§ 6.5. Временные характеристики линейных цепей

Единичные функции и их свойства

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование ре­акции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описы­ваемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функ­цией Хевисайда) называется функция

0. (6.93)

   !(*-/„) =

   при t<. t₀\

1. при t^st₀.

^а)

При t₀ — 0 для единичной ступенчатой функции используют обо­значение 1 (0 (рис. 6.14, б). График функции 1 (t— /₀) имеет вид сту­пеньки или скачка, высота которого равна 1 (рис. 6.14, а). Скачок та­кого типа будем называть единичным. Функцию Хевисайда

1				1(*V 1
0	*0		t	0	i

5)

Рис. 6.14. К определению единичной ступенчатой функции

(6.94)

1 (i — ^о) удобно использовать для аналитического представления раз­личных внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообраз­но изменяется в момент коммутации:

1/(0 при

где f (() — ограниченная функция времени.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напря­жения значение внешнего воздействия на цепь

(6.95)

0 при t<t₀;

Х = const при t^t₀,

где t₀ — момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) мож- ^Но представить в виде

Ht) X			x,(t) х	-x2(t)		ig
						0	i

ta⁺tu

a)

6)

Рис. 6.15. Представление прямоугольного импульса в виде разности двух

неединичных скачков

Если при t = t₀ в цепь включается источник гармонического тока или напряжения

О при t<.t_Q\

x(t) =

Х_т cos (at + при t ^ t₀,

то с использованием функции 1 (t — t_n) внешнее воздействие на цепь можно представить в форме

x(t) = 1 (if — t_Q)-X_m cos (at + г|>).

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t — i₉ скач­кообразно изменяется от одного фиксированного значения X* до дру­гого Х₂, то

x(t) = х_г + (х_г-хо-1 (/-д.

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного им­пульса высотой X и длительностью t_a (рис. 6.15, а), можно предста­вить в виде разности двух одинаковых скачков

_Xi(t) = XA(t-Q

и х.> (t) = X ■ 1 (t— t₀— t_u), сдвинутых во времени на t„ (рис. 6.15, б, в):

х (t) = x_t (t) — х₂ (0 = X [1 (t — t₀) — 1 (t — U — *и)Ь

(6.96)

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью St и высотой 1/Аt (рис. 6.16, а). Очевидно,что площадь этого импульса равна 1 и не зависит от At. При уменьшении длительности импульса его высота воз­растает, причем при М-у 0 она стремится к бесконечности, но пло-

Щ

x(i)

1/At

t_a t₀+At t 0

a) ' ~6)

щадь остается равной 1. Импульс бесконечно малой длительности, бес­конечно большой высоты, площадь которого равна 1 будем называть единичным импульсом. Функция, определяющая единич­ный импульс, обозначается д (t — t₀) и называется б-функцией или функцией Дирака.

Итак,

б (t—t₀) =( ^{0 ПрИ t¥zt}°' (6.97)

( оо при t = t₀,

причем

оо

J 6 (/—/„) Л = 1, (6.98)

■ При t₀ = 0 для б-функции используется обозначение б (t). При по­строении временнйх диаграмм функции 6 (t — t₀) и 6(0 будем изобра­жать в виде вертикальной стрелки со значком оо около острия (рис.6.16, б, в).

Для установления связи между 6-функцией и единичной ступенча­той функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1/Д^ и устремляя Л t к нулю, получаем

б (t—t₀) = lim j _{6 9g}

At dt

откуда

t

. \ (t—t₀)= J 6(t—tjdt. (6.100)

■— OO

Таким образом, б-функция представляет собой производную от еди­ничной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — ин­теграл от б-функции.

0. при

t<i₀; -jj-tt—to) ^пРи t₀^ts^t₀ + At;