Раздел 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 8. Некоторые дифференциальные уравнения

[3, гл. X, §9,10.1-10.3, зад. и упр. 1-5,8,11,12],[4 гл. XII, §1,2,8].

Для решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида

(1)

Составляют характеристическое квадратное уравнение

(2)

Которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции у соответствующими степенями r, причем сама функция у заменяется единицей. Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от дискриминанта Д квадратного уравнения (2).

Практика показывает, что наиболее трудным является случай Д<0, когда уравнение (2) имеет пару сопряженных комплексных корней

где а α и β – действительные числа, причем β>0. Общее решение в этом случае таково:

Задача 1. Найти α и β, если корни уравнения (2) имеют вид:

Решение: Преобразуем выражения для и :

Нетрудно видеть, что

В частном случае, если

Задача 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0,

Решение: Данная задача с начальными условиями носит название задачи Коши. Составим характеристическое уравнение: r²-1=0. Его решениями являются Общее решение уравнения в этом случае (Д>0) находится по формуле , т.е. . (3)

Найдем (4)

Подставим в уравнения (3) и (4) начальные условия:

Решая эту систему, получаем Найденные значения постоянных с₁ и с₂ подставляем в общее решение (3) и получаем искомое решение или

Вопросы для самопроверки:

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Что такое порядок дифференциального уравнения?

2. Что называется решением дифференциального уравнения? Какое из решений называется общим, а какое частным?

3. Сформулируйте понятие задачи Коши.

4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными? Как оно интегрируется?

5. Приведите формулы общих решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Раздел 5. Основы теории вероятностей

Тема 9. Случайные события

[2, гл. I, § 1-5 ], [1, гл. I, § 1, упр. 4-7,11-20 ]

Для успешного выполнения упражнений необходимо ознакомиться с элементами комбинаторики, в частности с таким понятием, как сочетания.

Сочетаниями из n элементов по m называются наборы (соединения), составленные из n элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним элементом. Например, сочетаниями из девяти первых натуральных чисел по 4 будет: {1;2;3;4},{1;2;5;4},{5;6;7;8},{1;3;5;9} и т.д. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m обозначается и вычисляется по формулам:

где

В частности, .

Последняя формула полезна, когда n-m<m. Например,

Задача 1. В ящике 9 мышей. Сколько есть способов отобрать четыре из них?

Решение: Искомое число есть число сочетаний из 9 по 4