Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
методичка по математике.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
857.09 Кб
Скачать

Вопросы для самопроверки:

  1. Что называется функцией?

  2. Какие способы задания функции Вы знаете?

  3. Какая функция называется четной, а какая нечетной?

Тема 2. Пределы

[3 гл. VI, § 6.5-6.8], [4, гл. VI, § 2-7, 10].

Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство:

(1), которое помогает очень просто находить пределы непрерывных функций. Для вычисления предела такой функции находят ее значение в предельной точке . К непрерывным относятся все элементарные функции, а также многочлены в любой точке их области определения.

Например,

;

;

Если равенство (1) не выполняется, то функция разрывна в точке .

Но, если не существует значение , это не означает, что не вычисляется предел функции при .

Задача 1. Найти

Решение:

Дробь при не вычисляется, причем и , т.е. дробь представляет собой отношение двух бесконечно малых функций (неопределенность вида ). Для вычисления предела дроби (раскрытия неопределенности) следует разложить и числитель, и знаменатель на множители и при наличии одинакового множителя, стремящегося к 0 при , дробь на этот множитель сократить: .

Для разложения на множители числителя необходимо вспомнить формулу , где и - действительные корни квадратного трехчлена, .

Для трехчлена , , , .

Поэтому .

Для преобразования будут такими:

;

.

Задача 2. Найти .

Решение:

При х=5 дробь не вычисляется, пределы числителя и знаменателя равны 0, т.е. имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности следует избавиться от конкретных иррациональностей в числителе и знаменателе, а при наличии общего множителя дробь на него сократить. Достигается это с помощью следующих тождественных преобразований для :

= .

Теперь .

Хорошо известен 1 замечательный предел: . Но часто аргументом синуса является функция , стремящаяся к 0 при . В этом случае .

Задача 3. Найти .

Решение: Дробь при х=0 не вычисляется , , имеем неопределенность вида . Преобразуем дробь следующим образом: .

.

Следует отметить, что если функция есть дробь, числитель который при имеет предел, отличный от 0, а знаменатель, напротив, имеет пределом 0, то .

Задача 4. Найти .

Решение: , .

Следовательно, .

Задача 5. Найти .

Решение: При и числитель, и знаменатель – Бесконечно большие функции (неопределенность вида ). Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разделив числитель на знаменатель на старшую степень , т.е. на :

. Теперь =

Задача 6. Найти .

Решение: Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на . Тогда:

.

Здесь была использована формула: .

Задача7. Найти ,

Решение:

При и числитель, и знаменатель дроби стремятся к 0, т.е. имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности предварительно избавимся от иррациональности, сделав замену . Тогда , .

При . Теперь