Глава 15 Елементи математичної логіки

У давнину різні мислителі пробували давати ре ¬ цепт правильних умовиводів, які від істинних посилок призводять тільки до дійсних висновків. Таких мислителів називали логіками. Наука встановила загальні методи правильних умовиводів, званих формальною логікою.

Термін «логіка» походить від давньогрецького logos, що означає «слово, думка, поняття, міркування, закон».

Поняття - це форма мислення, в якій відображені істотні (відмінні) властивості об'єктів.

Судження - це форма мислення, що відображає зв'язок понять другу іншому.

Умовивід - це процес отримання нового судження- висновку з одного або декількох даних суджень.

Висловлення - це будь-яка пропозиція якої мови (затвердження), зміст якого можна визначити як істинне або помилкове.

Предикат - вислів, що містить одну або декілька невідомих.

Всяке висловлювання або істинно, або помилково; бути одночасно і тим і іншим воно не може. Формулювання будь теореми є висловлюванням. Висловлювання можуть виражатися за допомогою математичних, фізичних, хімічних та інших знаків. З двох числових виразів можна скласти висловлювання, з'єднавши їх знаками рівності або нерівності. Самі числові вирази ви-сказиваніямі не є. Не є висловлюваннями рівності або нерівності, що містять змінні. Наприклад, пропозиція X <12 стає висловлюванням при заміні змінної яким конкретним значенням. Такі пропозиції називають висловлюються тільних формами.

Прикладами висловлювань можуть служити:

{Число 2 є дільником числа 7} (помилкове висловлювання);

{3 + 5 = 2 * 4} (помилкове висловлювання);

{2 + 6> 10} (помилкове висловлювання);

{І VI> VIII} (помилкове висловлювання);

{Сума чисел 2 і 6 більше числа 8} (помилкове висловлювання);

{Two plus six is ​​eight} (істинне висловлювання);

{Студент X-кращий з інформатики} (предикат).

Висловлення називається простим {елементарним), якщо жодна його частина сама не є висловленням. Якщо умова не виконується, вислів називається складним.В алгебрі логіки, як і в звичайній алгебрі, вводиться ряд операцій.

15.1.Алгебра висловлювань

На сьогоднішній день в логіці не існує уніфікованої символіки для позначення логічних операцій. Щоб уникнути плутанини корисно мати на увазі наступну таблицю (табл. 15.1).

Дії та перетворення, які застосовуються в звичайній алгебрі, в якій буквами позначаються числа, грунтуються на невеликому числі визначень і формул.

Існує арифметичну дію, зване складанням і позначуване знаком. Встановлюється, що для кожної пари даних двох чисел а і b існує єдине певне число с, зване сумою чисел а і 6. Дію додавання володіє переместительному і сочетательно властивостями. Звідси формули:

Символіка логічних операцій

Повсякденна мова		Символіка
	Шредера-Пірса	Пеано - Рассела	Гільберта	Лукасевича
Не р	Р	~ р	P	Np
Коли р, то q	p->q	pDq	p-*q	Cpq
р тоді і тільки тоді, коли q	p = q	p = q	p~q	Epq
р або q	p + q	pVq	p\lq	Apq
pwq	р q	pAq	pkq	Kpq

а + b = с (існування єдиної суми чисел а і 6);

a + b = b + a (переместительному властивість);

а + (b + c) = (а + Ь) + с (сочетательное властивість).

Існує другий арифметичну дію, зване розумно ¬ жением і позначуване знаком х або • (останній знак при упо ¬ споживання літерних позначень зазвичай не ставиться). Дія множення має ті ж властивості, що й додавання: для кожних двох чисел а і b існує певне єдиний твір ab, і дія множення володіє переместительному і сочетатель ¬ вим властивостями, які дають формули:

ab = d (існування твору);

ab = bа (переместительному властивість);

а (bc = (ab)c (сочетательное властивість).

Додавання та множення володіють розподільним свій ¬ ством: щоб помножити суму двох доданків на третє число, можна помножити кожний доданок окремо на це число і отримані про-програвання скласти:

(а + b) с = ас + bc (розподільна властивість).

Існує таке число, що позначається знаком 0 (нуль), при додаванні якого з кожним числом а виходить в сумі те ж число

а, а при перемножуванні його (тобто нуля) з будь-яким числом а виходить у творі 0. Звідси формули:

а + 0 = 0 + а = а;

а • 0 = 0 • а = 0.

Існує ще число, що позначається знаком 1 і зване одиницею, при перемножуванні з яким будь-якого числа про виходить у творі те ж число а:

а • 1 = 1 • а = а.

Зазначені десять формул є основними законами обич ¬ ної арифметики і алгебри.

Примітка. Джордж Буль, що дав у 1847 р. перший виклад алгебри логіки, зробив припущення, що букви в записаних десяти формулах позначають не числа, а висловлювання, і показав, що можна вибрати такі визначення дій додавання і множення, при яких всі десять формул залишаються в силі .

Не повинен дивувати той факт, що треба вибрати нові визначення додавання і множення. Це робиться і в звичайній алгебрі. Дії додавання і множення для дробових, негативних або комплексних чисел мають інший зміст, ніж для натуральних чисел. При переході від однієї числової області до іншої треба визначати, що буде називатися сумою або добутком нових чисел.

Може здатися безглуздим поняття арифметичних дей ¬ довані над висловлюваннями. В алгебрі логіки висловлювання рассма ¬ чати не по його утриманню або змістом, а тільки у відношенні того, істинно воно або помилково. Приймається, що кожне висловлювання може бути тільки істинно або хибно.

Домовимося істинність висловлювання позначати одиницею, а хибність - нулем. Тоді кожен вислів може бути охарактеризоване цифрами 1 або 0, які є заходами або функціями істинності висловлювання а. Для будь-якого висловлювання а або а = 1, або а = 0.

Сума двох висловлювань а і b, тобто а + 6, є складним ви-сказиваніем, яке, як всяке висловлювання, може бути істинно або хибно. Сума двох висловлювань вважається істинною, тобто дорівнює одиниці, якщо хоч одне з складаємо висловлювань істинно: a + b = 1, якщо або а = 1 або 6 = 1, що згідно зі звичайною арифметикою: 1 + 0 = 0 +1 = 1.

Якщо обидва складаємо вислови істинні, то сума вважається також дійсною, тому в алгебрі логіки (1) 4 - (1) = 1.

Дужки поставлені для того, щоб підкреслити умовний, незвичайний сенс цього додавання.

Сума двох висловлювань вважається помилковою і рівною нулю тоді і тільки тоді, коли обидва доданків помилкові, тобто 0 0 = 0.

В алгебрі логіки «сума» а b часто називається диз'юнкцією і знак позначається знаком V (першою літерою латинського слова «vel» - або).

Твір а ■ b двох висловлювань а й b є також складним висловлюванням. Воно вважається істинним (рівним одиниці) тоді і тільки тоді, коли обидва співмножники істинні, і хибним (рівним нулю), якщо хоч один із співмножників хибна. Це визначення твору відповідає звичайній арифметиці: 11 = 1; 1-0 = 01 = 0; 0 0 = 0.

Перше рівність читається так: якщо і а, і b істинні, то твір аЬ істинно. Значить, знак множення х або • замінює союз «і».

В алгебрі логіки «множення» називається кон'юнкцією і обо-призначається особливим знаком Л.

Встановивши дані визначення додавання і множення, легко довести, що всі десять правил звичайної алгебри залишаються вірними і в алгебрі логіки.

Приклад 1. Доведемо переставні закони. Для цього складемо відповідні таблиці, даючи буквах а і 6 по порядку значення 1 або 0, комбінуючи їх і знаходячи за даними правилами міру істинності суми і твори:

а	b	а + b	b + а	а b	b а
1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	0	0	0	0

Заходи істинності сум а + b і b + а (третій і четвертий стовпці) при всіх можливих комбінаціях заходів істинності а й b збігаються, отже а + b і

b + а, щодо істинності завжди «рівні». Те ж відбувається з творами аb і bа (п'ятий та шостий стовпчики таблиці).

Приклад 2. Розглянемо доказ розподільного закону (a + b) c = ас + bc, склавши відповідну таблицю

Деякі особливості алгебри висловлювань. В алгебрі висловлювань вводиться дію, якого немає в звичайній алгебрі - заперечення даного вислову. Для кожного висловлювання про суще гвует його заперечення «не-a», яке будемо позначати символом а.

Якщо вислів а істинно (і), то його заперечення а ложно (л); якщо а ложно, то його заперечення а істинно. Це можна виразити таблицями:

З визначення сенсу дії заперечення, саме з того положення, що з протилежних висловлювань а й а завжди істинно одне і тільки одне, слідують нові формули алгебри логіки:

В алгебрі логіки існують ще інші спрощують формули, яких немає в звичайній алгебрі, наприклад а + а = а, а + а + а = а, а ■}

Точно так само , де n - ціле позитивне число.

Крім розподільного закону звичайної алгебри (а + b) c == ас + bc в алгебрі логіки є ще інший розподільний закон:

(а + с) (b + c) = ab + с.

Приклад 3. Доведемо справедливість цього закону в алгебрі логіки звичайним методом застосування таблиці істинності:

а	b	с	аb	а + с	b+ с	(а + с)(b+ с)	ab + c
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	0	0

Розглянемо приклади формул поглинання:

Все викладене приводить до висновку: так як всі основні формули звичайної алгебри вірні і для алгебри висловлювань, то всі перетворення, що вживаються в звичайній алгебрі при вирішенні рівнянь, залишаються вірними і в алгебрі висловлювань.

Логічні операції.

В алгебрі логіки розглядаються змінні, які можуть приймати тільки два значення 0 і 1. Змінні будемо позначати латинськими літерами х, у, z, ..., а також

Відношення еквівалентності (рівності) задовольняє наступним властивостям:

рефлексивність: х = х;

симетричність: якщо х = у, то у = х;

транзитивність: ; звідси випливає принцип: якщо х = у, то в будь формулою, що містить х, замість х можна підставити у, і в результаті буде отримана еквівалентна формула.

Нехай - змінні Булевського типу (логічні змінні), здатні приймати лише два значення (True і False), які для зручності ми будемо позначати відповідно 1 і 0.

Над логічними змінними визначено ряд найпростіших логічних функцій, значення яких визначаються за правилами (табл. 15.2).

Логічні функції

Функції мають наступні назви та позначення:

кон'юнкція (логічне множення) – ▲ (І);

диз'юнкція (логічне додавання) – ▼ (АБО);

імплікація – ;

сума по модулю 2 – ;

функція еквівалентності – ~;

заперечення (логічне заперечення) – .

Справедливі наступні співвідношення еквівалентності між

найпростішими функціями:

Кон'юнкція: А А В або А • В (логічне множення, читається як союз «і»). Таблиця істинності для кон'юнкції::

А	В	АЛВ
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Диз'юнкція: Л V В або А + В (логічне додавання, читається як союз «або»). Таблиця істинності для диз'юнкції:

А	В	АУ в
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Заперечення: А чи -> А. Іноді заперечення називають функцією Вебба або функцією Даггер.

Імплікація, або логічне слідування (читається: «якщо А, то В»), Позначається А -> В. Таблиця істинності для імплікації:

А	В	А^В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Еквіваленції, або тотожність: А В (А В)

(читається: «А тоді і тільки тоді, коли В»). Таблиця істинності для еквіваленції:

А	В	А^В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Штрих Шеффера (антікон'юнкція; читається: «невірно, що А і В»)

Стрілка Пірса (антідіз'юнкція; читається: «невірно, що А або В»)

15.2. Закони математичної логіки

В алгебрі логіки виконуються наступні основні закони (табл. 15.3), що дозволяють виробляти тотожні пре ¬ освіти логічних виразів.

Якщо ліва і права частини одночасно, тобто при однакових на ¬ борах значень входять до них змінних, приймають однакові значення, то закон доведений.

Для логічних операцій розглянемо ряд теорем і законів.

Комутативність закони:

Асоціативні закони:

Дистрибутивні закони:

Більшість законів алгебри логіки записані для кон'юнкції і диз'юнкції. При уважному вивченні пар можна вивести принцип подвійності: якщо в логічному тотожність справити взаємні заміни операцій диз'юнкції і кон'юнкції, то отримаємо подвійне тотожність. Таку властивість назву принципу подвійності.

Закони алгебри логіки можуть бути доведені аналітично або методом перебору (за таблицею істинності).

Наприклад, доведемо тотожність аналітичним методом:

15.3. Решение логических задач

При вирішенні логічних завдань використовують прийоми:

• побудова таблиці істинності;

• рішення логічних рівнянь або систем логічних рівнянь .

Для вирішення багатьох логічних задач необхідно:

1) уважно вивчити умову задачі;

2) виділити елементарні (прості) висловлювання і позначити їх буквами;

3) записати умову задачі на мові алгебри логіки, з'єднавши прості висловлення в складні за допомогою логічних операцій;

4) скласти єдине логічне вираження для всіх вимог завдання;

5) використовуючи закони алгебри логіки, спробувати спростити по ¬ жані вираз і обчислити всі його значення або побудувати таблицю істинності для розглянутого виразу;

6) вибрати рішення - набір значень простих висловлювань, при якому логічне вираження є істинним;

7) перевірити, чи задовольняє отримане рішення умові завдання.

Побудова таблиць істинності. Після того, як буде складений ¬ но логічне вираження, задовольняє всім умовам, можна заповнити для нього таблицю істинності. Аналіз отриманої таблиці істинності дозволить отримати необхідний результат.

З авдання 1. Складемо таблицю істинності для формули

яка містить дві змінні х і у. У перших двох стовпцях таблиці запишемо чотири можливі пари значень цих змінних, в наступних стовпцях - значення проміжних формул і в останньому стовпці - значення формули:

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных х и у формула принимает значение 1, т.е. является тождественно истинной.

