Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 5.Тонкостен.оболочки / 5.2.Безмом.т.расчет.внеш.сил
.doc5.2.Расчет тонкостенных оболочек вращения по безмоментной теории
Рассматриваются тонкие оболочки постоянной толщины h, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения. Нагрузка, действующая на оболочку, является осесимметричной. Предполагается, что напряжения равномерно распределяются по толщине оболочки.
Двумя парами меридиональных сечений плоскостями, проходящими через ось вращения, и нормальных конических сечений, составляющих с меридианом в данной точке прямой угол, выделим из оболочки элемент с размерами dSm и dSтетта.
Рис.5.1
Рис.5.2(а,б)
Сm – центр кривизны меридиана в данной точке
РОm=ECm – радиус кривизны меридиана срединной поверхности
РОтетта=FCтетта – радиус кривизны в окружном направлении
Р – давление, вызываемое внешней нагрузкой
Выделенный элемент не испытывает сдвигов, следовательно площадки, по которым действуют меридиональные СИГМАм и окружные СИГМАтетта напряжения, являются главными.
Проектируя на направления нормали к срединной поверхности элемента все действующие на него силы, получим уравнения Лапласа: (всё находиться в равновесии, составляем уравнение равновесия по нормали(сумма всех сил))
Уравнение Лапласа:
СИГМАm/РОm+ СИГМАтетта/РОтетта=р/h
СИГМАm, СИГМАтетта – неизвестные величины(главные напряжения). Для их определения необходимо составить еще одно уравнение равновесия, по оси Z например.
Пример определения меридионалных напряжений:
Рис.5.3
В качестве второго уравнения используется уравнение равновесия для частии оболочки, выделенной коническим сечением:
СУММz=0: СИГМАm*2*ПИ*r*h*cos(a)-P=0
P- равнодействующая внешних сил, приложенных к отсеченной части оболочки, включая опорные реакции
r- радиус
a-уголь между направлением действия меридиональных напряжений СИГМАm и осью Oz.
Отсюда находим СИГМАm
Примеры частных случаев:
1.Сферическая оболочка нагруженная внутренним газовым давлением:
РОm=РОтетта=R
СИГМАm=СИГМАтетта – из-за центральной симметрии
Уравнение Лапласа:
СИГМАm/R+ СИГМАтетта/R=р/h откуда получим:
СИГМАm= СИГМАтетта=р*R/2*h
В сферической оболочке заполненной жидкостью будет аналогично ТОЛЬКО В САМОЙ НИЖНЕЙ ТОЧКЕ!.Для остальной части оболочки сигмы не равны!
2.Цилиндрические и конические оболочки.
РОm=бесконечности – радиус кривизны в меридиональном направлении, тогда
СИГМАтетта=р*РОтетта/h
У конических оболочек РОтетта=f(z), то у цилиндрических РОтетта=R
Разные случаи нагружения:
1.Газовое давление – Ро.
Рис.5.4
Р=Р1+Ро*ПИ*r^2
P1- собственный вес отсеченной части оболочки (обычно пренебрегают)
2.Гидростатическое давление
Рис.5.5
Рис.5.6
Р=Р1+РО*q*H*ПИ*r^2+РО*q*Vотс
Н-уровень жидкости от свободной поверхности до рассматриваемого сечения
3.Газовое+Гидростатическое давление
Р=Р1+(Ро+РО*q*H)*ПИ*r^2+РО*q*Vотс
4.Реакция опор: Р=Объему.заполненому жидк*РО*g
Особенности применения критериев прочности
Имеем плоское напряженное состояние!
Рис.5.7
Т.к. напряжения СИГМАn (действующие по нормали) на много меньше СИГМАm и СИГМАтетта, т.к.
СИГМАn имеет порядок р, а из уравнения Лапласа напряжения СИГМАm и СИГМАтетта имеют порядок р*R/h , а h/R<<1!
Тогда в случае растягивающих напряжений СИГМАm и СИГМАтетта по критерию Сен-Венана для СИГМАэкв имеем:
СИГМАэкв=СИГМА1-СИГМА3=СИГМА1=(СИГМАm (при СИГМАm>СИГМАтетта); СИГМАтетта (при СИГМАтетта>СИГМАm)