§ 2.3. Идеализированные пассивные элементы

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Сопротивление

Пусть к идеализированному резистивному элементу сопротивле- ' нию (см. рис. 1.2) приложено напряжение, изменяющееся по гармони­ческому закону (рис. 2.9, а):

u_R VW_R cos (м -f т|?„). - (2.61)

Рис. 2.9. Временное диаграммы напряжения (а), тока (б) и мгно­венной мощности (в) сопротивле-

Определим ток сопротивления i_R и его комплексное входное сопро­тивление Z_H, а также построим диаграммы, характеризующие зависи­мость тока, напряжения и мгновен­ной мощности сопротивления от вре­мени.

Связь между мгновенными значе­ниями тока и напряжение линейного сопротивления определяется законом Ома (1.9). Подставляя (2.61) в (1.9), находим

Ir = u_r/R = [V2U_R cos (wt+qjVR.

(2.62)

Из выражения (2.62) видно, что при гармоническом внешнем воздей­ствии ток сопротивления является гармонической функцией времени той же частоты, что и напряжение (рис. 2.9, б). В общем случае гармо­нический ток через сопротивление

^{н =- V2/д cos (ц>/ + 'М- (2-63)

Сравнивая выражения (2.62) и (2.63), устанавливаем, что ток и напряжение линейного сопротивления совпадают по фазе

а действующие значения напряжения и тока связаны между собой со­отношением /_я = U_r/R, подобным закону Ома для мгновенных зна­чений. Мгновенная мощность сопротивления определяется произве­дением мгновенных значений напряжения ы_д и тока i_R:

Pr = UrIr = 2U_rIr cos² (at + \p).

Выражая- cos² (at + гр) через косинус двойного угла, получаем выражение для мгновенной мощности сопротивления

Pr — U_RI_R 4~ UrIr cos 2 (at 4* (2.64)

Из выражения (2.64) следует, что мгновенная мощность сопротив­ления содержит две составляющие: постоянную, равную произведению действующих значений напряжения и тока, и переменную, изменяю­щуюся во времени по гармоническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с частотой воздействующего напряжения (рис. 2.9, в). Максимальное значение мгновенной мощности сопротивления равно 2U_rI_r, а минимальное — нулю.

В связи с тем что ток и напряжение сопротивления имеют одина­ковые начальные фазы, они одновременно достигают максимальных значений и одновременно проходят через нуль (рис. 2.9, а, б). Мгно­венная мощность сопротивления всегда положительна, причем она об­ращается в нуль в точках, где ток и напряжение равны нулю, и до­стигает максимума в моменты времени, когда токи напряжение мак­симальны по абсолютному значению.

Среднее значение мощности сопротивления за период называется активной мощностью и равно произведению действующих зна­чений напряжения и тока:

7 Т

PA = P_cv^~^PRdt = ^U^^Ir J [1 f cos 2 (at+ \j?)]dt=: U _RI_R. о 0

Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления сопротивлением энергии от источника.

Комплексные ток и напряжение сопротивления i_R = I_Re^i =

_ Ur _е/i))_{u И} (j_R — (j_Re№u имеют одинаковые аргументы и отличают­ся по модулю в Я раз. На комплексной плоскости U_R и /_н изобража­ются векторами, которые совпадают по направлению и отличаются только масштабом (рис. 2.10, а).

1т	UH 1т	Im
		if Я
0	Re	* Re 0
	а1	6)	б)

Рис. 2.10. Векторные диаграммы для тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в) сопротивления

Комплексное сопротивление Z_R идеализиро­ванного резистивного элемента — сопротивле­ния равно отношению комплексных действую­щих значений напряжения и тока:

Рис. 2.11. Комплекс­ная схема замещения участка цепи, содер­жащего сопротивле­ние

2_Н = U_R/t_R =■ R. (2.65)

Представляя комплексное сопротивление Z_R в показательной и алгебраической формах

Z_R= z_R^^R=^r_R+\x_R (2.66)

и сравнивая (2.65) с (2.66), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления равен z_R = Ur/Ir =-- R, его аргумент <р_я = г|>_и — г|5_; =

= 0 и что комплексное входное сопротивление Z_R идеализированно­го резистивного элемента сопротивления содержит только веществен­ную составляющую: r_R — R, x_R = 0.

На комплексной плоскости Z_R изображается вектором, направ­ленным вдоль вещественной оси (рис. 2.10, б). Комплексная проводи­мость сопротивления Y_R = 1IZ_R = MR также изображается вектором, направление которого совпадает с направлением положительной ве­щественной полуоси (рис. 2.10, в).

Комплексная схема замещения сопротивления (рис. 2.11) имеет такой же вид, как и эквивалентная схема для мгновенных значений (см. рис. 1.2), и отличается от нее только тем, что мгновенные значения тока i_R и напряжения ы_н заменены их комплексными изображениями /_д и U_h.