Задача 2. Построить таблицу истинности для выражения

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных х и у формула принимает значение 0, т.е. является тождественно ложной.

Задача 3. По обвинению в ограблении перед судом предстали И' чнов, Петров, Сидоров. Следствием установлено следующее:

• если Иванов не виновен или Петров виновен, то Сидоров

виновен;

• если Иванов не виновен, то Сидоров не виновен.

Виновен ли Иванов?

Решение. Рассмотрим простые высказывания:

А = {Иванов виновен};

В = {Петров виновен};

С = {Сидоров виновен}.

Запишем на языке алгебры логики факты, установленные след­ствием:

Пусть Составим для данного высказывания таблицу истинности:

Вирішити дану задачу - означає вказати, при яких значеннях А отримане складне висловлення істинно. Необхідно проаналі ¬ зіровать всі рядки таблиці істинності, де F = 1, і якщо хоча б в одному випадку F = 1 при А = 0 (Іванов не винен), то у слідства достатньо фактів для того, щоб звинуватити Іванова у злочині.

Аналіз таблиці показує, що складна висловлювання істинно у всіх випадках, коли А - істинно, тобто Іванов винен у пограбуванні.

Завдання 4 (фінансовий прогноз). Три підрозділи А, В, С торгової фірми прагнули отримати за підсумками року максимальний прибуток. Економісти висловили наступні припущення:

1) якщо А отримає максимальний прибуток, то максимальний прибуток отримають також В і С;

2) або А і С отримають максимальний прибуток одночасно, або не отримають;

3) для того щоб З отримало максимальний прибуток, необхід ¬ мо, щоб і В одержало максимальний прибуток.

По завершенні року виявилося, що одне з трьох припущень хибно. Які з названих підрозділів отримали максимальний прибуток?

Рішення. Розглянемо прості висловлювання:

А = {А отримує максимальний прибуток};

В = {В отримує максимальний прибуток};

С = {С отримує максимальний прибуток}.

Запишемо на мові алгебри логіки прогнози, висловлені еконо ¬ мість:

Тепер згадаємо, що один з прогнозів виявився хибним. Ця ситуація відповідає четвертому рядку таблиці.

Відповідь: В і С отримають максимальний прибуток.

Задача 5. Три подруги - Джуді, Айріс і Лінда набули популярності у різних видах мистецтв - співі, балеті і кіно. Всі вони живуть в різних містах: у Парижі, Римі та Чикаго. Відомо, що:

1) Джуді живе не в Парижі, а Лінда-не в Римі;

2) парижанка не знімається в кіно;

3) та, яка живе в Римі, - співачка;

4) Лінда байдужа до балету.

Де живе Айріс і яка її професія?

Р ішення. Складемо таблицю і відобразимо в ній умови 1 і 4, заповнивши клітини цифрами 0 і 1 в залежності від того, хибно або істинно відповідне висловлювання:

Д алі міркуємо таким чином. Так як Лінда живе не в Римі, то, згідно з умовою 3, вона не співачка. У клітку, відповідаю ¬ щую рядку «Лінда» і стовпцем «Спів», ставимо 0. З таблиці відразу видно, що Лінда кіноактриса, а Джуді і Айріс не знімаються в кіно:

Згідно умові 2 парижанка не знімається в кіно, слідові ¬ тельно, Лінда живе не в Парижі. Але вона живе і не в Римі. Отже, Лінда живе в Чикаго. Так як Лінда і Джуді жи ¬ вут не в Парижі, там живе Айріс. Джуді живе в Римі і згідно з умовою 3 є співачкою. А так як Лінда кіноактриса, то Айріс балерина.

В результаті поступового заповнення отримуємо наступну та ¬ бліцу: Відповідь: Айріс балерина. Вона живе в Парижі.

Задача 6. На питання, хто з трьох учнів А, В і С вивчав математику, були дані відповіді:

• якщо вивчав А, то вивчав і В;

• не вірно, що якщо вивчав С, то вивчав і В.

Хто з них вивчав математику?

Р ішення. Запишемо умову задачі, використовуючи мову алгебри (А -> В) (С -> В). Для цієї формули маємо таблицю істинності:

Завдання 7 (на конгресі). На конгресі зустрілися четверо ураху ¬ них: фізик, біолог, історик і математик. Національності їх були різні, і, хоча кожен вчений володів двома мовами з чотирьох (російською, англійською, французькою або італійською), не було такої мови, на якому вони б могли розмовляти вчотирьох. Є тільки одна мова, на якому могли вести бесіду відразу троє. Ніхто з ураху ¬ них не володіє французькою і російською мовами одночасно. Хоча фізик не говорить по-англійськи, він може служити перекладачем, якщо історик і біолог захочуть поговорити один з одним. Історик говорить по-російськи і може говорити з математиком, хоча той не знає жодного

російського слова. Фізик, біолог і математик можуть розмовляти на одній мові.

Якими двома мовами володіє кожен вчений?

	Русский	Английский	Французский	Итальянский
Математик
Биолог
Физик
Историк

Рішення. Цю задачу найзручніше вирішити, заповнюючи наступну таблицю:

Будемо аналізувати умови завдання й поступово з'ясовувати, ка ¬ кими мовами володіє той чи інший вчений, ставлячи знак «плюс» чи «мінус» в осередках, відповідних тим мовам, які він знає або не знає.

Відомо, що математик не знає російської, фізик - англійської, історик - французького (він говорить по-російськи, але ніхто не говорить російською і французькою одночасно).

Фізик служить перекладачем в бесідах історика і біолога (він володіє двома мовами, на яких історик і біолог не можуть говорити одночасно). Так як історик і біолог не володіють спільною мовою, то, отже, біолог не знає російської мови.

Значить, російська - спільну мову для фізика та історика; фізик не володіє французькою (він говорить по-російськи, але ніхто не говорить російською і французькою одночасно). Друга мова фізика - італійський; італійським володіє і біолог, історик італійським не володіє. Тоді друга мова історика - англійська, а біолог англійським не володіє. Значить, друга мова біолога - французький.

	Русский	Английский	Французский	Итальянский
Математик	—	+	—	+
Биолог	—	—	+	+
Физик	+	—	—	+
Историк	+	+	—	—

Історик може розмовляти з математиком, хоча той не знає російської. Отже, математик володіє англійською.

Так як тільки троє вчених одночасно володіють однією з мов, то ця мова - італійська. Заповнимо підсумкову таблицю:

Відповідь: математик володіє англійською та італійською; біолог - французькою та італійською; фізик - російською та італійською; істо ¬ рик - російською та англійською.

Задача 8. Вадим, Сергій та Михайло вивчають різні иностран ¬ ні мови: китайський, японський і арабський. На питання, яку мову вивчає кожен з ких, один відповів: «Вадим вивчає китайську, Сергій не вивчає китайську, а Михайло не вивчає арабську». Впо ¬ слідстві з'ясувалося, що в цій відповіді тільки одне твердження вірне, а два інших помилкові. Яку мову вивчає кожен з молодих людей?

Рішення. Є три твердження:

1) Вадим вивчає китайську;

2) Сергій не вивчає китайську;

3) Михайло не вивчає арабську.

Якщо вірно перше твердження, то вірно і друге, так як юнаки вивчають різні мови. Це суперечить умові задачі, тому перше твердження хибне. Якщо вірно друге твердження, то перше і третє повинні бути помилкові. При цьому виходить, що ніхто не вивчає китайську. Це суперечить умові, тому друге твердження теж помилково. Залишається вважати вірним Третє твердження, а перше і друге - помилковими. Отже, Вадим не вивчає китайську мову, китайську вивчає Сергій.

Відповідь: Сергій вивчає китайську мову, Михайло - японський, Вадим - арабська.

Задача 9. На заводі працюють три друга: слюсар, токар і йшли ¬ фовщік. Їх прізвища Борисов, Іванов і Семенов. Дано твердження:

1) у слюсаря немає ні братів, ні сестер;

2) слюсар самий молодший із друзів;

3) Семенов одружений на сестрі Борисова;

4) Семенов старше токаря.

У кого яка спеціальність?

Рішення. При вирішенні задачі необхідно привести безлічі прізвищ і спеціальностей у взаємно однозначна відповідність, тобто здійснити Бієкція множин. Здійснити Бієкція множин А і В - означає привести ці множини у взаємно однозначне відповід ¬ ність, тобто кожному елементу з А поставити один єдиний елемент з В або навпаки.

У безлічі прізвища позначені літерами: С - Семенов; І - Іванов; Б - Борисов. У безлічі спеціальності позначені літерами: С - слюсар; Т - токар; Ш - шліфувальник.

Бієкція множин в даному випадку показує (рис. 15.1), що Іванов - столяр, Борисов - токар і Семенов - шліфувальник.

Приклади спрощення логічних формул. Покажемо на при ¬ заходи деякі прийоми і способи, що застосовуються при спрощенні логічних формул:

(Закони алгебри логіки застосовуються в наступній послідовник ¬ ності: правило де Моргана, сполучний закон, правило операцій змінної з її інверсією і правило операцій з константами);

(Застосовується правило де Моргана, виноситься за дужки загальний мно ¬ житель, використовується правило операцій змінної з її інверсією);

(Повторюється другий співмножник, що дозволено законом ідемпотен-ції; потім комбінуються два перших і два останніх сомножителя і використовується закон склеювання);

( Вводиться допоміжний логічний співмножник у V у; потім комбінуються два крайніх і два середніх логічних доданків і використовується закон поглинання);

(Спочатку добиваємося,, щоб знак заперечення стояв тільки перед окре ¬ вими змінними, а не перед їх комбінаціями, для цього двічі застосовуємо правило де Моргана; потім використовуємо закон подвійного від ¬ ріцанія);

(Виносяться за дужки загальні множники; застосовується правило опера ¬ ції з константами);

(До заперечень Неелементарні формул застосовується правило де Мор ¬ гана; використовуються закони подвійного заперечення і склеювання).

Рішення логічних рівнянь. При вирішенні логічних задач методом складання логічних рівнянь використовують такі правила:

• якщо після перетворень маємо рівняння, у якого в лівій частині многочлен, а в правій частині стоїть одиниця, то це означає, що принаймні один доданок дорівнює одиниці;

• якщо сума декількох доданків дорівнює нулю, то всі вони є помилковими висловлюваннями;

• знак «+» в логічному вираженні означає «або» (вірно те або інше);

• знак «*» позначає союз «і» (має місце і те, і те);

• якщо вийшло рівняння виду: А ■ В ■ С = 1, то все висказив ¬ вання правдиві;

• якщо виходить рівняння виду: А • В • С = 0, то принаймні одне з них помилково;

• для кожного висловлення А існує А. При цьому А + А = 1 і А ■ А = 0;

• А + А + ... + А = А для будь-якої кількості доданків;• якщо в логічному вираженні небудь доданок містить протиріччя, то таке доданок вважається рівним 0 і віддаляється;

1. применяйте, где возможно, формулы, вытекающие из определе­ний сложения и умножения: а + а = 1, аа = 0.

Задача 10. Четыре ученицы: Мария (М), Нина (N), Ольга (О) и Полина (Р) участвовали в соревновании и заняли первые четыре места. На вопрос, кто из них какое место занял, три девушки ответили:

1. Ольга была вторая, Полина — третья;

2. Ольга была первая, Нина — вторая;

3. Мария была вторая, Полина — четвертая.

В каждом из этих ответов одна часть верна, другая неверна.

Какое место заняла каждая из четырех учениц?

Решение. Введем обозначения для высказываний: «Ольга была

первая» — 0\.

«Мария была вторая» — Мг и т.д.

Приступая к решению, по первому условному ответу нельзя сказать, будет ли (¾ = 1 или (½ = 0, Рз = 1 или Рз = 0.

Но одна часть ответа верна, т.е. или 0₂ = 1, или Рз = 1, поэтому 0'2 + Рз = 1.

Из второго и третьего условных ответов имеем:

(О i+iV₂ = l,

+ Р4 = 1 •

Итак, имеем три логических уравнения, которые все должны удовлетворяться одновременно, т.е. имеем систему уравнений:

(О2 + Рз = 1,

< 0\ + N2 = 1,

(м₂ + Р₄ = 1.

Перемножив почленно два первых уравнения системы, получим:

О2 0\ + O2N2 + Р3О1 + P3N2 = 1.

Из этого уравнения следует, что по крайней мере одно из слагаемых в левой части уравнения истинно и равняется единице. При этом

О2 0\ = 0, так как это утверждение противоречиво (Ольга заняла второе и первое место), и О2Н2 = 0, так как О и N обе не могли быть вторыми. Остается:

Р3О1 + Р₃ЛГ₂ = 1.

Помножив это уравнение почленно на третье уравнение системы, получим

Рз 0\ М2 + Рз 0\ Р4 + P3N2M2 + Р3 N₂ Р4 = 1.

В этом уравнении Р3О1Р4 = 0 и P3.fV2P4 = 0 (Полина не может занимать третье и четвертое место); P3N2M2 = 0 (Нина и Мария не могут обе занимать второе место).

Остается Р3О1М2 = 1 или О1М2Р3 = 1.

Ответ: Ольга заняла первое, Мария — второе, Полина — третье место. Если так, то Нина заняла четвертое место, и ответ будет

O1M2P3N4 = 1.

Задача 11. В велогонке участвовали пять учащихся и заняли первые пять мест. На вопрос, кто из них какое место занял, ребята ответили:

1. Сережа (S) занял второе место, Коля (К) — третье;

2. Толя (Г) — пятое место, Надя (N) — третье;

3. Толя (Г) — первое место, Надя (N) — второе;

4. Толя (Т) — первое место, Надя (N) — второе;

5. Толя (Т) — пятое место, Надя (N) — третье;

6. Сережа (S) — второе место, Ваня (V) — четвертое;

7. Коля (К) — первое место, Ваня (V) — четвертое.

