Вопросы для самопроверки:
Что называется функцией?
Какие способы задания функции Вы знаете?
Какая функция называется четной, а какая нечетной?
Тема 2. Пределы
[3 гл. VI, § 6.5-6.8], [4, гл. VI, § 2-7, 10].
Функция называется непрерывной в
точке
,
если имеет место равенство:
(1), которое помогает очень
просто находить пределы непрерывных
функций. Для вычисления предела такой
функции находят ее значение в предельной
точке
.
К непрерывным относятся все элементарные
функции, а также многочлены в любой
точке их области определения.
Например,
;
;
Если равенство (1) не выполняется, то функция разрывна в точке .
Но, если не существует значение
,
это не означает, что не вычисляется
предел функции при
.
Задача 1. Найти
Решение:
Дробь при
не вычисляется, причем
и
,
т.е. дробь представляет собой отношение
двух бесконечно малых функций
(неопределенность вида
).
Для вычисления предела дроби (раскрытия
неопределенности) следует разложить и
числитель, и знаменатель на множители
и при наличии одинакового множителя,
стремящегося к 0 при
,
дробь на этот множитель сократить:
.
Для разложения на множители
числителя необходимо вспомнить формулу
,
где
и
- действительные корни квадратного
трехчлена,
.
Для трехчлена
,
,
,
.
Поэтому
.
Для
преобразования будут такими:
;
.
Задача 2. Найти
.
Решение:
При х=5 дробь не вычисляется, пределы
числителя и знаменателя равны 0, т.е.
имеем неопределенность вида
.
Для раскрытия неопределенности следует
избавиться от конкретных иррациональностей
в числителе и знаменателе, а при наличии
общего множителя дробь на него сократить.
Достигается это с помощью следующих
тождественных преобразований для
:
=
.
Теперь
.
Хорошо известен 1 замечательный
предел:
.
Но часто аргументом синуса является
функция
,
стремящаяся к 0 при
.
В этом случае
.
Задача 3. Найти
.
Решение: Дробь при х=0 не
вычисляется
,
,
имеем неопределенность вида
.
Преобразуем дробь следующим образом:
.
.
Следует отметить, что если функция
есть дробь, числитель который при
имеет предел, отличный от 0, а знаменатель,
напротив, имеет пределом 0, то
.
Задача 4. Найти
.
Решение:
,
.
Следовательно,
.
Задача 5. Найти
.
Решение: При
и числитель, и знаменатель – Бесконечно
большие функции (неопределенность вида
).
Для раскрытия неопределенности
преобразуем дробь, разделив числитель
на знаменатель на старшую степень
,
т.е. на
:
.
Теперь
=
Задача 6. Найти
.
Решение: Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на . Тогда:
.
Здесь была использована формула:
.
Задача7. Найти
,
Решение:
При
и числитель, и знаменатель дроби стремятся
к 0, т.е. имеем неопределенность вида
.
Для раскрытия неопределенности
предварительно избавимся от
иррациональности, сделав замену
.
Тогда
,
.
При
.
Теперь
