§ 6.1. Задача анализа переходных процессов

Возникновение переходных процессов.

Понятие о коммутации

Как отмечено ранее, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому за­кону или, в частном случае, сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее эле­ментов: подключение или отключение отдельных ветвей, изменение параметров пассивных элементов или параметров источников энергии, нарушает периодический характер изменения токов и напряжений вет­вей, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неуста- новившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима, будем называть к о м м у т а И и е й. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени (теоретически через бесконечно большой промежуток времени) цепь перейдет в новый ус­тановившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к дру- юму, называются переходными.

При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т. е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом комму­тации, причем через t ■- 0_ обозначают момент времени, непосредст­венно предшествующий коммутации, а через t - 0_Ч, или t - О, — момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (началь­ный момент времени после коммутации).

\

Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в ос­новном устройствам производства, передачи и преобразования элект­рической энергии. Для радиотехнических устройств более'характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неиз­менны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону. Понятие коммутации в том

виде, как оно было сформулировано ранее, по сути дела, теряет смысл, так как изменение параметров источников энергии происходит прак­тически непрерывно. При анализе неустановившихся процессов в ра­диотехнических цепях начало отсчета времени выбирают исходя постановки задачи, независимо от того, находилась ли цепь до этого момента времени в установившемся режиме или нет. Для единства тер­минологии начало отсчета времени неустановившихся процессов, имею­щих место в радиотехнических цепях, обычно также называют момен­том коммутации.

Законы коммутации

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответ­ствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом н магнитном нолях. Скачкообразный переход от одного установивше­гося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии,- что, учитывая выражение (1.5), возможно толь­ко, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконеч­но большие значения. В связи с тем что любой реальный источник энер­гии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т. е. представ­ляет собой непрерывную функцию времени. Принимая во внимание, что запасенная в цепи энергия определяется суммарными зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек, при­ходим к выводу, что суммарные потокосцепление и заряд цепи также являются непрерывными функциями времени, в частности после ком­мутации (t - 0₊) они равны суммарному потокосцеплению и суммар­ному заряду цепи в момент времени / — 0_: '

(0₊) -- 24' (0_); Zq (0+) - lq (0_). (6.1)

Это положение известно под названием п-р инципа непре­рывности во времени суммарного потокосцепления и суммарно­го электрического заряда цепи. В реальных цепях в момент комму­тации возможны коммутационные потери энергии, на­пример потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.

Если электрическая цепь не содержит энергоемких элементов, то процесс ее перехода от одного установившегося режима к другому дол­жен происходить мгновенно. Такие безреактивные цепи можно рас­сматривать только в качестве весьма упрощенных моделей реальных/ цепей.

Если коммутация идеализированной электрической цепи не затра­гивает ветвей, содержащих реактивные элементы, т. е. в процессе коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообраз­ного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммар­ных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов ин­дуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируется в виде законов (правил) коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

‘•r.(0 + )=‘t(0_), (6 2)

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации

напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно пе­

ред коммутацией:

^ис (0+) ^{= и}с (0— )• (6.3)

а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.

Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.

Как известно, в теории цепей рассматриваются процессы, имеющие место в идеализированных цепях при идеализированных внешних воздействиях. Применение чрезмерно упрощенных моделей элементов цепей и внешних воздействий может привести к нарушению предпосы­лок, использованных при формулировании законов коммутации, и вследствие этого к нарушению самих законов. Так, представляют ин­терес случаи, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконеч­но большой ток или напряжение, т. е. развивать бесконечно большую мощность. При таких внешних воздействиях законы коммутации на­рушаются и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменя­ются скачкообразно.

Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых ком­мутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Ана­лиз процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципа непрерывности суммарных потокосцеп­ления и электрического заряда цепи, который имеет более общий характер, чем законы коммутации.

Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишие упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.

Таким образом, термин «некорректная коммутация» является не вполне удачным: правильнее говорить не о некорректной коммутации, а о некорректной постановке задачи коммутации.

Пример 6.1. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от гальваниче­ского элемента. Если использовать последовательные схемы замещеним конденса­тора и источника энергии (рис. 6.1, а), то переключение ключа S из положения 1 в положение 2 (или наоборот) является корректной коммутацией.

