§ 2.5. Энергетические процессы в простейших цепях

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Мгновенная мощность пассивного двухполюсника

Рассмотрим произвольный линейный двухполюсник, не содержа­щий источников энергии. Напряжение и ток на зажимах двухполюс­ника изменяются по гармоническому закону: и = V2U cos (mt + ij)_u), i = 1^2/ cos (at + г);,) (рис. 2.24, а). Найдем мгновенную мощность двухполюсника

р ---- ui 2UI cos (Ы -|- -ф„) cos (oat + \|з_г) = Ul cos cp -f- Ul X

X cos (2W j-tp,), (2.102)

где cp — — % — сдвиг фаз между напряжением и током.

Как видно из выражения (2.102), мгновенная мощность пассивно­го двухполюсника содержит постоянную составляющую UI cos ср, значение которой зависит от сдвига фаз между током и напряжением, и переменную составляющую UI cos (2at f ijj>_u -f- %)> амплитуда ко­торой UI не зависит от ср. Среднее значение мгновенной мощности

двухполюсника за период (активная мощность) численно равно по­стоянной составляющей мгновенной мощности

P_A=UI cos ср. (2.103)

Анализ выражения (2.102) показывает, что особенности энергети­ческих процессов в рассматриваемом двухполюснике полностью опре­деляются характером его входного сопротивления.

Рис. 2.24. Временные диаграммы напряже­ния и тока (а), а также мощности (б) про­извольного пассивного двухполюсника

Когда входное сопротивление двухполюсника имеет чисто резис­тивный характер (ср = 0), постоянная составляющая мгновенной мощ­ности численно равна ампли­туде переменной составляю­щей; мгновенная мощность изменяется от /)_ш1|1 = 0 до Ртах = 2UI, принимая толь­ко неотрицательные значе­ния. Относительно внешних зажимов двухполюсник ведет себя подобно идеализирован­ному пассивному элементу сопротивлению. В каждый момент времени двухполюс­ник только потребляет элек­трическую энергию от источ­ника, необратимо преобразуя ее в другие виды энергии; об­мен энергией между двухпо­люсником и источником энер­гии отсутствует. Если внутри рассматриваемого двухполюсника имеются энергоемкие элементы (емкости и индуктивности), то они могут обмениваться энергией только между собой, обмена же энер­гией между этими элементами и источником в установившемся режиме не происходит (более подробно это будет рассмотрено в гл. 3). Нетрудно убедиться, что при ср = 0 уравнение (2.102) вырождается в уравнение (2.64), поэтому временные диаграммы рассматриваемого двухполюсника полностью совпадают с временными диаграммами для сопротивления (см. рис. 2.9).

Если входное сопротивление двухполюсника имеет чисто реактив­ный характер |ср| = я/2, то постоянная составляющая мгновенной мощности равна нулю (Р_л = 0), мгновенная мощность изменяется по гармоническому закону с частотой, вдвое превышающей частоту внеш­него воздействия. В данном случае двухполюсник ведет себя подобно емкости или индуктивности, в течение одной половины периода из­менения мощности запасая энергию от источника, в течение второй половины периода полностью отдавая ее источнику. При ср = -{-я/2 уравнение (2.102) может быть преобразовано к виду (2.75), а временные диаграммы совпадут с временными диаграммами для индуктивности (см. рис. 2.15). Если ср = —я/2, уравнение (2.102) совпадает с (2.68), а временное диаграммы цепи имеют такой же вид, как и временное диаграммы для емкости (см. рис. 2.12).

Когда входное сопротивление двухполюсника имеет резистивно­емкостной или резистивно-индуктивный характер (0 < |ср| < я'2), постоянная составляющая мгновенной мощности меньше амплитуды переменной составляющей, а мгновенная мощность двухполюсника изменяется от p_mln = —VI (1 — cos ср) до р_тах = UI (1 + cos ср), В течение большей части периода мгновенная мощность положитель­на, в остальной части периода — отрицательна (рис. 2.24, б). В двух­полюснике имеет место как процесс запасания энергии, так и процесс необратимого преобразования ее в другие виды энергии, так как пло­щадь, ограниченная участком кривой р (t) с положительными орди­натами (численно равная энергии, потребляемой двухполюсником от источника), больше площади, ограниченной участком кривой р (t) с отрицательными ординатами (соответствующей энергии, возвращаемой цепью источнику). Характер энергетических процессов в цепи одина­ков как при 0 < ср < я/2, так и при —п/2 < ср < 0 (временные диаг­раммы, приведенные на рис. 2.24, соответствуют 0 < ср < я/2).

