§ 2.4. Анализ простейших линейных цепей при гармоническом воздействии

Последовательная /?/.-цепь

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.18, а). Пусть напряжение и, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется по гармоническому закону

и = Y2U cos (cat + яр_и),

где U, а>, г|э_и — заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.

Рис. 2.18. Схемы н векторные диаграммы последова­тельной /?/,-цепи

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

i = У~21 cos (tot + тр_г),

где /, грг — неизвестные действующее значение и начальная фаза то­ка /.

Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами за­мещения и переходя от тока i и напряжения и к их комплексным изоб­ражениям

получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи

0 = (J_R + 0_L; (2.81)

/=/« = /*.; (2.82)

U_R^Z_RI_R- (2.83)

U_L = ZJ_L. (2.84)

Здесь Z_R = R и Z_b = jmL — комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R, L и ш заданы.

Подставляя (2.82)—(2.84) в уравнение (2.81), находим соотноше­ние, связывающее комплексные изображения искомого тока и задан­ного напряжения:

U =(Z*4 Z_L)l = Zi. (2.85>

Выражение (2.85) представляет собой математическую запись за­кона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Z = Z_R + Z_L = R + /coL есть комплексное входное сопро­тивление этого участка цепи. Выражению (2.85) можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, в). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из по­следовательно включенных сопротивления R и индуктивности L, рав­но сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное сое­динение произвольного количества идеализированных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равно­го геометрической сумме векторов Z_R и Z_L (рис. 2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи

z = VR* + ( и!)², (2.86)

а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его аргу­менту

Ф = arctg (юL/R). (2.87)

Отметим, что при конечных значениях со, L и R угол ср лежит в пределах

О < ср < л/2. (2.88)

Когда аргумент комплексного входного сопротивления ф какого- либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопро­тивление и проводимость имеют чисто резистивный (вещест­венный) характер, когда |ср| = я/2 — чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротив­ления двухполюсника равен я/2, то его входные сопротивление и про­водимость имеют индуктивный характер, если ср= —л/2— емкостной. В рассматриваемом случае значение аргумента ср определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеет резистивн о-и ндуктивный характер.

Используя (2.85), найдем комплексное действующее значение ис­комого тока

/= UIZ = Ue’*ul(zeiv) = 1/е^,(*“"^ф) /г, (2.89)

где г и ф определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно определить действующее значение и начальную фазу тока:

/ = Ulz, гр_г = г|з_в — ф.

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, оконча­тельно получаем

л

Z

= Y2 ^U =- cos (at 4- — arctg

В связи с тем что при заданной частоте внешнего воздействия ю установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью опре­деляются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача анализа цепи считается решенной, если найдены комплексные действующие значения соответствующих функ­ций.

Векторные диаграммы для тока и напряжений RL-цепи приведены на рис. 2.18, д. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор U_R совпадает по направлению с вектором /, век­тор U_L повернут относительно вектора / на угол л/2 против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Не­зависимо от начальной фазы напряжения гр_и вектор / повернут отно­сительно вектора U = U_R 4- (J_L по часовой стрелке на угол ф, т. е- ток отстает по фазе от напряжения на угол ф, равный аргументу комп­лексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так назы­ваемый треугольник напряжений, образованный век­торами U,U_R и Ui. (рис. 2.18, д), подобен треугольнику сопротивлений (рис. 2.18, г), образованному векторами^, Z_H

и Z_L.

Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напря­жения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении U_H и напря-

i = Y2 — cos(w/+1]>„— ф)-=

жен и я на индуктивности U_L, которые определяют длину сторон тре­угольника напряжений, связаны соотношением

u^Vuk+ui,

г. е. действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгеб- )аической сумме действующих значений напряжений на элементах 1епи.

• ••••

Пример 2.3. Найдем комплексное входное сопротивление и ток последователь- юй RL-цепи (рис. 2.18, а), к зажимам которой прилоокено напряжение и = = 1/2-50 cos (6,28 ■ 10*/+ 60°), В и.определим напряжения на элементах цепи R = 5 кОм, L = 1 мГн).