Действительно, пусть в исходном состоянии ключ находится в ,положении 1 и емкость С полностью разряжена, а в момент времени t — 0 ключ перебрасы­вается в положение 2. Если бы в результате коммутации напряжение та емкости возросло скачком, то в соответствии с компонентным уравнением емкохти (1.13) ток цепи достиг бы бесконечно большого значения, что привело бы к ,тому, что левая часть уравнения баланса напряжений для цепи, получающейся помеле комму­тации и_с + (R_c + R{) i = Е, не равнялась бы правой части.

Рис. 6.1. К примеру 6.1

0

5)

В)

tOiV.

2

-о

^а)

RC

Таким образом, предположение о том, что в рассматриваемой цепи наруша - ется второй закон коммутации, приводит к явно неправильному результату. Следовательно, в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, чти и в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации: и_с (0+) — и_с (0_) = 0, а затем плагвно увели­чивается, стремясь в пределе к новому установившемуся значению, равмому э.д.с. источника напряжения (в установившемся режиме ток через емкость равен• нулю, и из уравнения баланса напряжений следует, что и_с — Е).

Если в исходном состоянии ключ находится в положении 2, а емкю<ть С за­ряжена до напряжения Е, то при перебросе ключа в положение 1 напряжение на емкости в начальный момент времени после коммутации сохраняет значение, которое было в момент времени, непосредственно предшествующий кожмутац1Ш, напряжение на сопротивлении R_c скачком становится равным — и_с (0+) — = —Е, а ток сопротивления скачком возрастает до значения —г'_с (0+) ——E/R_c. Затем напряжение и ток емкости плавно уменьшаются, стремясь в пределе к нулю.

Если упростить схему замещения конденсатора и исключить из нее после­довательное сопротивление R_c (рис. 6.1, б), то перевод ключа из положения 1 в положение 2 будет по-прежнему оставаться корректной коммутацией в то вре­мя, как перевод ключа из положения 2 в положение 1 — станет некюрректной коммутацией (некорректность коммутации объясняется тем, что рассматри­ваемая схема замещения цепи не учитывает потерь энергии в конденсато'ре и соеди­нительных проводах, а также энергию, выделяющуюся вместе с искрой между кон­тактами ключа. В зависимости от требуемой точности анализа необходимо либо принять, что напряжение на емкости скачком изменилось от одного ус­тановившегося значения до другого, либо применить более сложную схему замеще­ния цепи с учетом ключа и соединительных проводников).

Если упрощать и далее схему замещения цепи (исключив из нее внутреннее сопротивление источника R() (рис. 6.1, в), то перевод ключа из одно>го положе­ния в другое всегда будет представлять собой некорректную коммутацию.

Пример 6.2. Рассмотрим идеализированную цепь (рис. 6.2). Пусть в ис­ходном состоянии ключ S находится в положении 1, через индуктивность L протекает постоянный ток i_L[ (0_), а ток индуктивности Ц равен нулю• i_Ll (0_) = E/R- i_L2 (0_) = 0.

Рис. 6.2. К примеру 6.2

Если в момент времени t — 0 ключ S перебросить из положения 1 в положе­ние 2, то индуктивности L_x и L₂ окажутся включенными последовательно и их токи должны мгновенно уравняться (для соблюдения уравнения баланса токов). Оче­видно, что такая коммутация некоррект­на, причем начальное значение тока индук­тивностей i_Ll (0+) -- i_L2 (0+) = i_L (0+) после коммутации может быть определено из принципа непрерывности потокосцепле­ния. (0+) -[- L₂ 2 (0+) = (L₁+L₂) X

X i_L (0+) = L_xi_Ll (0_), откуда

'L (0 + ) = ^ i_Ll (0_)/ (L. + L,)^

= L_XE/l(L, + L₂)/?].

При анализе такой цепи обычно принимается, что токи индуктивностей L_l и L₂ скачком изменяются до уровня i_L ('0+), а затем плавно увеличиваются, на­чиная с этого уровня, до установившегося значения = E/R.

Можно убедиться, что энергия данной цепи непосредственно после комму­тации

^wLl (°+)+ ^wL2 (°4-) = (^i b^₂) ‘1 (°+)/2 =

=ЦЕ*/[2 (L^LJ /?*]

меньше, чем энергия, запасенная в индуктивности L_x до коммутации-.

w_Ll (0_) = Z.₁ (0_)/2 = Lj £²/(2tf²).

причем разность между этими величинами равна энергии коммутационных по­терь. Рассмотренная коммутация может быть сделана корректной, если при анализе принять во внимание конечное время коммутации, применить более точные модели индуктивных катушек, содержащие не только сопротивления по­терь, но и паразитные емкости, и учесть явления, имеющие место в искре или dt/ге между контактами. Разумеется, учет этих явлений существенно усложня­ет анализ.