Ни при каких значениях ср энергия, отдаваемая пассивным двухпо­люсником во внешнюю по отношению к нему цепь, не может превышать энергию, потребляемую этим двухполюсником от внешней цепи.

Активная, реактивная, полная

и комплексная мощности

Активная мощность, которая была определена как сред­нее значение мгновенной мощности за период, характеризует среднюю за период скорость поступления энергии в двухполюсник и численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности (2.103). По знаку активной мощности можно судить о направлении передачи энер­гии: при Р_А > 0 двухполюсник потребляет энергию, при Р_А<. 0 — отдает энергию остальной части цепи. Очевидно, что для двухполюс­ников, не содержащих источников энергии, активная мощность не может быть отрицательной.

Полной мощностью P_s называется величина, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах цепи:

P_a=UI. (2.104)

Полная мощность численно равна амплитуде переменной состав­ляющей мгновенной мощности. Активная мощность двухполюсника может быть выражена через полную мощность:

Р_Л = P_s cos ф. (2.105)

Из выражения (2.105) видно, что полная мощность есть максималь­но возможное значение активной мощности цепи, которое имеет место при ф — 0.

Комплексное число Р_а, модуль которого равен полной мощности Цепи Р _s, а аргумент — углу сдвига фаз между током и напряжением ф, называется комплексной мощностью цепи

P_s = /V/<р. (2.106)

Переходя от показательной формы записи Рд ^к тригонометричес­кой

P_s = P_s cos ср + jP_s sin ф, (2.107)

устанавливаем, что вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи:

Re [P_s] = P_s cos ф = P_A. (2.108)

Мнимая часть комплексной мощности представляет собой так на­зываемую реактивную мощность цепи

Im [P_sl = P_s sin ср = P_Q. (2.109)

Реактивная мощность характеризует процессы обмена энергией между цепью и источником и численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. В зависимости от знака угла ф реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо отрицательной. По знаку реактивной мощности, таким образом, можно судить о ха­рактере запасаемой энергии: при Pq> 0 энергия запасается в магнит­ном поле цепи, при Pq< 0 — в электрическом. При Pq = 0 в цепи

Рис. 2.25. Треугольники мощностей (а) н сопротивлений (б) произнольного пассивно­го двухполюсника

отсутствует обмен энергией с источником.

С учетом (2.108) и (2.109) выражение (2.107) можно за­писать следующим образом:

Pb=Pa + iPq- (2.П0)

Отсюда следует, что ком­плексная мощность представ­ляет собой комплексное чис­ло, вещественная часть ко­торого равна активной мощности цепи Р_А, а мнимая — реактив­ной Pq.

Комплексному числу P_s можно поставить в соответствие вектор P_s, проекции которого на вещественную и мнимую оси равны, соответ­ственно Р_А и Pq (рис. 2.25, а). Прямоугольный треугольник с гипо­тенузой, равной P_s, и катетами Р_А и Pq называется треуголь­ником мощностей. Из рисунка видно, что полная, активная и реактивная мощности связаны между собой соотношением

Pk^Pl+Pb.

В связи с тем что треугольник мощностей цепи подобен треугольнику сопротивлений этой же цепи (рис. 2.25, б), комплексная мощность Ps и ее компоненты P_s, Р_А, Pq могут быть выражены через комплекс­ное сопротивление цепи Z и его компоненты г, г, х:

Ps~ UI — Pz; Pq— Ps$inq>~ Ulx/z — Px',

Pa — Ps cos ф — Ulr/z ■— P r: Ps — Ps^—Pzelv-PZ. (2.111)

Найдем связь между комплексной мощностью и комплексными дей­ствующими значениями тока и напряжения на зажимах цепи. Под­ставляя в (2.106) выражения (2.104) и (2.48), находим

Ps = UI е⁷ ₌ = UI, (2.112)

где / — /е '^¹ — число, комплексно сопряженное с / (комплексно сопряженный ток).

Таким образом, комплексная мощность цепи равна произведению

комплексного напряжения цепи U на комплексно сопряженный *

ток I.

Активная, реактивная, полная и комплексная мощности имеют одинаковую размерность [Дж/с]. Однако для того, чтобы подчеркнуть различный физический смысл, который вкладывается в эти понятия, единицам данных величин присвоены различные названия. Активная мощность, так же как и мгновенная мощность, выражается в ваттах [Вт], полная и комплексная мощности — в вольт-амперах [В • А], реактивная мощность — в вольт-амперах реактивных [вар].

• ••••

Пример 2.5. Напряжение и ток на зажимах произвольного двухполюсника из меняются по гармоническому закону:

и =- У2-120 cos (314/+ 20°), В;

i — Л/2*6,8 cos (314/ — 51°), мА.