В каждом ответе одна часть верна, другая неверна. Найти, кто какое место занял.

Решение без уравнений. Если верно, что Сережа занял второе место, то в третьем ответе неверно, что Надя заняла второе, а верно, что Толя занял первое место. Но тогда по четвертому и пятому ответам Коля занял первое место, что невозможно, так как это место занял при сделанном предположении Толя. Предположение, что Сережа занял второе место, невозможно.

Если это предположение невозможно, то по первому ответу, верно, что Коля занял третье место. По пятому ответу утверждение, что Коля занял первое место, неверно; значит, Ваня занял четвертое; по второму ответу предположение, что Надя заняла третье место, также неверно; значит, Толя занял пятое место, а по третьему ответу Надя — второе. Итак, при сделанном предположении заняли места: Коля — третье,

Ваня — четвертое, Толя — пятое и Надя — второе. Следовательно, Сережа занял первое место.

Решение при помощи уравнений. При употреблении введенного нами в предыдущих задачах способа обозначать высказывания симво­лами, имеем:

+ ^з = 1;	S2K3 = 0;	(1)
N3 + T5 = l-,	N3T5 = 0;	(2)
Ti+N2 = 1;	TiiV2 = 0i	(3)
52 + V4 = 1;	S2v4 = 0;	(4)
К i+V4 = l;	К 1^4=0.	(5)

Почленное перемножение уравнений (2) и (3) дает:

7V₃Ti + N₃N₂ + Г5Г1 + T₅N₂ = N₃Ti + T₅N₂ = 1 (6)

(N₃N₂ = 0 и T$T\ = 0, как выражающие невозможные высказывания). Почленное перемножение уравнений (4) и (5) дает:

S₂K\ + S2V4 + V4K1 +V₄ = S₂K\ + V₄ = 1, (7)

так как S₂K\ = 1 и V₄K\ = 0.

Почленное перемножение уравнений (1) и (6) дает:

S2JV3T1 + S2T5N2 + K₃N₃T1 + K₃T_bN₂ = 1,

Отсюда с учетом S₂N₂ = 0 и K3N3 = 0 имеем:

S₂N₃T\ + K₃T^N₂ = 1. (8)

Почленное перемножение результатов (7) и (8) дает:

S₂N₃TiKi + K₃T₅N₂S₂Ki + V₄S₂N₃Ti + V₄K₃T₅N₂ = 1.

Первое, второе и третье слагаемые равны нулю, как содержащие

К\Т\ = 0, = 0, V4S2 = 0.

Остается N₂K₃V₄T^ = 1 или S\N₂K₃V₄T5 = 1.

Ответ". Сережа был первым, Надя — второй, Коля — третьим, Ваня — четвертым, Толя — пятым.

Задача 12. Три девушки: Аня (Л), Валя (В) и Клава (К) ходили в гости. Одна из них была в красном платье, другая — в белом, третья — в синем. На вопрос, 'какое на каждой из девушек было платье, они дали ответ: Аня была в красном, Валя — не в красном, Клава — не в синем.

В этом условном ответе из трех частей одна верна, две неверны. В каком платье была каждая из девушек?

Решение с помощью логических уравнений. Введем обозначения высказываний:

А_к — Аня в красном;

В_к — Валя в некрасном,

К_с — Клава в несинем платье.

Условный ответ девушек выражается тройкой высказываний ■^к, В_к, К_с.

Верной может быть лишь одна из трех частей этого ответа, причем остальные две части неверны. Возможны три предположения:

• Если верно, что Аня была в красном платье (А_к), то неверны утверждения: Валя не в красном (В_к) и Клава — не в синем (К_с) и верны: Валя — в красном (В_к) и Клава — синем (К_с). Этот вывод выражается произведением высказываний А_кВ_кК_с.

• Если верно, что Валя — не в красном (В_к), то неверны утвер­ждения: Аня — в красном (Л_к) и Клава — не в синем (К_с), а верны: Аня — не в красном (А_к) и Клава — в синем (К_с), что выражается произведением А_к В_кК_с.

• Если верно, что Клава — не в синем (К_с), то неверны утвер­ждения: Аня — в красном (А_к) и Валя — не в красном (В_к), а верны: Аня — не в красном (Л_к) и Валя — в красном (В_к). Это предположение дает произведение А_кВ_кК_с.

Одно из трех предположений верно. Поэтому имеем

А_кВ_кК_с + Л_к В_кК_с + А_кВ_кК_с = 1.

В уравнении А_кВ_кК_с = 0, так как А и В не могли быть обе в красном платье, и А_к В_кК_с = 0, так как при таком предположении синее платье занято Клавой, и для Ани и Вали не остается двух некрасных платьев.

Можно было бы рассуждать и так: А_к В_кК_с можно записать в виде А_к В_к К_к-, это предположение невозможно, так как по нему ни одна из

девушек не одета в красное, значит А_к В_к К_к = 0 и равнозначное ему

А_к В_к К_с = 0.

Следовательно, остается А_кВ_кК_с = 1. Это возможно, когда

A_cB_kKq = 1.

Ответ: Аня — в синем платье, Валя — в красном, Клава — в

белом.

Задача 13. Шесть школьников С, D, Н, I, G, Т ходили на олимпиаду. Двое из них решили все задачи. На вопрос, кто решил все задачи, они ответили: 1) С и G\ 2) D и Т; 3) Т и С; 4) D и f;

• Я и С.

В четырех из ответов одна часть верна, другая неверна; в одном из ответов обе части неверны. Кто из учеников решил задачи на

олимпиаде?

Решение с помощью уравнений. Условия задачи можно записать

так:

CG = DT = ТС = DI = НС = 0; (9)

(С + G)(D + Т){Т + C)(D + 1){Н + С) = 0. (10)

Равенства нулю в (9) следуют из того, что в каждом произведении по крайней мере один сомножитель равен нулю. В произведении (10) одна из скобок равна нулю (оба слагаемых ее нули), остальные четыре скобки равны единице.

Раскроем скобки в (10) и уничтожим на основе (9) отдельные слагаемые: перемножим первый сомножитель на второй, результат — на третий, новый результат — на четвертый, третий результат — на пятый сомножитель:

(С + G)(D + Т) = CD + СТ + GD + GT = CD + GD + GT,

так как СТ = 0 по (9);

(CD + GD + GT)(T 4-С) = CDT + GDT +

+ GT² + C²D + CGD + CGT = GT + CD,

так как по (9) DT = CG = CT = 0, a GT² + C²D = GT Л-CD;

((GT + CD){D + 1) = GTD + CD² + GTI + CDI = CD,

так как по (9) DT = DI = 0, a GTI = 0 потому, что задачу не решили трое, что неверно;

CD(H + С) = CDH + C²D = CD.

Итак, левая часть выражения (10) равна CD и согласно условию (9) CD = 0.

В уравнении (10) правая часть есть нуль, потому что четыре скобки равны каждая единице, одна скобка равна нулю. Однако не известно, какая из скобок дает нуль. Если из пяти множителей выражения (10) составим все произведения по четыре множителя в каждом произведении, то таких произведений будет пять:

Четыре из пяти скобок равны единице, одна скобка равна нулю, так как в ней оба слагаемых равны нулю. Такая скобка войдет в четыре произведения и обращает их в нуль; в одно из пяти произведений она не войдет, и это произведение равно единице (например, если С + G = 0, то пятое произведение равно единице, если D + Т = 0, то четвертое произведение равно единице и т.д.).

С ледовательно, одно из пяти произведений равно единице, и сумма

Предполагая, что в каждом из слагаемых раскрыты скобки, выпи­шем в получаемых многочленах слагаемые, состоящие из двух букв (такие из трех или четырех букв равны нулю).

Имеем из первого слагаемого C²D² = CD = 0; из второго сла­гаемого С^ъО = CD = 0 и С^ЪТ = СТ = 0; из третьего слагаемого C²D² = CD = 0 и С³f = CI (равенства нулю CI имеющиеся уравне­ния не дают); из пятого слагаемого C²D² = CD = 0.

Итак, из левой части уравнения (11) осталось только CI, и отсюда получим CI = 1.

Ответ: Задачи решили С и I.

Задача 14. При решении одной задачи ученики дали три ответа:

• Х есть число иррациональное, равное площади правильного треугольника, у которого сторона а = 2;

• X — число кратное 4 и равно радиусу окружности, длина которой 2;

• X < 3 и равно диагонали квадрата, сторона которого 2.

В каждом из ответов одна часть верна, другая не верна. Чему равно XI

Замечание. Упростим выражение вторых частей ответов:

• площадь правильного треугольника, сторона которого равна 2, есть

о 2

— лfЗ = \f3;

4

• радиус окружности, длина которой 2, дает 2ят = 2, г = —.

7Г

• диагональ квадрата, сторона которого равна 2, есть 2\f2.

После этого условные ответы задачи можно записать так:

2. X — число иррациональное, равное \f3;

V ¹

3. X кратно четырем и равно

7Г

4. X < 3 и равно 2лf2.

Решение без применения уравнений.

1. X ф \f3, так как при предположении X = лfЗ мы имели бы в первом условном ответе обе части верные, а именно: X = уf3, которое является иррациональным числом. Первый ответ не соответствует условию.

2. Третий ответ также невозможен, так как 2\f2 < 3, и при предпо­ложении, что X = 2\f2 в этом ответе, обе части верные.

3. Второй ответ удовлетворяет условию задачи; при предположе­нии, что X = первая часть условного ответа “X кратно 4” неверна,

7Г

так как кратным числу 4 может быть только целое число, а вторая часть ответа верна.

Ответ удовлетворяет всем трем условиям:

• число - иррациональное, но не равно лf3. Значит, в первом условном ответе первая часть верна, вторая неверна;

• во втором условном ответе вторая часть верна, первая неверна:

v ^{1 1} и

X = но - не является кратным 4;

7Г 7Г

11

• в третьем условном ответе первая часть верна: - = < 3, но вторая часть неверна: - ф 2\f2.

7Г

Решение при помощи уравнений. Введем обозначения для выска­зываний: [J] — X число иррациональное;

[nf3] — X равно \f3;

[кратно 4] — X кратно 4;

1. -* равно!;

[< 3] — X меньше 3;

[2\f2] — X равно 2\f2.

Как и при решении уравнений предыдущих задач, имеем систему уравнений:

Почленное перемножение первых двух уравнений дает:

[J][кратно 4] + [J] + [лfЗ][кратно 4] -I- [\f3] —I.

Здесь:

[7][кратно4] = 0, так как число X не может быть одновременно иррациональным и целым;

[\f3] [кратно 4] = 0, так как \f3 не кратно 4; [\f3] = 0, так как ^ Ф лf3.

Уравнение получит вид: [J] = 1.

Таким образом, получено, что X = которое есть иррациональ­ное число. Проверим, не противоречит ли этому третье условное уравнение. Перемножим почленно полученный результат с третьим условным уравнением:

Задача 15. В один из осенних дней четыре друга Альберт, Карл, Дидрих и Фридрих впервые переступили порог школы. Учительница сказала им, что с этого дня она будет называть их по имени и фамилии. Оказалось, что у друзей фамилии те же, что и имена, только так, что ни у одного из них имя и фамилия не были одинаковы. Кроме того, фамилия Дидриха не была Альберт. Определить фамилию каждого из мальчиков, если дано, что имя мальчика, у которого фамилия Фридрих, есть фамилия того мальчика, имя которого — фамилия Карла.

Решение при помощи уравнений. Условимся обозначать имена первыми буквами и фамилии указателями при обозначении имени.

Так, если имя мальчика Л, а фамилия С, то это запишется символом Ас и Ас — 1; если же фамилия мальчика с именем А не С, то Ас = 0. При такой записи по условиям задачи:

Ал = Сс = Do = Fp — Da = 0.

По последнему условию задачи мальчик по имени X с фамилией F, мальчик по имени Y с фамилией X и мальчик с фамилией С с фамилией У, иными словами: XpYxCy = 1.

Непосредственный путь для нахождения значений X и Y состоит в подстановке вместо X и Y по порядку всех четырех букв А, С, D, F, т.е. в вычислении суммы (суммирование обозначается символом £]) Y,X_fY_xC_y.

После подстановки имеем:

ХфС, X ф F, УфС, У ф F,

так как нет двух мальчиков с одинаковыми именами или одинаковыми фамилиями.

Остается в вместо X и Y подставлять только А и D.

Начнем с подстановки в первый множитель X = А и X = D:

'^2XpYxCy = ^Ta_fYxCy +Y,DfYxC_y =

= Af^YxCy + Dp^YxCy = (A_f + Dp) У" Y_xCy-

(Ар и Dp как постоянные множители можно вынести за знак суммы). Аналогично делаем подстановку в последнем множителе:

(.A_f + D_f)Y,Y_x(C_a+Cd) = (A_f+D_f){C_a+C_d)'52y_x =

(A_fCa + A_fCd + D_FCa + D_fCd) ^ Ух ■

Подставляя в Yx значения А и D для Y и X, имеем:

(A a Ca+ApCd+DpCa+DfCa+Dp Cp)(Aa-\-Ap-\-Da+Dp)= = (АрСд + АрСо + DpCa + DpCp)Ap =

= (так как Ад = Da = Dp = 0) = АрСдАр +

+ АрСрАр + DpCaAq + DpCpAp = DpCaAq.

Поскольку АрСдАр = 0, АрСрАр = 0 (у двух мальчиков не может быть одна и та же фамилия D), тогда DpApCA = 1.

Ответ: D имеет фамилию F; А имеет фамилию D; С имеет фамилию A; F имеет фамилию С.

Второе решение. Надо решить уравнение XpYxCy = 1, в кото­ром видно, что А' и У могут получить только значения А и D.