Общий подход к анализу переходных процессов

Задача анализа переходных процессов заключается в общем слу­чае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени пос­ле коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы урав­нений электрического равновесия, составленной любым другим спо­собом, при t> 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению диффе­ренциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной инвариантной во времени цепи с со­средоточенными параметрами v-ro порядка сводится к нахождению об­

щего решения линейного неоднородного дифференциального уравне­ния v-ro порядка вида (1.61).

Общее решение такого уравнения содержит v произвольных по­стоянных, для нахождения которых необходимо задать значения ис­комой функции у и ее v — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = 0₊. Эти величины определя­ют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи перед коммутацией. В резуль­тате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непо­средственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае — принцип непрерывности потоко­сцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения v начальных усло­вий требуется применить законы коммутации к v независимо вклю­ченным реактивным элементам, т. е. к реактивным элементам, вклю­ченным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи v, определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность началь­ных значений токов независимо включенных индуктивностей и напря­жений независимо включенных емкостей представляет собой неза­висимые начальные условия цепи. Используя неза­висимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени t = 0₊.

Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредствен­но предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при нулевых начальных услови я*х. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом слу­чае все независимые начальные условия равны нулю, во втором слу­чае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).

Следует обратить внимание на то, что независимые начальные ус­ловия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после комму­тации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0_), и не зависит от характера процессов, имеющих место в рас­сматриваемой цепи до коммутации (при t<C 0).

Определение порядка сложности цепи

В некоторых случаях порядок сложности электрической цепи v бывает желательно выяснить еще до составления уравнений электри­ческого равновесия. Очевидно, что значение v не может превышать общего числа реактивных элементов цепи рис. В связи с тем что по­следовательно или параллельно включенные реактивные элементы од-

_HOio типа не являются энергетически независимыми, при подсчете с необходимо объединять такие элементы и заменять их эквива­лентным элементом соответствующего типа.

Если в цепи имеется так называемый емкостный контур, _т е. контур, образованный только емкостями и, может быть, неза­висимыми источниками напряжения, то напряжение любой из емко­стей такого контура выражают через напряжения других емкостей с помощью уравнения баланса напряжений, составленного для данного емкостного контура. Таким образом, наличие в цепи емкостного кон­тура уменьшает на единицу число независимо включенных емкостей и снижает порядок сложности цепи.

Рис. 6.3. К примеру 6.3

Rf Lf /?2 Rf Lf R2

Число независимо включенных индуктивностей снижается при на­личии в цепи так называемого индуктивного сечения, т. е. сечения, в которое входят только индуктивности, и, может быть, независимые источники тока. Частным случаем индуктивного сечения является индуктивный узел (узел, к которому подключены только индуктивности и независимые источники тока). Ток, а следо­вательно, и энергия любой из индуктивностей, входящей в индуктив­ное сечение, могут быть выражены через токи других индуктивностей на основании уравнений баланса токов, составленного для данного се­чения.

Если в состав цепи входит несколько емкостных контуров или ин­дуктивных сечений, то при оценке числа независимо включенных ре­активных элементов учитывают только независимые емко­стные контуры и_независимые индуктивные сечения, т. е. такие контуры и сечения, уравнения баланса нап­ряжений и токов которых независимы.

Таким образом, порядок сложности линейной цепи, составленной только из идеализированных пассивных элементов и независимых источников тока или напряжения:

v — Plc Пек ' </ис. (6.4)

^ГДе Рис — общее число реактивных элементов; гг_ек — число незави­симых емкостных контуров; q„_c — члсло независимых индуктивных сечений.

Следует иметь в виду, что порядок сложности цепи зависит также от соотношений между параметрами входящих в нее элементов, поэ­тому выражение (6.4) позволяет оценить только максимально возмож­ное значение порядка сложности цепи (в том числе и цепи с управляе­мыми источниками).

• ••••

Пример 6.3. Определим порядок сложности цепи, схема которой приведена на рис. 6.3, а.

Преобразуя участки цепи, содержащие последовательно и параллельно включенные однотипные реактивные элементы (рис. 6.3, б), определяем общее чис­ло реактивных элементов цепи p_LC = 6. Рассматриваемая цепь содержит один емкостной контур, образованный емкостями С_ъ С_эш и источником напряже- нияе, и одно индуктивное сечение (индуктивности L,, L_it L_3Ki). поэтому порядок сложности данной цепи не может превышатв четырех.