Определим полную, активную, реактивную и комплексную мощности двухполюс­ника.

Комплексный ток I, комплексное напряжение U и угол сдвига фаз <р меолду током и напряжением на зажимах рассматриваемого двухполюсника:

/ — /е^* = 6,8-10—³ е —^/51 °, А;

U -■ - Ue^^u - - 120е^,20°, В;

Подставляя эти величины в (2.104), (2.105), (2.109) и (2.112), находим иско­мые мощности:

P_S = UI== 120-6,8-10 -з = 0,816 В-А;

Р_А — Ш cos ср = 0,816 cos 71° — 0,266 Вт;

Pq-~ UI sin ф =0,816 sin 71° = 0,772 вар;

P_S = U*I= 120е^/20°6,8.10-зе^/51° = 0,816е^/71° B A.

В связи с тем что входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктив­ный характер (0 < ф •< л/2), реактивная мощность цепи положительна.

Баланс мощностей

Рассмотрим произвольную электрическую цепь, содержащую N идеальных источников напряжения, М идеальных источников тока и Н идеализированных пассивных элементов. Пусть i_h, u_k — ток и

напряжение k-ro элемента цепи. Из закона сохранения энергии сле­дует, что сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю:

N + M + H М + М + Н

2 2 “***=<>• (²'^пз)

k=1 *=i

Группируя члены, соответствующие идеализированным активным (Ри ист) ^и идеализированным пассивным (p^noip) элементам, уравне­ние (2.113) можно преобразовать к виду

N+М Н

2 Ph ист 2 Рк тютр" (2.114)

k=\

Уравнение (2.114) называют уравнением (условием) баланса мгновенных мощностей. Принимая во вни­мание, что мгновенная мощность любого элемента характеризует ско­рость потребления энергии этим элементом (потребляемая мощность), а мгновенная мощность, взятая со знаком минус, характеризует ско­рость отдачи энергии этим элементом (отдаваемая мощность), условие •баланса мгновенных мощностей может быть сформулировано следую­щим образом: сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источ­никами, равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми при­емниками энергии (необходимо иметь в виду, что потребляется и отда­ется не мощность, а электрическая энергия).

Можно показать, что условие, аналогичное (2.114), выполняется и для комплексных мощностей всех элементов:

N + М Н

— 2 £ь*ист = 2 ^5*потр. (2.115)

fc=I *=1

Уравнение (2.115) называется уравнением (условием) баланса комплексных мощностей. Таким образом, сумма комплексных мощностей, отдаваемых всеми идеализированными активными элементами, равна сумме комплексных мощностей всех идеализированных пассивных элементов.

Для практических расчетов электрических цепей условие баланса мощностей удобно представить в следующей форме:

N . . М . „ Я

(2.116)

2 E_hi_h Л 2 и и Л = 2 ⁷*

А = 1 к-I А =1

Левая часть выражения (2.116) представляет/собой алгебраическую сумму комплексных мощностей, отдаваемых в^еми активными элемен­тами. Слагаемое вида E_hI_h есть произведенщ комплексного действую­щего значения э.д. с. источника напряжений на комплексно сопряжен­ный ток этого источника; слагаемое вида П_к J_k равно произведению комплексного напряжения на источнике тока на комплексно сопря­женный ток этого источника. Слагаемьк, состоящие в левой части выражения (2.116), берут со знаком плюс, если направления токов и напряжений источников выбраны в соответствии с рис. 2.26. В против-

ном случае соответствующие слагаемые берут со знаком минус. Правая часть уравнения (2.116) есть сумма комплексных мощностей всех идеа­лизированных пассивных элементов, причем каждое слагаемое вида HZk равно произведению квадрата действующего значения тока /г-го идеализированного пассивного элемента на его комплексное сопротивление.

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных

мощностей: активная мощность,

отдаваемая всеми источниками, равна активной мощности всех потребителей:

Рис. 2.26. К определению зна­ка комплексных мощностей:

п — отдаваемой источником напря­жения; б — отдаваемой источником ГПК я

2 Re [ё* /J + 2 Re \u_h J_h] -

k=~i k-=i

н

= 2 /I^r**•

k= I

реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей:

N Г . , I М Г . . 1 Н .

2 Iin[E*/_fc|+ 2 Im[f/_fc J_fcj= 2 '***’

А =1 ft=l fe=l

где r_k и х_к — вещественная и мнимая составляющие комплексного - сопротивления 6-го элемента.

