § 3, упр. 188,210,211,218; гл. VI, § 1, упр.252,256, § 2, упр. 262,263, §3, упр. 280,297, § 5, упр. 322-324].

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое дискретная случайная величина?

2. Что называется функцией распределения? Применимо ли это понятие к дискретным случайным величинам?

3. Какие числовые характеристики случайных величин вы знаете?

4. Исследуйте формулу, задающую нормальное распределение непрерывной случайной величины, и дайте эскиз графика соответствующей функции (кривой Гаусса).

Задачи для контрольной работы

Задание 1. Вычисление пределов

1.а) ; б) ;

в) ; г) .

2. а) ; б) ;

в) ; г) .

3. а) ; б) ;

в) ; г) .

4. а) ; б) ;

в) ; г) .

5. а) ; б) ;

в) ; г) .

6. а) ; б) ;

в) ; г) .

7. а) ; б) ;

в) ; г) .

8. а) ; б) ;

в) ; г) .

9. а) ; б) ;

в) ; г) .

10. а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание 2. Дифференциальное исчисление

Найти производную и дифференциал функций:

11. ; 16. ;

12. ; 17. ;

13. ; 18. ;

14. ; 19. ;

15. ; 20. .

Найти производную

21. ; 26. ;

22. ; 27. ;

23. ; 28. ;

24. ; 29. ;

25. ; 30. .

Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя:

31. ; 36. ;

32. ; 37. ;

33. ; 38. ;

34. ; 39. ;

35. ; 40. .

Исследовать функцию и построить график :

41. ; 46. ;

42. ; 47. ;

43. ; 48. ;

44. ; 49. ;

45. ; 50. .

Задание 3. Интегральное исчисление

Найти неопределенные интегралы:

51. а) ; б) ; в) .

52. а) ; б) а) ; в) .

53. а) ; б) ; в) .

54. а) б) ; в) .

55. а) ; б) ; в) .

56. а) ; б) ; в) .

57. а) ; б) 4 в) .

58. а) ; б) ; в) .

59. а) ; б) ; в) .

60. а) ; б) ; в) .

Вычислить определенные интегралы:

61. 66.

62. 67.

63. 68.

64. 69.

65. 70.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными ниже линиями. Сделать чертеж.

71. y = x², y = x+2;

72. y = x²-3, y = -2x;

73. y = x²-4x, y = -3;

74. y = 2x²-2x-3, y =x² +3x+3;

75. y = 3x²+2x+1, y =2x² +3x+3;

76. y = x², y =4x-3;

77. y = x²-6, y =5x;

78. y = x²+2x, y 3;

79. y = x²-2x-3, y =2x² –x-5;

80. y = 2x², y =-x²+3.

Задание 4. Функции нескольких переменных.

Найти частные производные функции Z = Z(x,y)

81. Z = 2x³-3xy²+y5;

82. Z = x⁴+2x²-xy³ ;

83. Z = 5x-2x³y²+2y⁴;

84. Z = -x²+5xy⁵-2y³x;

85. Z = x³-3x²y+xy²-y³;

86. Z = 4x-7x⁴y+3y⁵;

87. Z = x⁴+2x²y²+y⁴;

88. Z = x³+3x²y+3xy²+y³;

89. Z = 6x³-5x²y³+x³y²;

90. Z = x⁶+2x³y²+y⁴.

Найти экстремумы функций:

91. Z = x³+8y³+6xy+5;

92. Z = x²+xy+y²-3x-6y;

93. Z = x²+y²+8x-2;

94. Z = y²+yx+x²-6y-9x;

95. Z = x²-xy+y²+9x-6y+20;

96. Z = 3x²-y²+4y+5;

97. Z = x²-4x+y²;

98. Z = x²+xy+2y²-x+y;

99. Z = 3x²-6x-y²+4y+8;

100. Z = x²+xy+x+2y²+2y.

Задание 5. Дифференциальные уравнения.

Решить уравнения:

101. а) б) при условиях y(0)=1;

102. а) б) при условии y(0)=1.

103. а) б) при условиях y(0)=0;

104. а) б) при условии y(0)=0.

105. а) б) при условиях y(0)=5;

106. а) б) при условии y(4)=1.

107. а) б) при условии y(1)=-1.

108. а) б) при условиях y(0)=1,

109. а) б) при условиях y(0)=-3,

110. а) ; б) при условиях

Задание. Основы теории вероятностей

111. В конверте 10 фотокарточек. Среди них 6 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди того, что них 3 нужные.

112. В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?

113. В группе 15 студентов, среди них 5 отличников. Наугад отобраны 4 студента. Найти вероятность того, что среди них 2 отличника.

114. У крольчихи – 8 крольчат, из них 4 белые. Наугад отобрано 2 кролика. Найти вероятность того, что среди них один белый.

115. В корзине 20 грибов среди них 6 белых. Наугад извлечены 4 гриба. Какова вероятность того, что все они белые?

116. В библиотеке 14 учебников по теории вероятностей. Среди них 4 в переплете. Библиотекарь наудачу взял 4 учебника. Какова вероятность того, что все они в переплете.

117. В конверте 9 лотерейных билетов, из них 6 выигрышных. Наугад извлечены 3 билета. Найти вероятность того, что среди них 1 выигрышный.

118. На клумбе растут 20 астр, из них 5 белых. В темноте сорвали 4 астры. Найти вероятность того, что среди них 2 белые.

119. В ящике 12 мышей. Среди них 8 белых. Наугад извлечено 4 мыши. Какова вероятность того, что все они белые.

120. В пенале 10 карандашей, из них 4 цветных. Наудачу извлечены 4 карандаша. Найти вероятность того, что среди них нет цветных.