Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается правило Лопиталя?

2. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

3. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции.

4. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой ?

Раздел 2. Интегральное исчисление функции одной переменной

Тема 5. Неопределенный интеграл

[1, гл IX, § 9.1 – 9.3],[4, гл VII]

Эффективным способом интегрирования функций является замена переменной. Его целью является получение с помощью новой переменной более простого интеграла.

Задача 1. Найти

Решение:

Сделаем замену 2x=t. Для нахождения dx через t продифференцируем обе части уравнения:

. Теперь

.

Задача 2. Найти .

Решение: 1-й способ. Сделаем замену

э

Очевидно, выразить dx только через t рациональным способом не удается. Однако после подстановки полученных выражений для и dx через t исходный интеграл принимает вид:

. Можно было поступить по-другому. Нетрудно видеть, что в равенстве левая часть содержит часть подынтегрального выражения, а именно . Поэтому и т.д.

2-й способ. Сделаем другую замену:

и подынтегральное выражение сразу очень просто выражается через t:

.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение первообразной.

2. Что называется неопределенным интегралом? Чем он отличается от первообразной?

3. Каковы основные методы интегрирования?

Тема 6. Определенный интеграл

[3, гл IX, § 9.4-9.6, зад и упр. 6-8,15,16],[4, гл IX, § 1-4].

Одним из наиболее распространенных приложений определенного интеграла является решение физически задач. Если точка движется по некоторой кривой со скоростью V(t)≥0, то путь пройденный точкой за время равен:

Задача 1. Скорость точки равна (м/c). Найти путь, который точка преодолела за время t=4c, прошедшее с начала движения.

Решение: В нашем случае

.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b]?

2. Каковы основные свойства определенного интеграла?

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

4. Каковы особенности нахождения определенного интеграла с помощью подстановки?

5. Какие приложения определенного интеграла Вы знаете?

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций Нескольких переменных

Тема 7. Функции нескольких переменных

[3, гл. VIII],[4, гл. XI,§ 1-3,11,12].

Основная проблема при изучении этой темы возникает в момент дифференцирования указанных функций. Это связано с тем, что при дифференцировании функции по одной переменной все другие переменные предполагаются постоянными величинами. Например,

Задача 1. Найти частные производные функции

Решение: Найдем производную функции Z по переменной x. В этом случае, при дифференцировании величина y считается постоянной и поэтому:

Аналогично найдем производную функции по y, считая величину x постоянной:

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией двух переменных?

2. Дайте определения частных производных.

3. Как находится экстремум функции нескольких переменных?

4. В чем состоит способ наименьших квадратов построения эмпирических формул?