Так как произведение XpYxCy = 1, то все множители равны единице и Yx = 1. Подстановка вместо X и Y букв А и D может дать только два результата: Ар и Da (Da = 0 по условию). Остается единственная возможность Ар = 1, т.е. в уравнении Yx = 1, Y = А, X = D.

Задача 16. Семья, состоящая из отца А, матери В и трех дочерей

С, D и Е, купила телевизор. Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:

• когда отец А смотрит передачу, то мать В, делает то же;

• дочери D и Е, обе или одна из них, смотрят передачу;

• из двух членов семьи — мать В и дочь С — смотрит передачу одна и только одна;

• дочери С и D или обе смотрят, или обе не смотрят;

• если дочь Е смотрит передачу, то и отец А и дочь D делают то же.

Кто из членов семьи в этот вечер смотрел передачу?

Решение. Обозначим буквами А, В, С, D, Е высказывания (предположения): что А, В и т.д. смотрят передачу; тогда А, В, С,

4. Е означают, что А и В и т.д. не смотрят.

Имеем:

1. На основе первого условия имеет место одна из возможностей: либо отец и мать вдвоем смотрят, либо отец не смотрит, либо оба не смотрят, т.е. АВ + АВ + АВ = 1; но АВ + АВ + АВ = АВ + + А(В + В) = АВ + А = 1. Так как В + В = 1, имеем уравнение

у кожній конкретній задачі використовуються ті або інші його аспекти. Тому вводиться додаткова класифікація структур даних, напрямки якої відповідають різним аспектам їх розгляду. Перш ніж приступати до вивчення конкретних структур даних, дамо їх загальну класифікацію за кількома ознаками. Поняття «фізична структура даних» відображає спосіб фізичного подання даних у пам'яті PC і називається ще структурою зберігання, внутрішньою структурою або структурою пам'яті. Розгляд структури даних без урахування її подання в пам'яті комп'ютера називається абстрактною, або логічною структурою. У загальному випадку між логічної і відповідної їй фізичної структурами існує різниця, ступінь якого залежить від самої структури та особливостей того середовища, в якому вона повинна бути відображена. Внаслідок цього існують відмінності процедури, які здійснюють відображення логічної структури в фізичну і, навпаки, фізичної структури в логічний. Ці процедури забезпечують, крім того, доступ до фізичним структурам і виконання над ними різних операцій, причому кожна операція розглядається стосовно до логічної або фізичної структури даних. Розрізняють прості (базові, примітивні) структури (типи) даних та інтегровані (структуровані, композитні, складні). Простими називаються такі структури даних, які не можуть бути розділені на складові частини, більші, ніж біти. Для фізичної структури важливим є та обставина, що в даній машинної архітектурі і в даній системі програмування завжди можна заздалегідь знати, який буде розмір вибраного простого типу і яка структура його розміщення в пам'яті. З логічної точки зору прості дані є неподільними одиницями. Інтегрованими називаються такі структури даних, складовими частинами яких є інші структури даних - прості або, у свою чергу, інтегровані. Інтегровані структури даних конструюються програмістом з використанням засобів інтеграції даних, що надаються мовами програмування. Залежно від відсутності або наявності явно заданих зв ’ язків між елементами даних слід розрізняти незв'язні структури (вектори, масиви, рядки, стеки, черги) і зв'язні структури (зв'язні списки). 9

Масив - послідовність елементів одного типу, званого базовим. Множина - така структура, яка являє собою набір неповторюваних даних одного і того ж типу. Запис - кінцеве впорядкована множина полів, що характеризуються різним типом даних. Таблиця - послідовність записів, які мають одну і ту ж організацію. Списком називається впорядкована множина, що складається з змінного числа елементів, до яких застосовуються операції включення, виключення. Список, що відображає ставлення сусідства між елементами, називається лінійним. 10

1.3.Лінейні та нелінейнійні структури даних 10

2.8. 28

6.6. 64

6.8. 68

8.2. 92

10.3. Метод Дейкстри 154

10.4. Алгоритм Флойда 160

11.4. Маршрутный алгоритм 182

11.5. Геометрична модель задачі про лабіринт 185

15.3. Решение логических задач 298

2. Из пятого условия вывод: если дочь Е смотрит передачу, то имеем EAD = 1; если же Е не смотрит, то остаются возможности, что А и D оба или смотрят, или оба не смотрят, или смотрит только отец

А, или только сестра D.

Имеем:

ead+ead+^ad+ead+kad = ead+¥d(a+a) =

= EAD + ED + ED = EAD + E,

отсюда

EAD + E = 1. (16)

Использование второго распределительного закона дает возможность упростить уравнения (12) и (13).

Все пять уравнений должны удовлетворяться одновременно, по­этому

(А + АВ)(Е + DE)(BC + BC)(DC + ~DC){EAD + Ё) = 1.

Раскрытие скобок можно произвести в любом порядке:

а) перемножаем почленно (13) и (16):

Е + DE = 1, E + EAD = 1, ЕЁ + DE + EAD + EADE = 1; если учесть, что ЕЕ = 0, то остается

DE + EAD = 1; (17)

б) перемножаем почленно (14) и (15):

ВС + ВС = 1, DC + DC = 1,

ВС DC + BCD + BCD + BCDC = 1,

или

BCTD + BCD = 1; (18)

в) перемножив (17) и (12), получим:

DE+EAD = 1, Л + ЛВ = 1.

Имеем

+ + = 1; £ADl = 0;

ADE + АВОЁ + = ADE + ABD(E + Е) = ADE + ABD.

Отсюда

ABD + АОЁ = 1; (19)

г) перемножив почленно (18) и (19), получим:

BCD + BCD = 1, ABD + ADE=1,

имеем

В CD AD + ВС DAB + BCDADE + ВС DIE = 1,

или ABCDE = 1.

15.4. Логічні основи ПЕОМ

Логічна функція - це логічне вираження, що складається з логічних змінних, зв'язаних між собою за допомогою операцій алгебри логіки.

Функцію можна приймати в залежності від значень змінних тільки два значення 0 і 1. Для функції тг змінних хо будемо використовувати загальне позначення де кожна змінна може приймати тільки два значення 0 і 1. Тому число всіх можливих комбінацій значень звичайно і одно . Областю визначення функції п змінних , являється сукупність точок n-вимірного простору, причому кожна з точок задається певною комбінацією значень цих змінних де або 1 (р = 0,1,2,

Функції n змінних можуть залежати не від всіх змінних . Такі функції називаються виродженими.

Також функція може бути задана як у всіх точках визначення, так і не у всіх:

• функція п змінних f (v) називається повністю визначеною, якщо її значення f (vi) = 0 або 1 задані у всіх 2П точках області визначення;

• якщо ж значення функції не задано хоча б в одній точці , то вона називається не повністю визначеною. Це означає, що функція в цій точці може мати значення 1 або 0 - таке значення будемо називати коефіцієнтом с;

• якщо значення функції не задані у всіх точках , то вона називається повністю невизначеною.

Апарат алгебри логіки широко використовується при описі роботи контактних схем і цифрових машин. При проектуванні таких схем на основі аналізу умов роботи схеми складаються логічні функції, що описують роботу схеми. Наявність такої функції дозволяє вивчити різноманітні властивості самої схеми і в деяких випадках замінити її більш простий еквівалентною схемою.

Введемо наступні позначення для висловів:

х - контакт х замкнений;

- контакт х не замкнений.

Розглянемо ділянку ланцюга (рис. 15.2) з послідовно розташованими контактами хну.

Рис. 15.2. Послідовне розташування контактів

Ця ділянка ланцюга буде замкнутий тоді і тільки тоді, коли одночасно замкнуті контакти х і у. Ця ситуація в алгебрі логіки описується кон'юнкцією висловлень, тобто х Л у.

У разі коли контакти х і у підключені паралельно один одному (мал. 15.3), ділянка ланцюга буде замкнутий, коли принаймні, один з контактів замкнений. Ця ситуація в алгебрі логіки описується диз'юнкцією висловлювань, тобто ХУ

У .

Рис. 15.3. Паралельне розташування контактів

Приклад.Скласти функцію, відповідає контактній схемі, зображеній на мал. 15.4.

Вирішення. На ділянках ab, cd, тп контакти включені паралельно один одному, отже, ці ділянки описуються відповідними диз'юнкції: . Так як ab і cd з'єднані послідовно, то ділянці ad відповідає кон'юнкція . На ділянці єп маємо послідовне з'єднання контакту і ділянки тп, отже, весь ділянку єп описується кон'юнкцією . Так як ділянка ad паралельно з'єднаний з ділянкою єп, то всій схемі відповідає диз'юнкція висловлювань, що описують ці ділянки, тобто

Останній вираз і являє собою логічну функцію f, що описує роботу даної схеми.

Функції та аргументи в алгебрі логіки визначені на множині {О, 1} і, отже, можуть приймати тільки два значення. Різні комбінації значень аргументів називаються наборами Для кожного набору аргументів можна задати два значення функції алгебри логіки (ФАЛ), отже для п аргументів можна отримати різних функцій. З метою одержання нових функцій можна використовувати принцип суперпозиції, що дозволяє підставляти одні функції замість аргументів на інші функції Система ФАЛ, що дозволяє отримувати будь-які, як завгодно складні функції, називається функціонально повною системою, а набір елементів, що реалізують дані функції, - функціонально повним набором, або базисом. При побудові дискретних пристроїв найбільшого поширення набули функції, що реалізують такі операції (мал. 15.5).

15.5. Логічний синтез обчислювальних схем

Розрізняють декілька способів завдання ФАЛ, основними з яких являкея: табличний, аналітичний, координатний, графічний, цифровий. При табличному способі ФАЛ задається таблицею істинності, в якій вказується, яке з двох можливих значень

Про або 1 приймає функція на кожному наборі аргументів.

Розглянемо логічний синтез (створення) обчислювальних схем на прикладі одноразрядного двійкового суматора, який має два входи (а і b) і два виходи (S і Р) і виконує операцію складання. Нехай робота суматора відображається наступною таблицею:

У цій таблиці - значення цифри суми в даному розряді; - цифра перенесення в наступний (старший) розряд.

Згідно з правилами спрощення логічних формул, можна записати:

Логічна блок-схема пристрою, Що реалізує Отримання функцію, наведена на малий. 15.6. Примітка. У деяких випадках перед побудовою логічної блок-схеми пристрою по логічної функції останню, користуючись співвідношеннями алгебри логіки, варто перетворити до більш простого вигляду (мінімізувати). Для логічних схем «АБО», «І» та «НЕ» існують типові технічні схеми, що реалізують їх на інтегральних схемах. Для побудови сучасних комп'ютерів зазвичай застосовуються системи інтегральних елементів, у яких з

Рис. 15.6. Логическая схема устройства

метою більшої уніфікації у якості базової логічної схеми користується лише одна зі схем: «І - НЕ» (штрих Шеффера), «АБО - НЕ» (стрілка Пірса) або «І - АБО - НЕ». Приклад 1. Для цієї схеми (мал. 15.7) запишіть логічне вираження.

Рис. 15.7. Логическая схема

Вирішення.

Приклад 2. Для цієї схеми (мал. 15.8) запишіть логічне вираження.

Рис. 15.8. Логічна система

Вирішення

15.6. Представлення логічної функції у вигляді графу

На практиці буває зручно зображувати логічну функцію, що описує роботу будь-якого пристрою, у вигляді дерева, де висячим вершинам поставлено у відповідність булеві змінні або їх заперечення, а у внутрішніх вершинах вказані операції, які слід виконати над змінними або над формулами. Нехай з деякого пристрою надходять сигнали ( - інвертовані сигнали, тобто сигнали протилежного змісту) на обчислювальний пристрій (ВУ), логіка праці якого описується булевой функцією , причому блоки додавання і множення ВУ мають тільки два входи.

Зображення булевої функції у вигляді дерева представлено на

мал. 15.9.

На виході, біля основи дерева маємо значення логічної функції f, яка є коренем дерева.

15.7. Перевірка істинності висновків із серії засновків

Терм - це змінна або інверсія змінної.

Кон'юнктівной термом (контермом) називається кон'юнкція будь-якого числа первинних термів, якщо кожен первинний терм з індексом р входить в нього не більше одного разу.

Діз'юнктівную термом (дізтермом) називається диз'юнкція будь-якого числа первинних термів, якщо кожен первинний терм з індексом р входить в неї не більше одного разу.

Нехай є серія засновків А, В, С, ... і висновок Z.

Необхідно перевірити, істинне або хибне висновок, зроблений із серії засновків. У методі Вонга посилки об'єднуються в рядок: А, В,

= > Z, де знак = > слід відрізняти від знака імплікації =>

Спочатку рядок доводиться до правильно побудованої форми (ППФ). Правильно побудована форма - рядок, яка включає тільки логічні операції: кон'юнкцію, диз'юнкцію і заперечення.

Потім над ППФ здійснюються наступні перетворення.

• Якщо зліва від знака стрілки => стоїть кон'юнкція, а праворуч стоїть диз'юнкція, то ці знаки замінюються комами.

Приклад: з одержуємо А, В => Р, М, Z.

• Якщо зліва від знака стрілки => • варто диз'юнкція, а праворуч кон'юнкція, то ППФ розбивається на декілька рядків.

Приклад: з Р VQ => М отримуємо Р = > M, Q => М.

• Знак заперечення опускається, якщо вираз перемістили в протилежну сторону від знака стрілки = >.

Приклад: з Р, Q => М отримуємо Q => М, Р.

• Кожен рядок повиннен бути доведений. Рядок вважається доведеним, якщо хоча б один вислів зустрічається в даному рядку ліворуч і праворуч, тобто якщо в рядку мається тавтологія.

• Приклад: Р, М => Z, Р.

Еслі всі рядки доведені, то наслідок із серії посилок буде істинно, якщо хоча б один рядок не доведений, то наслідок помилковий.