• ••••

Пример 2.6. Определим комплексный ток последовательной RL-цепи (см. рис. 2.18, а) с параметрами элементов R = 8 кОм, L = 4 мГн, к зажимам кото­рой подключен источник э.д.с. е — Т/2-30 cos (10*/ + 45°), В, и проверим вы* полнение условия баланса мощностей.

Находим комплексное входное сопротивление цепи

Z — R -j- /и! --- 8• 10-* + /4■ 10³ = 8,94е'²⁶ ’⁶°, кОм , и, используя закон Ома в комплексной форме, находим комплексный ток цепи 1 =E/Z-^30е^/457(8,94-Ю³е'²⁶’⁶“) =3,36-10-з е^/18’⁴\ д. Комплексная мощность, отдаваемая источником напряжения:

—■Psnci^- Ё} = Ш'⁴⁵°-3,36-10~³ е~>¹⁸-⁴° = 0,1е^/26’⁶°, В-А. равна комплексной мощности, потребляемой сопротивлением и индуктивностью: P_SnoTp=/^s(/?4-/«I) = (3,36.10-3)²8,94e^²⁶-⁶° = 0,le'²⁶-⁶°, В-А.

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей выполняется.

Коэффициент мощности

При проектировании электроэнергетических систем важное на­роднохозяйственное значение имеет обеспечение передачи максималь­ной активной мощности в\нагрузку при заданных действующих зна­

чениях токов и напряжений. Из выражения (2.103) видно, что повы­шение Р_А при неизменных действующих значениях токов и напряже­ний может быть достигнуто путем увеличения cos ср, т. е. путем умень­шения угла сдвига фаз между током и напряжением. Максимально возможное значение Р _А равно полной мощности Р ₈ и достигается при cos <р = 1. При уменьшении cos ср для получения заданной активной мощности в нагрузке требуется увеличивать действующие значения токов и напряжений, что ведет к росту потерь энергии в системе и тре­бует увеличения мощности источников энергии.

Величина, характеризующая степень приближения активной мощ­ности нагрузки к максимальному значению cos ср = Р_Л1Р ₈, назы­вается коэффициентом мощности.

Очевидно, что наивысшее значение коэффициент мощности (cos ср =

• 1) имеет при чисто резистивном характере нагрузки. Если нагруз­ка имеет резистивно-емкостной или резистивно-индуктивный харак­тер Y_n - g_H + jbn, то параллельно ей подключают компенсирующий элемент, проводимость которого выбирают равной по абсолютному значению и противоположной по знаку мнимой составляющей прово­димости нагрузки:

У> = jb_K = -jb_B. (2.117)

Комплексное входное сопротивление Z участка цепи, представляю­щего собой параллельное соединение нагрузки и компенсирующего элемента, будет иметь чисто резистивный характер Z = 1/ (У_н + ⁼

• 1 Ig_n, что обеспечит максимально возможное значение коэффициен­та мощности.

Комплексное сопротивление большинства реальных приемников энергии (электродвигателей, электронагревательных элементов, осве­тительных приборов) имеет резистивно-индуктивный характер: Ь„ = = — 1/ (coL_H)< 0.

Для компенсации мнимой составляющей проводимости нагрузки параллельно ей должны подключаться компенсирующие конденсато­ры, емкость которых рассчитывают в соответствии с условием (2.117):

C_rt = — bja> = 1/ (со²1_н). (2.118)

• ••••

Пример 2.7. В качестве нагрузки некоторого электротехнического устрой­ства используется двухполюсник, рассмотренный, в примере 2.5. Определим тип компенсирующего элемента и рассчитаем его основной /параметр (емкость С_к или индуктивность L_K).

Комплексная проводимость нагрузки

Г„=— = 56,7-10-«е-^,'^7!° = (18,4—/5^,6) 10-е, См,

U

в данном случае имеет резистивно-индуктивный характер (Ь_п < 0), следователь­но, в качестве компенсирующего элемента необходимо использовать конденсатор. Емкость компенсирующего конденсатора С_к можер быть рассчитана по формуле

(2.118):

С_к-=— Ь_а/ы-~ 53,6_/Ш-о/314-_/о,17.10-е ф.

Согласование источника энергии с нагрузкой

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника энергии и нагрузки. Пусть источник энергии представлен последовательной схемой замещения (рис. 2.27), причем его внутреннее сопротивление имеет комплексный характер: Z* = г_г + №•

Задача согласования источника энергии с нагрузкой заключается в выборе такого сопротивления нагрузки Z_H = г_и 4- jx„, при котором в цепи будут выполняться условия, называемые критериями согласо­вания. Рассмотрим согласование источника с нагрузкой по критерию наибольшей активной _Л £

мощности, передаваемой в нагрузку, и по кри­терию наибольшего к. п. д.