Комплексное входное сопротивление цепи Z равно сумме комплексных сопро­тивлений входящих в нее элементов:

Z_= R + j(>>L = (5 4- / 6,28) 10^я, Ом.

Переходя от алгебраической формы записи к показательной

£= 8,03е^/51’⁵\ кОм,

тределяем модуль комплексного входного сопротивления г = 8,03 кОм и его аргумент ф = 51,5°. Находим комплексный ток цепи

> = ГГТ-^ = 6,23е'⁸'⁵°, мА

50е'⁶°^с 3,03-103 е'⁵¹’⁵°

и комплексные напряжения на сопротивлении и индуктивности t/^/?/=^5-10*.6,23.10-s_e/⁸-⁵° = 31,2e^/8l5° В;

U_L = j(oLI —6,28' 10^е -1 -10~³ е^,90° 6,23-10-*е^/8*⁵° -=39,1е^/98-⁵*, В. Мгновенные значения соответствующих величин

i=V2-6,23. Ю-з cos (6,28-10<> /4-8,5°), А; u_r-=-Y2-31,2cos (6,28-10⁶ /4-8,5°)', В; u_l--=Y2 39,1 cos (6,28-10« /+98,5°), B.

Последовательная /?С-цепь

Рассмотрим последовательную ^С-цепь (рис. 2.19, а), к зажимам которой приложено напряжение и, изменяющееся по гармоническому закону. Найдем комплексный ток цепи и ее комплексное входное со­противление.

Переходя к комплексной схеме замещения цепи (рис. 2.19, б) и ис­пользуя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи:

U = U_R±Uc-, i — iR — tc, Uc = Zcic, (2.90)

где Z_R = R и Z_c = 1/ (/соС) — комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему уравнений (2.90) относительно комплексного действующего значения искомого тока, получаем

i=U/(Z_R + Zc) = U/Z. (2.91)

'=R+1/0WC)

Рис 2 19. Схемы и векторные диаграммы по­следовательной RC-цепи

Здесь Z = Z_R + Z_c — комплексное входное сопротивление рассмат­риваемой цепи, которое равно сумме комплексных сопротивлений по­следовательно включенных идеализированных элемен­тов. Комплексная схема замещения цепи, соответ­ствующая уравнению (2.91), приведена на рис. 2.19, в. Выразим ком­плексное сопротивление цепи Z через параметры входящих в цепь элемен­тов:

Z~Z_R -\-Zc= R—//(юС) = = ze/f, (2.92)

где г — УR² + [1/ (шС)]²; Ф = — arctg [1/ (wi?C)].

Как видно из выражения (2.92), при конечных значениях м, R и С угол ф лежит в пределах —я/2< ф < 0, т. е. входное сопротивле­ние цепи имеет резистивно-емкостной характер. Векторная диаграмма для комплексного входного сопротивления цепи приведена на рис. 2.19, г.

Подставляя (2.92) в (2.91), окончательно получаем

/ fj __ U (J {Фц + arctg [l/((OC)]J 12 ддч

г у>+[1/(<оС)]² ' ' ’

Из выражения (2.93) видно, что ток i опережает приложенное на­пряжение и по фазе на угол ф. Совмещенная векторная диаграмма для тока и напряжений ^С-цепи приведена на рис. 2.19, д.

Последовательная i?LC-uenb

Рассмотрим последовательную RLC-тпъ (рис. 2.20, а), находя­щуюся под гармоническим воздействием, комплексная схема замеще­ния которой приведена на рис. 2.20, б. Используя законы Ома и Кирх-

гофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрическо­го равновесия цепи

U = UUl-)- Ос, Ul — ZlIl,

i=i_{R =} i_L = Iс- Uc = Zc/с; (2.94)

U r=Z_rIr>

где Z_R — R', Z_L = ja>L\ Z_c = 1/ (/<oC) — комплексные сопротивле­ния входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему

(2.94) относительно тока /, получаем

/ = U/(Z_R + Z_L + Z_c) = U/Z. (2.95)

Здесь Z — комплексное входное сопротивление последовательной ^LC-цепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в

Рис. 2.20. Схемы и векторные диаграммы для сопротивлений после­довательной RLC-це пн