Пример. Довести істинність або брехня укладення з серії засновків: «Якщо курс логіки не важкий, то він корисний. Курс логіки нецікавий или он марний. Курс логіки цікавий. Отже, курс логіки важкий. »

Рішення. Для позначення висловлювань введемо змінні:

А - курс логіки важкий;

В - курс логіки корисний;

С - курс логіки цікавий.

Запишемо умову задачі в термінах математичної логіки:

де - посилки, а А - висновок.

Тепер складаємо рядок Вонга: . Для приведення рядки Вонга до ППФ скористаємося наступними співвідношеннями еквівалентності між найпростішими функціями:

Звідси отримаємо

Якщо зліва від знака стрілки => варто диз'юнкція, то ППФ розбивається на декілька рядків:

Розглянемо другу недоведену рядок, в якому диз'юнкція розбиває ППФ на два рядки:

Звідси B, С => А, С - доведено; В, С => А, В - доведено. Отже, із серії посилок випливає, що висновок А є логічно вірним

Контрольні запитання

Що таке висловлювання?

Чим відрізняється вислів від предиката?

Які особливості алгебри висловлювань?

Перерахуйте аксіоми алгебри логіки.

Наведіть приклади таблиць істинності для логічних операцій.

Що таке Бієкція множин?

Назвіть логічні операції, використовувані при синтезі обчислювальних схем.

Наведіть правила, використовувані при рішенні логічних рівнянь.

Наведіть правила, використовувані при рішенні систем логічних рівнянь.

У чому полягає основна ідея методу Вонга?

Бібліографічний список

1. КолдаевВ.Д. Основы алгоритмизации и программирования: учеб. пособ. f В.Д. Колдаев; под ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД “ФОРУМ”: ИНФРА-М, 2006.

2. Колдаев В.Д. Сборник задач и упражнений по информатике: учеб.пособ. f В.Д. Колдаев, Е.Ю. Павлова; под ред.Л.Г.Гагариной. -М.: ИД “ФОРУМ”: ИНФРА-М, 2007.Шень А. Программирование: Теоремы и задачи f А. Шень. - М.: МЦНМО, 2004.

3. Кнут Д. Мистецтво програмування для ЕОМ f Д. Кнут. - Т. 3. Сортування і пошук. - М.: Мир, 2000.

4. Кормен Т. Алгоритми: побудова й аналіз f Т. Кормен, Ч. Лей-зерсон, Р. Ривест. - М.: МЦНМО, 2000.

5. Вірт Н. Алгоритми і структури даних f Н. Вірт; пер. з англ. - М.: Мир, 2001.

6. Хусаїнов Б.С. Структури і алгоритми обробки даних: при ¬ заходи на мові Сі: навч. посіб. f Б.С. Хусаїнов. - М.: Фінанси і статистика, 2004.

7. Мейн М. Структури даних та інші об'єкти в C + + f М. Мейн, У. Савітч; пер. з англ. - М.: Видавничий будинок "Вільямс", 2002.

8. Ахо А. Структури даних та алгоритми: навч. посіб. f А. Ахо, Д.Е. Хопкрофт, Д. Ульман; пер. з англ. - М.: Видавничий будинок "Вільямс", 2000.Бадд Т. Объектно-ориентированное программирование в дей­ствии f Т. Бадд; пер. с англ. - СПб.: Питер, 1997.

9. Марченко А.І. Програмування на мові Object Pascal 2.0 f А.І. Марченко. - Київ: Юніор, 1998.

10. Епашенніков А.М. Програмування в середовищі Delphi: навч. посіб.: У 4-х ч. f А.М. Епашенніков, В.А. Епашенніков. - М.: Діалог-МИФИ, 1998.

11. Подбельский В.В. Практикум з програмування на мові Сі: навч. посіб. f В.В. Подбельский. - М.: Фінанси і статистика, 2004.

Приложение 1

Системи зчислення

Людині спрадавна доводилося рахувати різні предмети і записувати їх кількість. Для цих цілей виникла унарна система запису, при якій числа позначалися відповідною кількістю рисок (або зарубок). Наприклад, число 5 уявлялося як 11111.

Унарний запис дуже громіздкий і незручний, тому були знайдені більш компактні способи позначення великих чисел. З'явилися різні умовні позначення чисел, де використовували як цифр букви, до яких додавали спеціальні значки. У табл. П1.1 вказані найбільш відомі нумерації.

Наиболее известные нумерации мира

Єгипетська нумерація. Єгиптяни придумали цю систему близько 5000 років тому. Це одна з найдавніших систем запису чисел (табл. П1.2), відома людині.

Стародавня грецька нумерація. У найдавніші часи в Греції була поширена так звана аттична нумерація. У цій нумерації числа 1, 2, 3, 4 зображувалися відповідною кількістю вертикальних смужок. Число 5 записувалося знаком (стародавнє накреслення букви «Пі», з якої починалося слово «п'ять» - «Пента»).

Числа 6, 7, 8, 9 позначалися поєднаннями цих знаків: . Приблизно в третьому столітті до нашої ери аттична нумерація в Греції була витіснена іонійською системою. У ній числа 1 - 9 позначаються першими літерами грецького алфавіту:

Вавилонська нумерація. У стародавньому Вавілоні приблизно за 40 століть до нашого часу створилася позиційна нумерація, тобто такий спосіб запису чисел, при якому одна і та ж цифра може позначати різні числа, дивлячись по місцю, займаному цією цифрою. У вавілонської помісній нумерації таку роль, яку в нас грає число 10, відіграє число 60, і тому цю нумерацію називають шестідесятерічною. Числа менше 60 позначалися за допомогою двох знаків: У для одиниці і для десятка. Ці знаки повторювалися потрібну кількість разів, наприклад

Нумерація індіанців Майя. Ця нумерація дуже цікава тим, що на її розвиток не вплинула жодна з цивілізацій Старого Світу. Спочатку ця нумерація використовувала пятеричной систему числення, а потім її пристосували для двадцатерічной (табл. П1.3).

Китайська нумерація. Ця нумерація - одна з найстаріших і найбільш прогресивних, оскільки в неї закладені такі ж принципи, як і

всовременную арабскую. Возникла эта нумерация около 4 тысяч лет тому назад в Китае (табл. П1.4).

Слов'янська кирилична нумерація. Ця нумерація була створена разом зі слов'янської алфавітній системою для переписування священних книг для слов'ян грецькими ченцями братами Кирилом (Костянтином) і Мефодієм у IX в. Ця форма запису чисел набула великого поширення у зв'язку з тим, що мала повну схожість з грецької записом чисел (табл. П1.5). Православні церковні книги використовували цю нумерацію.

Записувалися цифри числа починаючи з великих значень і закінчуючи меншими, зліва направо. Запис числа, використаний слов'янами, адитивний, тобто у ньому використовується тільки додавання:

Для того щоб не переплутати букви і цифри, використовувалися титло-горизонтальні рисочки над числами. У Росії слов'янська нумерація

збереглася до кінця XVII у. За Петра I запанувала так звана «арабська нумерація».

Слов'янська глаголична нумерація. Ця нумерація використовувалася з VIII по XIII у. і була створена для запису чисел у священних книгах західних слов'ян (табл. П1.6).

Латинська (Римська) нумерація. Ця найвідоміша нумерація, після арабської. З нею ми досить часто стикаємося у повсякденному житті. Це номери розділів у книгах, вказівка ​​століття, числа на циферблаті годинника, і т. д. Виникла ця нумерація у стародавньому Римі (табл. П1.7).

Записувалися цифри числа, починаючи з великих значень і закінчуючи меншими, зліва направо. Якщо цифра з меншим значенням записувалася перед цифрою з великим значенням, то відбувалося її вирахування. наприклад

але

Арабська нумерація. Це найпоширеніша на сьогоднішній день нумерація. Назва «арабська» для неї не зовсім вірно, оскільки хоч і завезли її до Європи з арабських країн, але там вона теж була не рідна. Справжня батьківщина цієї нумерації - Індія. У різних районах Індії існували різноманітні системи нумерації, але в якийсь момент серед них виділилася одна. У ній цифри мали вигляд

начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит «Деванагари»:

Системи числення. Система числення - це спосіб наіменова ¬ ня і представлення чисел за допомогою символів, що мають певне кількісне значення. Такі символи називаються цифрами. Алфавіт системи числення - сукупність символів, що використовуються в цій системі числення.

Основа системи числення - кількість цифр, що використовуються в даній системі числення.

Розряд - номер позиції в числі (нумеруються з нуля справа наліво).

Вага розряду-число, рівне основи системи числення у ступені номера розряду.

Позиційні і непозиційної системи числення

Всі системи числення підрозділяються на два класи - позиційні та непозіцонние.

У непозиційних системах числення від положення цифри в записі числа не залежить величина, яку вона позначає, наприклад римська

система.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою в записі числа, залежить від її позиції. Наприклад, число 444 записано трьома однаковими цифрами, але кожна з них має своє значення: чотири сотні, чотири десятки і чотири одиниці, тобто його можна уявити, як

Для запису чисел в позиційній системі числення з основою р потрібно мати алфавіт з р цифр. Зазвичай для цього при р <10 використовують р перших арабських цифр, при р > 10 до десяти арабським цифрам додають латинські букви

Якщо потрібно вказати підставу системи, до якої відноситься число, то воно записується як нижній індекс цього числа. В системі числення з основою р (р-ічная система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа р.

В системі числення з основою р в одному розряді можуть стояти символи від 0 до р - 1. Так в шістнадцятковій системі числення в одному розряді можуть стояти символи від 0 до 15 (табл. П1.8).

Примітка. До нетрадиційних систем числення відноситься фібоначчіева система числення. Базисом фібоначчіевой системи счисления

жається є послідовність 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,, тобто поспіль йдуть числа Фібоначчі. В якості цифр в цій системі числення використовуються тільки 0 і 1. Наприклад: ;

Для переведення числа з довільної системи числення в десяткове необхідно його записати у вигляді многочлена, що складається з творів цифр числа і відповідного ступеня числа р (підстави системи), і обчислити за правилами десяткової арифметики:

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.

Сформулюємо алгоритм перекладу цілих чисел із системи з основою р в систему з основою q.

1. Основа нової системи числення виразити цифрами вихідної системи числення і всі наступні дії виробляти у вихідній системі числення.

2. Послідовно виконувати ділення даного числа і одержуваних цілих приватних на основу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо приватне, менше дільника.

3. Отримані залишки, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення.

4. Скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього залишку.

Приклад 2. Переведемо десяткове число в двійкову систему числення:

Таким чином, отримуємо: Зверніть увагу на те, що головний нуль в двійковому представленні числа може бути доданий для доповнення двійкового представлення до восьми біт.

Пр і заходів 3. Переведемо десяткове число у вісімкову систему

счисления:

Приклад 4. Переведемо десяткове число 7467ю в шестнадцатеріч ¬ ву систему числення:

Приклад 5. Переведемо число 181 ю в вісімкову систему числення:

Приклад 6. Переведемо число 622ю в шістнадцяткову систему числення:

Приклад 8. Переведемо число ЗбЗю в двійкову систему числення. Іноді більш зручно записати алгоритм перекладу у формі таблиці::

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Переклад дробових чисел з однієї системи числення в іншу.

Сформулюємо алгоритм перекладу правильного дробу з основою р в дріб з підставою q:

1. Основа нової системи числення виразити цифрами вихідної системи числення і всі наступні дії виробляти у вихідній системі числення.

2. Послідовно множити дане число і одержувані дробові частини добутків на основу нової системи до тих пір, поки дробова частина твору не стане рівною нулю або буде досягнута необхідна точність представлення числа.

3. Отримані цілі частини творів, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення.

4. Скласти дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

Приклад 9. Переведемо число 0,65625 ю в вісімкову систему числення:

Приклад 11. Переведемо число 0,65 ю в двійкову систему зчислення:

Результат, отриманий за шість кроків:

Очевидно, що цей процес може тривати нескінченно, даючи все нові і нові знаки в зображенні двійкового еквівалента числа 0,65 ю. Так, за чотири кроки отримуємо число ОДОЮг, а за п'ять кроків число 0,10100-2 і т.д. Такий нескінченний процес обривають на деякому кроці, коли вважають, що отримана необхідна точність подання числа.

Приклад 12. Переведемо десяткову дріб в двійкову

с истему числення.

Результат: 0,3125 = 0,24s.

Переклад довільних чисел з однієї системи числення в іншу. Переклад довільних чисел, тобто чисел, що містять цілу і дробову частини, здійснюється в два етапи. Окремо переводиться ціла частина, окремо - дробова. У підсумковій записи отриманого числа ціла частина відділяється від дробової комою (крапкою).Пр имер 14. Переведем число 23,125 в двоичную систему счи­сления:

Приклад 15. Переведемо число 17,25 ю в двійкову систему: Переводимо цілу часть: Переводим дробную часть:

Результат: 17,25ю = 10001,012.

Приклад 16. Переведемо число 124,25 ю у вісімкову систему:

Результат: 124,25 = 174,2

Приклад 17. Перекласти вісімкове або шістнадцяткове число в двійкову систему числення.

У деяких випадках можна використовувати більш прості правила перекладів. У трьох двійкових розрядах (тріаді) можна представити будь-яку вісімкову цифру від О (ТОВ) до 7 (111). Аналогічно і будь-яку шістнадцяткову ціфру.можна представити чотирма двійковими розрядами (тетрадою): від 0 (0000) до F (1111). Тому для перекладу вісімкову ¬ го (шістнадцяткового) числа в двійкову систему досить замінити кожну цифру відповідної тріадою (тетрадою):

Приклад18. Перевести двійкове число у вісімкову і шістнадцяткову системи числення.

Щоб перевести число з двійкової системи в вісімкову, його потрібно розбити на тріади (трійки цифр), починаючи з молодшого розряду, в разі необхідності доповнивши старшу тріаду нулями, і кожну тріаду замінити відповідної вісімковій цифрою. Наприклад, число 1101111001,11012 перекладається наступним чином:

001 101 111 001,110 100 = 1571,648.

