2. Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пусть требуется найти определенный интеграл непрерывной функции на отрезке . Если существует первообразная данной функции, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

Но некоторые первообразные не могут быть выражены через элементарные функции, и вследствие этого формула Ньютона-Лейбница становится бесполезной. Такие функции можно представить лишь в виде суммы бесконечного ряда (Тейлора). Примером может служить функция ошибок:

,

интеграл которой не выражается в элементарных функциях. Также некоторые функции имеют сложный вид первообразной. Именно в таких случаях выгодно использовать методы приближенного вычисления определенных интегралов.

2.1. Геометрическая интерпретация.

Численное интегрирование основано на геометрическом смысле определенного интеграла, который заключается в том, что значение

равно площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми , и кривой подынтегральной функции. Эту фигуру (криволинейную трапецию) разбивают на ряд элементарных фигур с легко вычисляемыми площадями, суммирование которых дает искомое значение интеграла.

2.2. Метод прямоугольников.

Этот метод основан на разбиении интервала интегрирования на частей, который приводит к возможности рассмотрения площадей криволинейных трапеций на каждом небольшом отрезке [ ]. Учитывая малую величину шага разбиения площадь такой фигуры можно считать приближенно равной площади прямоугольника со сторонами и . (См. рис.2.1).

Рисунок 2.1. Графическая иллюстрация метода прямоугольников.

2.2.1. Расчётная схема.

Суммирование значений таких площадей позволяет получить формулу «левых» прямоугольников:

,

и формулу «правых» прямоугольников:

Можно получить более точное значение интеграла, если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получим формулу «средних» прямоугольников:

2.2.2. Блок-схема.

2.2.3. Программа. function mprug(a,b: real; n: integer): real; var x,s,h: real; i: integer; begin h:=(b-a)/n; s:=0; x:=a; for i:=1 to n do begin s:=s+f(x); x:=x+h; end; mprug:=h*s; end;

2.3. Метод трапеций.

Этот метод основан на замене интеграла на каждом элементарном участке площадью трапеции с основаниями , и высотой . Площадь трапеции на каждом отрезке:

2.3.1. Расчётная схема.

Суммирование элементарных площадей по методу трапеций определяет следующую расчётную формулу Котеса:

Также суммируя отдельные площади на каждом отрезке можно получить «составную» формулу трапеций:

2.3.2. Блок-схема.

2.3.3. Программа. function mtrpezi(a,b: real; n: integer): real; var x,s,h: real; i: integer; begin h:=(b-a)/n; x:=a; s:=(f(a)+f(b))/2; for i:=2 to n do begin x:=x+h; s:=s+f(x); end; mtrpezi:=h*s; end;