цепь элементов, которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:

Z=-Z*+Z/ +Zc — R + j [coL — 1 /(wC)J. (2.96)

Переходя от алгебраической формы записи Z к показательной, на­ходим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:

имеет резистивно-индуктивный характер (0 < ср < я/2). Векторная диаграмма, построенная на основании уравнения (2.96) и иллюстри­рующая данный случай, представлена на рис. 2.20, г (для большей наглядности векторы и Z_c изображены немного смещенными один относительно другого). Если x_L <. \х_с\, то входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостной характер (—я/2 < ф < 0)

(рис. 2.20, д). При x_L = \х_с \ мнимые составляющие входного сопро­тивления емкости х_с и индуктивности х_ь взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (ф = = 0) (рис. 2.20, е).

Рис. 2.21. Векторные диаграммы для тока н напряжений последо­вательной RCL-цепи

Используя уравнение (2.95), можно по известному напряжению, приложенному к внешним зажимам цепи, найти ток и наоборот. Век­торные диаграммы для тока и напряжений цепи, соответствующие различным соотношениям между мнимыми составляющими комплекс­ного сопротивления емкости х_с и индуктивности х_ь, приведены на рис. 2.21. Вектор U_R = RI, изображающий падение напряжения на сопротивлении, совпадает по направлению с вектором /; вектор U_L = — jx_ti -- jwLi повернут относительно / на 90° против часовой стрел­ки; вектор Uс — jx_cl — —jI/шС направлен противоположно вектору U_L. При х,. > |л;_с| (рис. 2.21, а) вектор U_b + I)_с совпадает по на­правлению с вектором U_L, ток цепи отстает по фазе от напряжения (ф> 0). При X/, < |лг₀! (рис. 2.21, б) вектор U₂. f U_c совпадает по направлению с вектором U_c, ток цепи опережает но фазе напряжение (ф<0). Если x_L — \х_сI (рис. 2.21, в), то вектор U_L \ U_c — 0, на­пряжение на зажимах цепи U равно напряжению на сопротивлении V_R, ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением (ф = 0).

• ••••

Пример 2.4. Определим комплексное входное сопротивление и комплексный ток последовательной RLC-цепи (см. рис. 2.20, а) с параметрами L — 80 мкГн, С - 500 пФ, R - 100 Ом, к зажимам которой приложено напряжение и -- '2■ К) cos mt, В, <).>я частот <о, ‘2.5- 10^й, <о₄ = 8-10» и о»₃ -- 5* Ю^в рад/с.

Комплексное входное сопротивление цепи (2 96) равно < умме комплексных со­противлений входящих в нее элементов Подставляя в (2.96) параметры элементов

цепи, находим комплексное сопротивление цепи при интересующих значениях час­тоты внешнего воздействия:

Z |_ш=(01 = 100—/600 = 608,Зе -/⁸⁰>⁵°, Ом;

51ш=<о„⁼ 100+/390 = 402,6е^/75>^ь°, Ом;

fl_w=<o,-¹⁰0 ^0м-

Таким образом, при w = Wj входное сопротивление цепи имеет резистивно­емкостной характер-, при (О = о>₂ — резистивно-индуктивный; при <о = <о₃ — чисто резистивный.

Используя закон Ома в комплексной форме (2.95), находим комплексный ток цепи:

/I = —^— = 100 мА.

100

Как и следовало ожидать, согласно характеру комплексного входного сопро­тивления цепи, при о) — o)j — ток опережает напряжение по фазе на угол 80,5°; при (о — ы₂ — ток отстает по фазе от напряжения на угол 75,6°; при и — о>₃ напряжение и ток совпадают по фазе.

Параллельная ^LC-цепь

Рассмотрим параллельную RLC-цепь (рис. 2.22, а), к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону. Комплексная схема замещения цепи, в которой идеализиро­ванные двухполюсные элементы представлены их комплексными проводимостями, изображена на рис. 2.22, б.

Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия цепи:

^ — Лг + tc^YcUc;

U — Ur^Uc — Ol] Il — YlOl, (2.98)

/« = Y_r Or.