Щоб перекласти число з двійкової системи в шістнадцяткову, його потрібно розбити на тетради (четвірки цифр), починаючи з молодшого розряду, в разі необхідності доповнивши старшу тетраду нулями, і кожну тетраду замінити відповідної вісімковій цифрою. Наприклад, число 11111111011,1001112 перекладається наступним чином:

0111 1111 1011,1001 1100 = 7FB, 9C.

Переведемо число 10101001,101112 в вісімкову і шістнадцяткову системы счисления:

Приклад 19. Перевести число з вісімковій в шістнадцяткову систему.

При цьому можна перекласти число з вісімковій системи в двійкову систему, а потім в шістнадцяткову. Наприклад, для числа 175,248 отримуємо:,

Двоїчна арифметика

Арифметичні операції над двійковими числами здійснюються за допомогою алгоритму під назвою «складання в стовпчик». Правила виконання арифметичних дій над двійковими числами задаються таблицями двійкових додавання, віднімання та множення (табл. П1.9). Утворюється додатковий біт називається бітом перенесення.

Прклад 20. Зробимо складання чисел 55,25 і 19,5 в десятковій і в двійковій системах числення:

Утворюється додатковий біт називається бітом перенесення.

Приклад 21. Зробимо додавання чисел 65 і 42 у двійковій системі числення. Переведемо ці числа в двійкову систему:

.

Виконаємо додавання цих чисел:

Можна переконатися в тому, що

Пр клад 22. Виконати складання двійкових чисел.

Для X = 1101; Y = 101 маємо:

Віднімання чисел у двійковій системі числення виконується так само, як і в десятковій. При необхідності займається одиниця з наступного старшого розряду. Причому займана одиниця дорівнює двом одиницям даного розряду. Позика одиниці виробляється кожен раз, коли цифра в розряді від'ємника кількісно більше цифри в тому ж розряді зменшуваного.

Для виконання операції віднімання воно замінюється додаванням, а в якості другого доданка береться Інвертований (протилежне) число. Наприклад, нехай треба виконати віднімання 65 - 42. Замінимо його складанням: 65 + (-42Всі представлені вище двійкові числа мають позитивні значення, що позначається нульовим значенням самого лівого (старшого) розряду. Негативні двійкові числа містять одиничний біт в старшому розряді. Для отримання негативного двійкового числа можна використовувати наступний алгоритм:взять соответствующее положительное число и инвертировать его биты (1 заменить на 0 и наоборот);

До отриманого числа додати 1.

Приклад 23. Задані двійкові числа X = 10010 і Y = 101. Обчислити X - У.

При відніманні двійкових чисел в даному розряді при необхідності займається 1 з старшого розряду. Ця займана 1 дорівнює двом 1 даного розряду. отримуємо:

Результат: 10010 - 101 = 1101.

Пр иклад 24. Відняти з 65 число 42. двійкове подання

для 42 - це 00101010, а для (-42) двійкове подання буде наступним: 11010110. Використовуючи ці уявлення, отримуємо:

Пр клад 25. Виконати множення двійкових чисел 1001 • 101. Множення двійкових чисел проводиться за тими ж правилами, що і десяткових за допомогою таблиць двійкового множення додавання:

Результат: 1001 • 101 = 101101.

Кожне часткове твір або дорівнює нулю, якщо в соответству ¬ ющем розряді множника стоїть нуль, або одно множене, зрушені на один розряд вліво (по відношенню до попереднього часткового вироб ¬ веденню), якщо у відповідному розряді множника стоїть одиниця..

Приклад 26. Виконати ділення двійкових чисел: 1100,011:10,01. Ділення чисел в двійковій системі числення виробляється аналогічно діленню десяткових чисел. При розподілі нецілих чисел вони можуть бути приведені до цілих шляхом перенесення коми в подільному і дільнику на

однакове число розрядів і дописування нулів в бракуючі розряди справа. У розглянутому випадку маємо:

Результат: 1100,011:10,01 = 101,1.

Прямий і зворотний код

Використання кодів дозволяє звести операцію віднімання чисел до арифметичного додавання кодів цих чисел. Застосовуються прямий, зворотний і додатковий коди чисел. Прямий код використовується для представлення негативних чисел в запам'ятовуючому пристрої ПЕОМ, а також при множенні і діленні. Зворотний і додатковий коди використовуються для заміни операції віднімання операцією додавання.

До кодів висуваються наступні вимоги:

1) розряди числа в коді жорстко пов'язані з певною розрядної сіткою;

2) для запису коду знака в розрядній сітці приділяється фіксований, чітко певний розряд.

Наприклад, якщо за основу вистави коду взятий один байт, то для представлення числа буде відведено 7 розрядів, а для запису коду знака один розряд.Прямой код. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для позитивних чисел дорівнює 0, а для негативних чисел 1.

Знаковим розрядом звичайно є крайній розряд в розрядній сітці. Надалі при записі коду знаковий розряд від цифрових домовимося відокремлювати комою. Якщо кількість розрядів коду не зазначено, будемо припускати, що під запис коду виділений один байт.

Зворотний код. Зворотний код для позитивного числа збігається з прямим кодом. Для від'ємного числа всі цифри числа замінюються на протилежні (інвертуються), а в знаковий розряд заноситься одиниця.

Додатковий код. Додатковий код позитивного числа збігається з прямим кодом. Для від'ємного числа додатковий код утворюється шляхом отримання зворотного коду і додаванням до молодшого розряду одиниці. Приклад 27Нехай для запису коду виділений один байт, тоді для числа +1101 прямий код 0,0001101; для числа -1101 прямий код 1,0001101.Пример 28. Пусть для записи кода выделен один байт, тогда для числа +1101 прямой код 0,0001101; обратный код 0,0001101; для числа —1101 прямой код 1,0001101; обратный код 1,1110010.

Приклад29Для числа +1101 визначимо прямий, зворотний і додатковий коди:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
0,0001101	0,0001101	0,0001101

Для числа -1101 визначимо прямий, зворотний і додатковий коди:

Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
1,0001101	1,1110010	1,1110011

Економічність системи числення

Число в системі числення річок розрядами, очевидно, матиме найбільше значення в тому випадку, якщо всі цифри числа виявляться максимальними, тобто рівними р-1. тоді

Кількість розрядів числа при переході від однієї системи числення до іншої в загальному випадку змінюється. Очевидно, якщо р = qa (<т необов'язково ціле), то Z ™ ax = рк - 1 = qak - 1, тобто кількість розрядів числа в системах числення р і q будуть різнитися в і раз. очевидно співвідношення:

При цьому підстава логарифма ніякого значення не має, оскільки а визначається відношенням логарифмів.

Під економічністю системи числення будемо розуміти ту кількість чисел, яку можна записати в даній системі за допомогою певної кількості цифр. Мова в даному вип Наприклад, нехай в нашому розпорядженні є 12 цифр. Ми можемо розбити їх на б груп по 2 цифри (0 і 1) і отримати шестіразрядний двійкове число; загальна кількість таких чисел дорівнює 26.

Можна поділити задану кількість цифр на чотири групи по три цифри і скористатися троїчною системою числення - в ​​цьому випадку загальна кількість різних їх поєднань складе З4. Аналогічно можна провести інші розбиття; при цьому число груп визначить розрядність числа, а кількість цифр у групі - основа системи числення. Результати різних розбиттів можна проілюструвати табл. П1.10адку йде не про кількість розрядів, f а про загальну кількість сполучень цифр, які інтерпретуються як різні числа.

Наприклад, нехай в нашому розпорядженні є 12 цифр. Ми можемо розбити їх на б груп по 2 цифри (0 і 1) і отримати шестіразрядний двійкове число; загальна кількість таких чисел дорівнює 26.

Можна розбити задану кількість цифр на чотири групи по три цифри і скористатися троичной системою числення - в ​​цьому випадку загальна кількість різних їх поєднань складе З4. Аналогічно можна провести інші розбиття; при цьому число груп визначить розрядність числа, а кількість цифр у групі - основа системи числення. Результати різних розбиттів можна проілюструвати табл. П1.10.

З наведених оцінок видно, що найбільш економічною оказива ¬ ється троїчна система числення, причому, результат буде тим же, якщо досліджувати випадки з іншим вихідним кількістю цифр.

Нехай є п знаки для запису чисел, а підстава системи вва ¬ слена р. Тоді кількість розрядів числа к = пfр, а загальна кількість чисел N, які можуть бути складені, одно: N = рп ^ р.

Якщо вважати N (p) безперервною функцією, то можна знайти те значення рт, при якому N приймає максимальне значення. Функція має вигляд, представлений на рис. П1.1.

Після перетворень отримуємо Inр = 1, або рт = е, де е == 2,71828 ... - Основа натурального логарифма. Найближчим до е ціле число, очевидно, 3; по цій причині троїчна система числення виявляється самою экономичной для представления чисел. В 60-х гг. в

Рис. П 1.1. Залежність кількості чисел від основи системи числення

нашій країні була побудована обчислювальна машина «Сетунь», яка працювала в трійчастий системі числення. Перевагу все ж віддається двійковій системі, оскільки по економічності вона виявляється другий за троичной, а технічно вона реалізується набагато простіше решти. Таким чином, простота технічних рішень виявляється не єдиним аргументом на користь застосування двійкової системи в комп'ютерах.

Додаток 2

Вимірювання кількості інформації

Інформацію можна виміряти кількісно, ​​тобто підрахувати. При подібних обчисленнях абстрагуються від змісту повідомлення, як від ¬ вирішуються від конкретності у звичних для всіх нас арифметичних діях (як від складання двох яблук і трьох яблук переходять до складеться ¬ нію чисел взагалі: 2 +3).

Оцінка кількості інформації грунтується на законах теорії ве ¬ роятность, точніше, визначається через імовірність подій. Повідомлення має цінність, несе інформацію тільки тоді, коли ми дізнаємося з нього

про результат події, що має випадковий характер, коли воно в якійсь мірі несподівано. Чим більше нас цікавить подія має слу ¬ чайних результатів, тим цінніше повідомлення про його результаті, тим більше інформації.

Розглянемо найпростіший випадок отримання інформації. Ви задаєте тільки одне питання: «Чи йде дощ?». При цьому домовимося, що з оди ¬ наково імовірністю очікуєте відповідь: «Так» або «Ні». Легко побачити, що будь-який з цих відповідей несе найменшу порцію інформації. Ця порція визначає одиницю виміру інформації, звану бітом.

Вибір одиниці інформації не випадковий. Він пов'язаний з найбільш поширеним двійковим способом її кодування при передачі та обробці. Якщо подія має два рівноймовірно результату, це означає, що імовірність кожного результату дорівнює 1 f2. Така ймовірність випадання «орла» або «решки» при киданні монети. Інформація про таку подію дорівнює одному біту. Біт - мінімальна порція інформації, він може приймати два значення: 0 або 1.

Якщо подія має три рівноймовірно результату, то ймовірність кожного дорівнює 1f3. Сума ймовірностей всіх результатів завжди дорівнює одиниці: адже небудь з усіх можливих результатів обов'язково настане.

Подія може мати і неравновероятние наслідки. Так, при фут ¬ хворому матчі між сильною і слабкою командами ймовірність перемоги сильної команди велика, наприклад 4f5. Вірогідність нічиєї набагато менше, наприклад 3f20. Імовірність же поразки зовсім мала.

Кількість інформації - це міра зменшення невизначеності деякої ситуації.

Кодування інформації

Інформація - довільна послідовність символів, тобто лю ¬ бою слово, кожен новий символ збільшує кількість інформації. Для вимірювання кількості інформації потрібен еталон. Еталоном вважає ¬ ся слово, що складається з одного символу двохсимвольного алфавіту (цифри

або 1). Кількість інформації, що міститься в цьому слові, принима ¬ ють за одиницю, названу бітом. Маючи еталон кількості інформації, можна порівняти будь-яке слово з еталоном. Простіше порівнювати ті слова, які записані в тому ж двохсимвольного алфавіті.

Для визначення кількості інформації потрібно знайти спосіб пред ¬ ставити будь-яку її форму (символьну, текстову, графічну) у єдиному вигляді. Інакше кажучи, треба зуміти ці форми інформації перетворити так, щоб вона одержала єдиний стандартний вигляд. Таким виглядом стала так звана двійкова форма представлення інформації. Вона укладає ¬ ся в записі будь-якої інформації у вигляді послідовності тільки двох символів.

Завдяки введенню поняття одиниці інформації з'явилася воз ¬ ливість визначення розміру будь-якої інформації числом бітів. Образ ¬ но кажучи, якщо, наприклад, об'єм грунту визначають у кубометрах, то об'єм інформації - у бітах. Домовимося кожну позитивну відповідь на поставлене запитання представляти цифрою 1, а негативний - цифрою 0. Тоді запис усіх відповідей утворить багатозначну послідовність цифр, що складається з нулів і одиниць, наприклад 0100.

Наприклад, якщо лекція відбудеться, вішаємо табличку з цифрою 1, якщо ні - з цифрою 0. В одному біті можна закодувати одна подія - відбулося чи ні - або вчинення одного з двох подій: є лекція чи ні лекції. Так як 2 = 21, значить, для кодування двох подій потрібна одна клітинка. Розглянемо чотири варіанти:

- Лекції немає;

- Лекція є;

- Лабораторна робота;

- Контрольна робота.

Ми бачимо, що для кодування чотирьох подій потрібні два осередки.

Коли відомо, скільки буде подій, можна вибрати необхідну кількість осередків для їх зберігання. Для восьми подій треба три осередки, так як 23 = 8. Для 16 подій треба чотири осередки, так як 24 = 16. В одному байті, тобто у восьми осередках може зберігатися 256 подій, так як

байт = 8 біт.