Емкость

Рассмотрим емкость (см. рис. 1.5), к которой приложено напряже­ние, изменяющееся по гармоническому закону:

и с = К2 и с COS (at + 1|)_и).

Используя выражение (1.13), найдем

du~ ,

i_c=C = —«>СУ2 f/c sin (Ш-j-t|i_u) =

dt

= |/2 <3)CU_ccos ((of-t-ярц + я/2). (2.67)

Как видно из (2.67), ток емкости изменяется по гармоническому закону

i_c = V~2I_C COS (<йt + lpi)>

причем начальная фаза тока на я/2 больше начальной фазы напряже­ния: = ярц + я/2, т. е. ток емкости опережает по фазе напряжение

на 90° (рис. 2.12, а).

Действующее значение тока емкости пропорционально действую­щему значению напряжения: I_c = a>CU_c.

Мгновенная мощность емкости р_с при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой в два раза большей частоты воздействующего напряжения (рис. 2.12, б):

рс — — fV" 2fJс cos (u>t ip_u)] [У2/с cos (at i])_u -f- Jt/2)] =

— —2U_CI_C cos (ш^+'фц) sin (w^+\p_u)= —U cl с ^{sin 2} (a>t + ip_u). (2.68)

Как видно из временных диаграмм, в течение половины периода изменения мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (емкость заряжается), при этом мгновенная мощность емкости положительна. В течение второй половины периода емкость отдает запасенную энергию (разряжается), при этом ток и напряжение емко­сти имеют различные знаки, а мгновенная мощность емкости отрица­тельна. Среднее значение мощ­ности емкости за период (ак­тивная мощность) равно нулю: т

p_A=a±.^p_cdt = 0. (2.69)

о

Энергия w_c, запасенная в емкости, определяется в соот­ветствии с выражением (1.18), приложенным к ней напряже­нием:

Wc=Cuc/2 =

--- Cf/ccos²(at + ^>_ц) -=

= CUh [ 1 + cos 2 (at + г|з_и)]/2.

(2.70)

В)

Из выражения (2.70) видно, что энергия емкости содержит две составляющие: переменную Рис. 2.12. Временные диаграммы напря- И постоянную, причем перемен-

жения, тока (а), мощности (б) и энер- ная составляющая энергии из-

гии (в) емкости меняется во времени по гармо­

ническому закону с частотой, равной 2ш (рис. 2.12, в). Энергия емкости достигает максималь­ного значения в те моменты времени, когда напряжение на емкости максимально по абсолютному значению; при уменьшении (по абсо­лютному значению) напряжения на емкости запасенная в ней энергия уменьшается и становится равной нулю в моменты времени, когда напряжение на емкости равно нулю. Таким образом, емкость перио­дически обменивается энергией с остальной частью цепи, причем энер­гия, запасенная в емкости, является неотрицательной величиной. Ем­кость не содержит внутренних источников энергии и поэтому в процес­се разрядки не может отдать больше энергии, чем она получила от ос­тальной части цепи в процессе зарядки.

	Im	Im
7г/г\Уис	0
		s? i и
		lc=-j/(uO=jxc «
J ' Яе
a1		Si

Y_c=ju)C jb_c '\&=я/2

д)

Рис.. 2.13. Векторные диаграммы тока и напряжения (а), комплексного сопротивления (б), а также комплексной проводимости (в) емкости

йе

В связи с тем что ток емкости i_c опережает напряжение емкости i_c по фазе на угол я/2, комплексные ток и напряжение емкости /_с = = /_се^/’^1,<==<йС{/_се^Л,*’^и+я/2>; 0_С = (J_ce^/'ⁱ’^u изображаются на комплекс­ной плоскости в виде двух векторов, расположенных таким образом, 'то вектор /с повернут относительно вектора U _с на угол п/2 против 'асовой стрелки (рис. 2.13, а). Комплексные со- тотивление и проводимость емкости Jc

и_г

I с

ыС

е-/"/2 --= 1 /(/шС) = - //((оС) (2.71)

(2.72)

Сравнивая (2.71) и (2.72) с показательной и алгебраической формами записи комплексных

Y_c = 1 !Z_C = а)Се/‘^я/2 = /ыС.

-7 ^!<(Г

Zc — z_ce

Рис. 2.14. Комплекс­ная схема замещения емкости

•опротивления и проводимости /_с

= ^гс + /лгс?; Y_c = y_ce ^^c = g_c + jb_c, находим : одул и, аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных ■опротивления и проводимости емкости: z_c = 1/(соС); у_с = <оС; т>_с = —я/2; #_с = л/2; g_c = г_с = 0; = — 1/ (юС); Ь_с = <*>С.