Активная мощность нагрузки в соответст- JU вии с (2.111) ¹

U

Ра =- = E²rJ [ (г; + л„)² + (xi + *„)²]. £ 0

(2.119)

Как видно из (2.119), Р_л является функ- _Рис. ₂.27. Схема заме- циеи двух переменных г_н их_и. В связи с тем щения источника

что вещественная г_а и мнимая х_н составляющие энергии с нагрузкой сопротивления нагрузки не зависят одна от другой, выбор значения каждой из этих величин, соответствующего максимуму Р_А, можно производить в отдельности.

Величина х„ входит только в знаменатель выражения (2.119). Оче­видно, что максимальное значение активной мощности по этой пере­менной Р_Атях будет достигнуто, если

х_а = —Xi. (2.120)

При этом Р_Атах = Ра\*_п= -_Xi = E²rJ {r_t -f r_H)².

^dP 4 max _ (''; + ^гн)^г —2г,| (Г; -fГ„) _рз __

0.

Для определения значения г„, соответствующего наибольшему возможному значению (максимум макс и мору м) активной мощности нагрузки Р_{Лтахшах}, продифференцируем Р_Атах по г_и и приравняем нулю полученное выражение:

(О + Гн)⁴

Иначе

О'г + 'н)²—2г„ (г_н + г_г) = 0. (2.121)

Решая уравнение (2.121), находим значение вещественной состав­ляющей сопротивления нагрузки

г и = г _и (2.122)

при котором активная мощность Р_л достигает наибольшего возмож­

ного значения (рис. 2.28, а):

Ра max max — Ра hax \г = г. — РА I _г _ ——~ • (2.123)

\ п г ' 'н ^ri 4г<

Объединяя условия (2.120) и (2.122), находим, что наибольшее воз­можное значение активной мощности нагрузки Р_{А тах тах} соответст-

* *

вует Z_H =- г_и + jx„ = r_t — fXi или Z_H = Z,-, где Z_t — величина, со­пряженная с комплексным внутренним сопротивлением источника.

Таким образом, для согласования источника энергии с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку, сопротивление нагрузки должно быть величиной, комплексно сопряжен­ной с внутренним сопротивлением источника. В частном случае, если

__-.У .

Ра max max - t]

Рис. 2.28. Зависимость активной мощности нагрузки (а) и к. п. д.

(б) от вещественной составляющей сопротивления нагрузки г„ прн х_н =—х,

внутреннее сопротивление источника имеет чисто резистивный харак­тер (Zj - т;),то сопротивление нагрузки должно выбираться равным

*

внутреннему сопротивлению источника Z„ = Z_t - r_t.

Коэффициент полезного действия цепи (см. рис. 2.27) равен отношению активной мощности, потребляемой нагруз­кой Р_Л, к суммарной активной мощности, потребляемой в цепи: т] = = Г,,/²/ (г„/² + ГI /²) - Г_н/ (г„ + r_t).

Зависимость к. п. д. от резистивной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 2.28, б. Из рисунка видно, что к. п. д. це­пи монотонно возрастает с ростом rjr_t, приближаясь к г) = 1 при rjr_t -> оо.

Таким образом, для согласования источника с нагрузкой по крите­рию максимума к. п. д. необходимо, чтобы резистивная составляющая сопротивления нагрузки была намного больше резистивной составляю­щей внутреннего сопротивления источника (г_и > г_;).

Рассмотренные критерии согласования источника энергии с на­грузкой являются несовместимыми, т. е. не могут выпол­няться одновременно. В частности, при согласовании источника с на­грузкой по критерию максимальной активной мощности, передаваемой в нагрузку, к. п. д. цепи будет равен 0,5. Очевидно, что мощные элек­троэнергетические системы не могут работать с к. п. д., при котором половина выработанной энергии теряется на внутреннем сопротивле­нии источника, поэтому обычно стремятся к достижению максимально возможного значения к. п. д., выбирая г„/> г_г. Согласование по кри­терию максимальной активной мощност^, передаваемой в нагрузку, широко используется в маломощных радиоэлектронных устройствах,

когда независимо от потерь необходимо добиться выделения макси­мальной мощности сигнала в нагрузке.

Следует отметить, что приведенные рассуждения справедливы толь­ко для источников с конечным внутренним сопротивлением. Для ис­точников с Ri = 0 или Gj - О I-] - 1 при любом конечном значении резистивной составляющей сопротивления нагрузки, а выделяемая в нагрузке мощность неограниченно возрастает с уменьшением (при питании от источника напряжения (1.26)1 или с увеличением [при пи­тании от источника тока (1.27)1 г_н.