Здесь У_д = \/R; Y__c = /шС; Y_l = 1/ (jaL) — комплексные прово­димости входящих в цепь идеализированных пассивных элементов.

Решая систему уравнений (2.98) относительно тока /, получаем

I = (У_д -Н Ус + П) 0 = Y0, (2.99)

где_У = У_д + Yс -f Y_l — комплексная проводимость параллельной RLC-цепи, равная сумме комплексных проводимостей входящих в Цепь идеализированных элементов. Далее будет показано, что комп­лексная проводимость любого участка цепи, состоящего из произволь­

ного числа параллельно включенных ветвей, равна сумме комплекс­ных проводимостей этих ветвей. Комплексная проводимость парал­лельной RLC-цепи, как и комплексная проводимость любой линейной цепи, не зависит от амплитуды (действующего значения) и начальной

У= l/R+jo)C+1/ja>L 5) а) Y Ж
у	1c=J
V/ - •	Re и

1т Yc=Jbc, Yrt/R &<0 Re bL	iR	1 • О L
		h U и
v L	Г	с р
О—		1 о

1т	B)
Im	Yc~j be
n	& = 0	,YL=JbL

Y=Y_r = /R Re

^e)

г)

8)

Рис. 2.22. Схемы и векторные диаграммы для проводимостей параллельной

RLC-цепи

фазы внешнего воздействия, а определяется только параметрами вхо­дящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:

Y = Yr + ^c + Yl = (IiR)-{ jl<*G- 1/(®L)]. (2.100)

Переходя от алгебраической формы записи к показательной (2.51), найдем модуль // и аргумент ■& комплексной входной проводимости RLC-цепи:

У = j/(l/#)²-f [<йС — 1 /(со!)]²; $-= arctg {f? [юС— l/(wL)]. (2.101)

Анализ выражений (2.101) показывает, что характер входной про­водимости, а следовательно, и характер входного сопротивления па­раллельной RLC-цепи зависят от соотношения между реактивными составляющими входной проводимости емкости Ь_с ~ и индуктив­ности b_L = —1/ (v>L). Когда b_c> \Ь_Ь] (рис. 2.22, г), входная про­водимость цепи имеет резистивно-емкостной характер (аргумент комп­лексной проводимости п/2> #;> 0, поэтому аргумент комплексного входного сопротивления ср лежит в пределах —л/2< ср < 0). При Ь_с < \Ь_Ь \ (рис. 2.22, д) входная проводимость цепи имеет резистивио- индуктивный характер, а при Ь_с = \b_L\ (рис. 2.22, е) реактивные сос­тавляющие входной проводимости емкости Ь_с и индуктивности b_L взаимно компенсируются и входная проводимость цепи имеет чисто резистивный (вещественный) характер.

Уравнение (2.99) представляет собой математическую запись за­кона Ома в комплексной форме для параллельной RLC-u.enu. Комп­лексная схема замещения цепи, соответствующая этому выраже­нию, приведена на рис. 2.22, в. Используя уравнение (2.99), можно по заданному напряжению определить ток, текущий через внешние за-

•*' im	j . 1т
§rh=JbLir	/
гДд.+-Гс	Lh+h
1 \ й
к<0\^ ОЧ^й/я 3	К/'1 irJbcu о

Im

Re

Re

Рис. 2.23. Векторные диаграммы для токов и напряжения парал­лельной RLC-цепи при 6с>|6ь| (a), bc<\bi.\ (б), Ь_с=\Ьъ\ (в)

1 tribe а

жимы цепи, и, наоборот, по заданному току определить приложенное к цепи напряжение. Векторные диаграммы для токов и напряжения параллельной RLC-цепи приведены на рис. 2.23.

Уравнения (2.98), описывающие процессы в параллельной ^LC-цепи, по­добны по структуре уравнениям электрического равновесия ранее рассмотренной последовательной /^LC-цепи (2.94) и могут быть получены из одного другое путем замены тока на напряжение, проводимости на сопротивление, емкости на индук­тивность. Следовательно, параллельная и последовательная Л?1С-цепи являются дуальными. Векторные диаграммы дуальных цепей также могут быть получены из одних другие путем упомянутых замен.