На комплексной плоскости Z_c и У_с изображают векторами, направ- ;енными соответственно вдоль отрицательной и положительной мни- лых полуосей (рис. 2.13, б, в). Комплексная схема замещения емкости фиведена на рис. 2.14.

Индуктивность

Найдем напряжение u_L на индуктивности (см. рис. 1.7), ток которой изменяется по гармоническому закону:

i_L = cos (at + гр_г). (2.73)

Связь между мгновенными значениями тока и напряжения индук­тивности определяется выражением (1.22). Подставляя (2.73) в (1.22), юлучаем

u_L — L —— = — aL У 2 I_I sin (at + ij?;) =

dt

(2.74)

89

■ У2 wL/l cos (м/ +¹Рг + n/2).

Как видно из (2.74), напряжение индуктивности, находящейся под гармоническим воздействием, является гармонической функцией- времени, имеющей ту же частоту, что и воздействующий ток (рис. 2.15, а):

и_ь = У 2 U_L COS ((i>t + 'фи)-

причем начальная фаза напряжения на я/2 больше начальной фазы тока + я/2.

Действующее значение напряжения на индуктивности пропорцио­нально действующему значению тока

U_L = аЫ_ь.

Также, как и мгновенная мощность емкости, мгновенная мощность индуктивности р_ъ при гармоническом воздействии изменяется по

Рис. 2.15. Временные диаграммы то­ка и напряжения (а), комплексного сопротивления (б), а также комплек­сной проводимости (в) индуктивности

гармоническому закону с частотой, равной 2ю (рис. 2.15, б):

Pl = u_Li_L =

= lV2U_L cos (соt + г|з_и)] X X [ У2I_L cos (юt + гр₍)1 =

= — UjJl sin 2 (at + гр_г). (2.75)

В связи с тем что в индуктив­ности отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, активная мощность индуктивности равна нулю: Р_А —

1 ^

= - J p_Ldt = 0.

Энергия w_L, запасенная в маг­нитном поле индуктивности, опре­деляется мгновенным значением тока индуктивности:

Li² Llf

w_L = — = -y-l 1 + cos 2(at+tyi)].

Также, как и мгновенная энергия емкости, мгновенная энергия индуктивности содержит постоянную и переменную составляющие, причем переменная составляющая изменяется во времени по гармони­ческому закону с частотой 2а (рис. 2.15, в).

Вследствие того что емкость и индуктивность являются дуальными элементами, процессы, имеющие место в этих элементах при гармони­ческом воздействии, описываются подобными по структуре аналити­ческими выражениями, а временнйе диаграммы для индуктивности подобны временным диаграммам для емкости и могут быть получены из последних путем замены напряжения на ток, а емкости на индук­тивность.

Комплексный ток /_L и комплексное напряжение U_L индуктивности

определяются выражениями

(2.76)

U_L=U_Le>^ = wLI_Leⁱ⁽^^+nl2) (2.77)

^/Ъ=-1ТП

'Yc-j/b>L~jb_L

в)

и изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, дли­ны которых в определенном масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктивности, причем вектор U_L повернут отно­сительно вектора /_£ на угол п/2 против часовой стрелки (рис. 2.16, а).

	Im		Im
wv/'a			a

1т

Re

б)

Рис. 2.16. Векторные диаграммы для тока и напряжения (д), комплексного сопротивления (б) и комплексной прово­димости (в) индуктивности

Используя выражения (2.76), (2.77), находим комплексное сопро­тивление Z_L и комплексную проводимость Y__L индуктивности:

Z_L = U_Llt_L = ojL eW² = /(oL; (2.78)

= е- /«/ ²/(<aL) = 1 /(/<oL) = — //((oL). (2.79)

Сравнивая (2.78) и (2.79) с показательной и алгебраической форма­ми записи комплексных сопротивления и проводимости: Z_L =

/<р

Zi,e ^L = r_r, + jxl; Уь = ^z,e = + j^L,

получаем вещественную и мнимую части, моду­ли и аргументы комплексного сопротивления и комплексной проводимости индуктивности: z_L — mL\ у_ь = 1/ (®L); = я/2; = —я/2;

gi r_L ■= 0; ==- ®L; =■ —1/ (wL).

Рис. 2.17. Комплекс­ная схема замещения индуктивности

На комплексной плоскости Z_L и F_L изо­бражаются векторами, ориентированными со­ответственно вдоль положительного или отри­цательного направления мнимой оси (рис. 2.16, б, в). Комплексная схема замещения инду^ивности при­ведена на рис. 2.17.

Таким образом, комплексные сопротивления и проводимости идеализирован¹ иых пассивных элементов линейных цепей не зависят от амплитуды (действую­щего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрами соответствующих элементов и частотой виешиего воздействия.