Процес отримання двійкової інформації про об'єкти дослідження називають кодуванням інформації. Кодування інформації перера ¬ слена всіх можливих подій дуже трудомістке. Тому на практиці кодування здійснюється більш простим способом. Він заснований на тому, що один розряд послідовності двійкових цифр має вже удвічі більше різних значень - 00, 01, 10, 11, ніж однорозрядна після ¬ довательности (0 і 1). Трехразрядного послідовність має також удвічі більше значень - 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, ніж двухразрядного, і т.д. Додавання одного розряду збільшує число зна ¬ чений вдвічі, це дозволяє скласти табл. П2.1 інформаційної ємності чисел.

Наприклад, для того щоб закодувати 32 літери російського алфавіту, достатньо взяти п'ять розрядів, тому що пятіразрядная послідовник ¬ ність має 32 різних значення. Наприклад, російські літери предста ¬ вляются восьмирозрядних послідовностями наступним чином: А - 11000001, І - 11001011, Я - 11011101.

Перед тим як кодувати будь-яку інформацію, потрібно договорити ¬ ся про те, які використовуються коди, в якому порядку вони записуються, зберігаються і передаються. Це називається мовою представлення інфор ¬ мації.

На практиці досить часто трапляється, що код, зручний і економний, може спотворити повідомлення через перешкоди, які завжди, на жаль, бувають в каналах зв'язку: спотворення звуку в телефоні, атмосферні по ¬ міхи в радіо, спотворення або затемнення зображення в телебаченні , помилки при передачі в телеграфі. Ці перешкоди, або, як їх назива ¬ ють, шуми, обрушуються на інформацію. Тому для підвищення надійності в передачі та обробці інформації доводиться вводити зайві символи - своєрідний захист від спотворень. Вони - ці зайві символи, не несуть дійсного змісту в повідомленні, вони надлишкові.

З точки зору теорії інформації все те, що робить мову барвистим, гнучким, багатим відтінками, багатоплановим, багатозначним, - хати ¬ точність. Як надлишково з таких позицій листа Тетяни до Онєгіна! Скільки в ньому інформаційних надмірностей для короткого і всім зрозуміло ¬ го повідомлення «Я вас люблю»! І як інформаційно точні мальовані позначення, зрозумілі всім і кожному, хто входить сьогодні в метро, ​​де замість слів і фраз оголошень висять лаконічні символьні знаки, вка ¬ зувати: «Вхід», «Вихід».

При цьому доречно згадати розповідь про Шляпочніков, запросити своїх друзів для обговорення проекту вивіски. Передбачалося Намалюйте ¬ вати на вивісці капелюх і написати: «Джон Томпсон, Шляпочніков, робить і продає капелюхи за готівку». Один з друзів зауважив, що слова «за готівкові гроші» є зайвими - таке нагадування бу ¬ дет образливим для покупця. Інший знайшов також зайвим слово «продає», так як саме собою зрозуміло, що Шляпочніков продає капелюхи, а не роздає їх задарма. Третьому здалося, що слова «Шляпочніков» і «робить капелюхи» являють собою непотрібну тавтологію. Четвертий запропонував викинути і слово «Шляпочніков» - намальована капелюх ясно говорить, хто такий Джон Томпсон. Нарешті, п'ятий запевняв, що для поку ¬ Пателя зовсім байдуже, чи буде Шляпочніков називатися Джоном Томпсоном чи інакше, і запропонував обійтися без цього зазначення. Таким чином, в кінці кінців на вивісці не залишилося нічого, крім малюнка капелюхи.

Звичайно, якби люди користувалися тільки такого роду кодами, без надмірності в повідомленнях, то всі «інформаційні форми» - книги, доповіді, статті - були б гранично короткими, але програли б у дохідливості і красі.

Кількість інформації як міра зменшення невизначеності знання

Інформаційні процеси - це процеси, пов'язані з отри ¬ ням, зберіганням, обробкою і передачею інформації. В інформатиці розглядаються інформаційні процеси, тому важливим є питання про визначення кількості інформації. Кількісно виміряти інфор ¬ мацію дозволить підхід до інформації як до міру зменшення невизначеним ¬ вості знання.

В оточуючому нас світі існує безліч явищ, які кожен раз відбуваються дещо по-іншому, призводять до несподівано ¬ му результату. Ці явища називають випадковими. Випадок відіграє не

останню роль в житті людини. Здавна існує поняття «Його Величність Випадок».

Випадковий експеримент, або досвід, є процес, при якому воз ¬ можна різні результати, так що заздалегідь не можна передбачити, яким буде результат. Досвід характеризується тим, що його в принципі можна повторити скільки, завгодно разів. Особливе значення має безліч воз ¬ мужніх, взаємно виключають одне одного фіналів досвіду (елементарних подій).

Якщо досвід підрозділяється лише на кінцеве число елементарних подій, які є до того ж рівноімовірними, то говорять, що мова йде про класичний випадок. Прикладами таких дослідів є кидання монети, кидання гральної кістки. Для дослідів такого типу ще Лаплас розробив теорію ймовірності (ймовірність події Р (А) - це відношення числа елементарних подій, сприятливих для А, до кількості всіх можливих елементарних подій).

Нехай є шестигранний кубик, який будемо кидати на рів ¬ ву поверхню. З однаковою ймовірністю відбудеться одна з шести можливих подій - кубик опиниться в одному з шести положень: випаде одна з шести граней. Можна говорити про рівноймовірно подію ¬ тіях, якщо при зростаючій кількості експериментів число випадань кожної з граней поступово будуть зближуватися. Перед самим кидком можливі шість подій, тобто існує невизначеність нашого зна ¬ ня, ми не можемо передбачити, скільки очок випаде. Після того як подія відбулася, настає повна визначеність, так як ми по ¬ променя зорове повідомлення, що кубик в даний момент знаходиться в певному стані. Невизначеність нашого знання зменши ¬ лась, одне з шести рівноймовірно подій відбулося.

Початкова невизначеність нашого знання залежить від початкового числа можливих рівноймовірно подій. Чим воно більше, тим біль ¬ шиї кількість інформації буде містити повідомлення про результати досвіду.

За одиницю кількості інформації прийнята така кількість інфор ¬ мації, яке містить повідомлення, зменшує невизначеність знання в два рази. Така одиниця названа біт (двійкова цифра).

Пр і м е р 1. На прикладі гри «Вгадай число» розглянемо змен ¬ шення невизначеності. Один з учасників загадує ціле число (наприклад, 30) із заданого інтервалу (наприклад, від 1 до 32), мета друго ¬ го - «вгадати» число першого учасника. Для другого гравця початкова невизначеність знання становить 32 можливих події. Щоб най ¬ ти число, необхідно отримати певну кількість інформації

Перший учасник може відповідати тільки «так» і «ні». Другий повинен вибрати наступну стратегію: послідовно, на кожному кроці змен ¬ шать невизначеність знання в два рази. Для цього він повинен ділити числовий інтервал навпіл, задаючи свої питання (табл. П2.2).

Для того щоб вгадати число з інтервалу від 1 до 32 знадобилося п'ять питань. Кількість інформації, необхідне для визначення одного з 32 чисел, склало 5 біт.

У 1948 р. американський математик К. Шеннон запропонував формулу для обчислення кількості інформації для подій з різними вероятностями:

где I — количество информации;

к — количество возможных событий;

Pi — вероятности отдельных событий.

Як окремий випадок формули Шеннона можна розглядати фор ¬ мулу Хартлі:

или , где каждое из К событий имеет равновероятный исход

.

Пример 2. Определить количество информации, получаемое при реализации события, когда бросают несимметричную четырехгранную пирамидку.

Пусть вероятность отдельных событий будет такова: . Тогда количество информации, получаемой

після реалізації одного з цих подій, розраховується за формулою Шеннона:

Приклад 3. У кошику лежить 16 куль, всі різного кольору. Скільки інформації несе повідомлення про те, що з корзини дістали білу кулю?

Згідно формулі Хартлі, повідомлення містить I = log216 = 4 біти інформації.

Приклад 4. Визначити стратегію вгадування однієї карти з колоди в 32 гральні карти (без шісток), припускаючи, що на будь-яке питання буде дана відповідь «так» чи «ні»:

Вопрос второго игрока	Ответ первого игрока	Количество возможных событий (32)	Полученное количество информации, битов
Задумана карта красной масти?	Нет	16	1
Задумана карта крестовой масти?	Да	8	1
Задумана карта-картин ка?	Да	4	1
Задумана дама или туз крестовой масти?	Нет	2	1
Задуман валет крестовой масти?	Нет	1	1

Ответ: задуман король крестовой масти.

Приклад 5. При вгадуванні цілого числа в діапазоні від 1 до К було отримано 7 біт інформації. Чому одно К?

За формулою Хартлі

Будь-яка інформація (числа, команди, записи тощо) представляється в комп'ютері у вигляді двійкових кодів фіксованою або змінною довжини. Окремі елементи двійкового коду, що мають значення 0 або 1, називають розрядами або бітами. Двійковий код, що складається з 8 розрядів, носить назву байта. Для запису чисел також використовують 32-розрядний формат (машинне слово), 16-розрядний формат (півслова) і 64-розряд-ний формат (подвійне слово).

Одиниці виміру інформації

1 біт-мінімальна одиниця інформації (1 біт - «О» або «1»);

байт = 8 біт (1 байт - один символ);

кілобайт (Кбайт, кь, К) = 210 байт = 1024 байти;

Одна сторінка машинописного тексту = 2 Кбайта.

Мегабайт (Мбайт, Mb, М) = 210 Кбайт = 1024 Кбайта = 220 байт;

Гігабайт (Гбайт, Gb, Г) = 210 Мбайт = 1024 Мбайта = 230 байт;

Терабайт (Тб, Tb, Т) = 210 Гбайт = 1024 Гбайт = 240 байт;

Петабайт = 210 Тбайт = 1024 Тбайта = 250 байт;

Ексабайт = 210 Пбайт = 1024 Пбайт = 260 байт.

наприклад:

1984 546 281 байт = 1 гігабайт 984 мегабайта 546 кілобайт 281 байт.

Словник термінів

Абстрагування - метод вирішення завдань, при якому об'єкти різного роду об'єднуються загальним поняттям (концепцією). Потім згруповані суті розглядаються як елементи єдиної категорії.

Адаптер - пристрій зв'язку комп'ютера з периферійними пристроями.

Адреса - номер конкретного байта оперативної пам'яті компью ¬ тера.

Алгебра логіки (булева алгебра) - математичний апарат, за допомогою якого записують (кодують), спрощують, обчислюють і перетворюють логічні висловлювання.

Алгоритм - зрозуміле і точне розпорядження (вказівку) испол ¬ вання вчинити певну послідовність дій для досягнення поставленої мети за кінцеве число кроків.

Алгоритмічний мова - сукупність символів, угод і правил, використовуваних для однозначного опису алгоритмів і зазвичай є частиною мови програмування.

Алфавіт - набір знаків, в якому встановлений порядок їх проходження (лексикографічний порядок).

Аналіз - метод дослідження, заснований на виділенні окре ¬ них компонентів системи та розгляді їх властивостей і зв'язків.

Аналогова форма подання інформації - представле ¬ ня повідомлення, що містить інформацію, за допомогою сигналів, інформаційний параметр яких є безперервною функци ¬ їй часу.

Анімація - спосіб організації графічної інформації, по ¬ зволяет відображати динамічні процеси.

Антивірусні програми - програми, що запобігають зараженню комп'ютерним вірусом і ліквідують наслідки зараження.

Аудіоадаптер (звукова плата) - спеціальна електронна пла ¬ та, яка дозволяє записувати звук, відтворювати його й створювати програмними засобами за допомогою мікрофона, навушників, дина ¬ Міков, вбудованого синтезатора та іншого обладнання.

База даних - один або декілька файлів даних, призначе ¬ значення для зберігання, зміни і обробки великих обсягів взаємозалежної інформації.

База знань - масив інформаційних повідомлень, организо ¬ ний спеціальним чином (у вигляді гіпертекстової структури з описом метаданих), і дозволяє прискорити пошук необхід ¬ мій інформації.

Базовий клас - клас, з якого породжується інший клас. Синоніми: клас-предок, Надклас, батьківський клас.

Байт - група з восьми бітів, розглянута при зберіганні даних як єдине ціле.

Банк даних - сума інформаційних даних (як правило, мультимедійних), що стосуються певної галузі знань і орга ¬ нізовать у вигляді електронної бібліотеки.

Банк зображень - банк даних, призначений для хра ¬ нання фіксованих (фото, малюнки) або рухомих (відео, кіно, мультиплікація) зображень.

Біт - одиниця інформації, сприймана комп'ютером як О або 1 (одиниця виміру ентропії при двох можливих равноверо ¬ ятних исходах досвіду).

Браузер - спеціальне програмне забезпечення для перегляду інформаційних ресурсів в Інтернеті.

Вага кодової комбінації - число ненульових (одиничних) раз ¬ рядів в даній кодової комбінації.

Відеоадаптер - електронна плата, яка обробляє відео ¬ дані (текст і графіку) і управляє роботою монітора. Містить відеопам'ять, регістри вводу-виводу і модуль BIOS.

Зовнішні запам'ятовуючі пристрої (ВЗУ) - пристрої, ви ¬ ті, що виконують операції, пов'язані із збереженням і зчитуванням дан ¬ них на матеріальному носії.

Гіпертекст - спосіб непослідовного об'єднання тексто ¬ вої інформації.

Графічна мова - мова, призначена для написання програм машинної графіки і користування ними.

Дані - інформація, представлена ​​в певній формі, закодована для того, щоб спростити її обробку, запис або передачу.

Декодер - пристрій, що забезпечує виконання операції декодування, тобто відновлення інформації в первинному алфавіті ¬ ті за отриманою послідовності кодів.

Дидактичні підходи - принципи і способи навчання, пре ¬ подавання.

Дизайн - спосіб подання (опису, демонстрації) учеб ¬ ного матеріалу.

Дисковод - пристрій, що управляє обертанням магнітного диска, читанням і записом даних на ньому.

Дискретна форма подання інформації - представле ¬ ня повідомлення, що містить інформацію, за допомогою кінцевого числа знаків (алфавіту).

Дистанційне навчання - спосіб організації навчального про ¬ цесу з використанням освітнього середовища, заснований на со ¬ тимчасових інформаційних і телекомунікаційних технологіях, що дозволяють здійснювати навчання на відстані без непосред ¬ ного контакту між викладачем і учням.

Документ - продукт, сформований в результаті виконання деякої програми.

Драйвери - програми, що розширюють можливості операцион ¬ ної системи з управління пристроями вводу-виводу, оперативною пам'яттю і т.д. За допомогою драйверів можливе підключення до комп'ютера нових пристроїв або нестандартне використання име ¬ ющіхся пристроїв.

Знак - елемент деякого кінцевого безлічі відмінних один від одного сутностей, використовуваного для представлення дискретних сигналів.

Ієрархія - структура, впорядкована по підпорядкованості в соот ¬ відності з деяким набором правил. В об'єктно-орієнтованому програмуванні ієрархія зазвичай утворюється зв'язками "клас-під-клас".

Ікона - образотворче уявлення, часто символічне, однієї або декількох функцій комп'ютера. Максимальний розмір приблизно 1 х 1,2 см.

Інкапсуляція - приховування внутрішньої структури даних і реа ¬ лізації методів об'єкту від решти програми. Доступний тільки інтерфейс об'єкта, через який здійснюється вся взаємодія з ним.

Інтерактивний - якість обладнання, програм або усло ¬ вий експлуатації, яке дозволяє діяти у формі, прибли ¬ лишнього до діалогу з користувачами, або в реальному часі з комп'ютерами.

Інтернет - всесвітня мережа, що складається з регіональних компью ¬ терну мереж. Пов'язує більше п'ятдесяти мільйонів чоловік.

Інтернет-технології - безліч способів, методів, правил і протоколів для передачі даних по мережах Інтернету.

Інтерфейс - сполучення двох пристроїв, що обмінюються ін ¬ формацією.

Інформатика - фундаментальна природнича наука, вивчаю ¬ лює загальні властивості інформації, процеси, методи і засоби її обробки (збирання, зберігання, перетворення, переміщення, видача).

Інформація - відомості про осіб, предмети, факти, події, явища і процеси незалежно від форми їх подання, пере ¬ даються і збережені за допомогою умовних сигналів (знаків).

Штучний інтелект - дисципліна, що відноситься до пере ¬ работке інформатикою знань і висновків.

Виконавець алгоритму - це суб'єкт або пристрій, спосіб ¬ ні правильно інтерпретувати опис алгоритму та виконати міститься в ньому перелік дій.

Джерело інформації - це суб'єкт або об'єкт, який породжує інформацію та представляє її у вигляді повідомлення.

Канал зв'язку - це матеріальне середовище, а також фізичний чи інший процес, за допомогою якого здійснюється передача повідомлення, тобто поширення сигналів в просторі з часом.

Каталог (директорія, папка) - зміст файлів. Доступний користувачеві через командний мова операційної системи. Його можна переглядати, перейменовувати зареєстровані в ньому файли, переносити їх вміст на нове місце і видаляти. Часто має ієрархічну структуру.

Клас - це безліч об'єктів, що володіють одним або не ¬ скількома однаковими атрибутами; ці атрибути називаються полем властивостей класу.

Класифікація - це розподіл однотипних об'єктів у відповідності з виділеними властивостями (ознаками, категоріями, класами).

Код - (1) правило, яке описує відповідність знаків або їх со ¬ четаніе одного алфавіту знакам або їх сполучень іншого алфавіту;

(2) знаки вторинного алфавіту, використовувані для представлення знаків або їх поєднань первинного алфавіту.

Кодування реревод інформації, представленої допомогою первинного алфавіту, в послідовність кодів.

Компрессіяfдекомпрессія - техніка, яка використовується для сохра ¬ нання обсягів даних. Грунтуючись на алгоритмах, вона полягає у визначенні зайвої інформації й описі її в порівнянні з еквівалентною, схожою інформацією, іноді ціною втрати якості. Найбільш відомі норми: JPEG для нерухомих зображень і MPEG для відео.

Комп'ютерна графіка - обладнання та програмне забезпе ¬ чення для графічного представлення і трансформації изображе ¬ ний.

Контент - зміст курсу. Усі навчальні матеріали, посібники, документи, завдання, тести та контрольні заходи курсу.

Контролер - пристрій, який пов'язує периферійне обо ¬ нання або канали зв'язку з центральним процесором, освобо ¬ ждая процесор від безпосереднього управління функционировани ¬ ем даного обладнання.

Масив - упорядкована лінійна сукупність однорідних даних.

Машинна мова - сукупність машинних команд компью ¬ тера, що відрізняється кількістю адрес в команді, призначенням інформації, що задається в адресах, набором операцій та ін

Метадані - короткі інформаційні ідентифікатори (ін ¬ дексу, ключові слова), призначені для опису сенсу ін ¬ формаційного повідомлення (тексту, зображення, таблиці та ін.).

Моделювання - побудова спрощеного варіанту прототипу, що забезпечує прийнятну для даної задачі точність опису його будови або поведінки.

Моделювання імітаційне - метод дослідження, заснований ¬ ний на те, що досліджуваний прототип замінюється його імітатором (натурної або інформаційною моделлю), з яким і проводяться експерименти з метою отримання інформації про особливості про ¬ тотіпа.

Модель-це об'єднання складових частин (елементів) і зв'язків між ними, що відображає істотні для даної задачі властивості прототипу.

Модем - скорочення слів модулятор + демодулятор. Це обору ¬ лідження передає і отримує дані безпосередньо по телефонних лініях.

Мультимедіа - загальний термін, що описує суму техноло ¬ гій, програмного забезпечення і методів, які дозволяють інте ¬ гріровать дані різного походження (тексти, зображення, звуки і т.д.)

Навігація - набір інструментів та індикаторів системи ді ¬ станційного навчання для спрощення процесу вивчення навчальних матеріалів.

Об'єкт - складна структура даних, що має властивості спадкування, інкапсуляції і поліморфізму. Об'єднує в собі дан ¬ ні та операції над ними (методи). Структури даних та реалізація методів об'єкта невидима для інших об'єктів в системі. Об'єкти взаємодіють між собою, посилаючи один одному повідомлення, ви ¬ зувати один з його методів. Об'єкти із загальними властивостями і методами об'єднані в класи.

Оперативна пам'ять (ОЗУ) - швидке запам'ятовуючий устрій ¬ ство не дуже великого обсягу, безпосередньо пов'язане з про ¬ цессора і призначене для запису, зчитування і зберігання виконуваних програм і даних, що обробляються цими програ ¬ мами.

Операційна система - комплекс взаємопов'язаних програм, призначених для автоматизації планування та організації процесу обробки програм, введення-виведення та управління даними, розподілу ресурсів, підготовки та налагодження програм, інших допоміжних операцій обслуговування.

Основа системи числення - кількість різних знаків, використовуваних для зображення цифр в даній системі.

Парадигма - базова модель конкретного способу організації інформації. Об'єктно-орієнтована парадигма робить наголос на поведінці і обов'язках.

Периферія - деталі та агрегати, що дозволяють вводити інфор ¬ мацію в комп'ютер (клавіатура) або виводити її (принтер).

Піксель - найменша одиниця графіки, з якою може працювати комп'ютерна програма.

Поліморфізм - центральне поняття в об'єктно-орієнтований-ном програмуванні, що позначає здатність об'єкта вибирати правильний метод (внутрішню процедуру об'єкта) залежно від типу даних, отриманих в повідомленні. Завдяки поліморфізму об'єкт виконує потрібні дії, навіть якщо вміст сообще ¬ ня було невідомо під час написання програми.

Порти пристроїв - електронні схеми, що містять один або кілька регістрів вводу-виводу і дозволяють підключати пери ¬ ферійние пристрої комп'ютера до зовнішніх шин мікропроцес ¬ сора. Послідовний порт обмінюється даними з процесором побайтно, а з зовнішніми пристроями - побітне. Паралельний порт одержує і посилає дані побайтно.

Постійна пам'ять (ПЗУ) - використовується для зберігання даних, які не потребують зміни. Зміст пам'яті спеціальним чином'' зашивається "у ПЗУ при виготовленні. У ПЗУ знаходяться програм ¬ ма управління роботою самого процесора, програми управління дисплеєм, клавіатурою, принтером, зовнішньою пам'яттю, програми за ¬ пуску і зупинки комп'ютера, тестування пристроїв.

Програмне забезпечення - сукупність програм, виконуємо ¬ ваних комп'ютером, а також вся область діяльності по проектуванню ¬ женням та розроблення програм.

Програмний об'єкт - це сукупність деякого набору даних і процедур, що визначають можливості їх зміни.

Пропускна здатність каналу зв'язку - максимальне количе ¬ ство інформації, передане по каналу за одиницю часу.

Процесор - центральна частина комп'ютера. Його завдання преобра ¬ зовивать, обробляти інформацію (операції підрахунку, порівняння, читання, запису в пам'яті) і забезпечувати управління периферически ¬ ми пристроями.

Псевдокод - система позначень і правил, призначена для однакової запису алгоритмів. Займає проміжне місце між природним і формальним мовами.

Сайт - "місце" в Інтернеті. Йдеться про інформацію в серве ¬ ре, доступною для підключених до глобальної мережі користувачів. "Сайт" іноді замінюють словом "сторінка", хоча ці поняття не всі ¬ гда збігаються.

Сверхоперативная пам'ять (кеш-пам'ять) - дуже швидке ЗУ малого обсягу. Використовується для компенсації різниці в швидкості обробки інформації процесором і трохи менше бистродей ¬ відповідною оперативною пам'яттю.

Властивість (атрибут) - якість об'єкта, для якого установле ¬ на захід.

Семантика - система правил тлумачення окремих мовних конструкцій. Визначає смислове значення пропозицій мови. Встановлює, які послідовності дій описуються тими чи іншими фразами мови і який алгоритм визначений даним текстом на алгоритмічній мові.

Сервер - високопродуктивний комп'ютер з великим об'єк ¬ емом зовнішньої пам'яті, який забезпечує обслуговування інших комп'ютерів шляхом управління розподілом дорогих ре ¬ сурсів спільного користування (програм, даних і периферійного обладнання).

Сертифікат - інформаційне повідомлення (запис), підтвер ¬ ждающего успішне завершення вивчення курсу.

Сигнал - зміна характеристики матеріального носія, що використовується для представлення інформації.

Синтез - (1) метод дослідження (вивчення) системи в цілому (тобто компонентів у їх взаємозв'язку), зведення в єдине ціле даних, отриманих в результаті аналізу;

створення системи шляхом з'єднання окремих компонентів на підставі законів, що визначають їх взаємозв'язок.

Система - сукупність взаємодіючих компонентів, ка ¬ ждий з яких окремо не має властивості системи в цілому, але є її невід'ємною частиною.

Система числення - спосіб запису чисел за допомогою заданого набору спеціальних знаків (цифр).

Скрін-шот - малюнок, який представляє собою копію зобра ¬ ження на екрані.

Повідомлення - послідовність сигналів.

Засоби зв'язку - сукупність пристроїв, що забезпечують перетворення первинного повідомлення від джерела інформації в сигнали заданої фізичної природи, їх передачу і прийом.

Структура даних - перелік поєднуваних одиночних дан ¬ них, їх характеристики, а також особливості зв'язків між ними.

Схема - це комбінація базисних елементів, в якій виходи одних елементів приєднуються до входів інших.

Телематика - група обслуговуючих технологій, що має характеристики інформатики, з одного боку, і звичайних телеграфії і телефонії з іншого. Телематика об'єднує такі послуги, як телекс, відеографіки, факс, телетревогу і т.д.

Телепорт - місце, де приймають із супутників і передають на супутники радіоелектронні сигнали, а потім розподіляють інформа ¬ цію серед абонентів через кабельні мережі.

Термінал - апарат, який забезпечує доступ на відстані до інформаційної системи за допомогою передавальної лінії.

Файл - певним чином оформлена сукупність фі ¬ зичних записів, розглянута як єдине ціле і має опис в системі зберігання інформації.

Формальна граматика - система правил, що описує мно ¬ дружність кінцевих послідовностей символів формального алфа ¬ віта.

Форум - це інструмент для спілкування на сайті. Повідомлення у форумі в чомусь схожі на поштові: кожне з них має автора, тему і власне зміст.

Чат - спілкування в інтернеті, коли розмова ведеться в реальному часі.

Чорний ящик - це система, будова якої невідомо користувачеві, однак відома її реакція на певні зовнішні впливи.

Чіп (блоха) - фамільярне назву мікропроцесора, так як він часто являє собою коробочку з численними'' ніжка-ми ". Плоскі мікросхеми, що містять один контур або декілька контурів, в основному використовуються для банківських карток та інших подібних виробів.

Електронна пошта (E-mail) - мережева служба, яка дозволяє користувачам обмінюватися повідомленнями або документами без при ¬ менения паперових носіїв.

Ентропія - міра невизначеності досвіду, в якому проявля ¬ ються випадкові події, рівна середньої невизначеності всіх можливих його наслідків.

Ергономіка - вивчає умови роботи та відносин між людиною і машиною.

Мова - система символів і правил, призначена визначати завдання, які комп'ютер повинен вирішувати.

ASCII - американський стандартний код обміну інформацією. Широко використовується для кодування у вигляді байта букв, цифр, знаків операцій та інших комп'ютерних символів.

7