§ 5.4. Нелинейные резистивные элементы

ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии

Ранее, при рассмотрении графических методов анализа нелиней­ных цепей, было показано, что реакция нелинейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздействие в общем случае не является гармонической функцией времени. Так как графические ме­тоды анализа позволяют установить только качественное соответствие между видом ВАХ нелинейного резистивного элемента и реакций это­го элемента на заданное гармоническое воздействие, то для получения количественных соотношений необходимо воспользоваться аналити­ческими методами.

Пусть ВАХ некоторого нелинейного сопротивления может быть аппроксимирована полиномом п-й степени

П

х ±а_г х² + ... +а_п х^п^ ^ a_k х^к , (5.18)

/г = О

а внешнее воздействие х - х (t) является гармонической функцией времени

х - Х_т cos со^. (5.19)

Подставляя (5.19) в (5.18) и выражая слагаемые вида а_и lX_mcos WP через гармонические функции кратных частот

U2

Оа [Х_т cos ю/]² = ² [1+cos 2м/];

а₃ [Х_т cos w/]³ = — [3 cos ш/ + cos Заэ/];

4

«4 X*',

а₄ [Х_т cos ш/]⁴ = f3 + 4 cos 2a>t +cos 4м/]; (5.20)

а_ъ [X_m cos ю/]⁵ == ——— [ 10 cos <^t + 5 cos Зш/ + cos 5orf| и т. д, 16

получаем

-■У--Г- 2 YmhCOSkat, (5.21)

1

где

Y — — а₀ -] а₂ Xf„ “1—~~ Н ~~ Хт ~Ь • ■ •,

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

Как видно из выражения (5.21), реакция нелинейного сопротив­ления на гармоническое внешнее воздействие определенной частоты м представляет собой сумму постоянной составляющей У_ и г а р м о- нических составляющих (гармоник) с частотами, крат­ными частоте внешнего воздействия. Гармоническая составляющая, частота которой равна частоте внешнего воздействия (k — 1), назы­вается первой гармоникой, гармоническая составляющая, частота которой в два раза превышает частоту внешнего воздействия (k 2), — второй гармоникой и т. д. Номер высшей гар­монической составляющей (k - п) равен степени полинома п, аппро­ксимирующего ВАХ рассматриваемого нелинейного сопротивления. Амплитуда k-ц гармоники Y_mh зависит только от членов полинома k-н и более высоких степеней, причем амплитуды четных гармоник и постоянная составляющая определяются только членами полинома четных степеней, а амплитуды нечетных гармоник — членами поли­нома нечетных степеней. Следовательно, если ВАХ нелинейного сопро- ' тивления аппроксимируется четным полиномом, то реакция нелиней-' ного сопротивления не будет содержать нечетных гармоник, а если ВАХ аппроксимируется нечетным полиномом, то реакция нелинейного сопротивления на гармоническое воздействие не будет содержать по­стоянной составляющей и четных гармоник. Выражение (5.21) описы­вает важнейшее свойство нелинейных цепей, заключающееся в том, что их реакция на гармоническое воздействие содержит колебания различ­ных частот (в том числе и нулевой), rtf. е. нелинейная цепь выступает в роли генератора колебаний, частота которых отличается от частоты внешнего воздействия. j

Понятие о режимах малого и большого сигнала

Как следует из изложенного ранее, реакция безынерционного не­линейного резистивного элемента на гармоническое внешнее воздейст­вие полностью определяется вицом полинома, аппроксимирующего ВАХ рассматриваемого элемент^. В свою очередь, степень аппрок­симирующего полинома и значения его коэффициентов зависят от формы ВАХ элемента, а также от ширины и местоположения рабочей области ВАХ. На практике для выбора местоположения рабочей об­

ласти ВАХ нелинейного резистивного элемента, находящегося под гармоническим внешним воздействием, к зажимам этого элемента на­ряду с источником гармонического воздействия прикладывают неко­торое постоянное напряжение или постоянный ток, так называемые напряжение или ток смещения.

Пусть напряжение и на зажимах некоторого нелинейного сопро­тивления R (и) содержит постоянную составляющую U- (напряжение смещения) и переменную составляющую, изменяющуюся во времени по гармоническому закону

Ди -- U_т cos <йЛ (5.22)

Для определения тока сопротивления i воспользуемся выражением (5.16), аппроксимирующим ВАХ сопротивления в окрестности рабочей точки «_р — {/_. Подставляя (5.22) в (5.16) и используя формулы (5.20), (5.21), получаем

t=/_+ 2 Imk^coskwt, (5.23)

* = i

где /_ — постоянная составляющая тока сопротивления; /_т1, /_т2, ..., /_т„ —- амплитуды 1, 2, ..., п-й гармоник, определяемые выраже­ниями:

/_ =а₀ + -^- а₂ £/т+ ~7~^а* ^‘тЛ——■ а._й IJm~r ■■■',

Z О lb

tml ^^а1 Um ^аз Um — Я₅ Um + ■■■',

4 О

^m2 “ ~ <^2 + — й₄ t/ш +а₆ f/m + • ■-J ^s-

^ttn ■ ^(5,24)

Рассмотрим случай, когда амплитуда переменной составляющей напряжения U_m — 0. Тогда через сопротивление течет постоянный ток

/_|у_т=0=а₀ = »р. (⁵-²⁵)

называемый током покоя.

Из определения статического сопротивления (см. § 1.2) следует, что ток покоя и напряжение смещейия «_р = U_ связаны между собой соотношением \

h =- ti_plR

СТ ^ UJR

СТ »

(5.26)

т.е. статическое сопротивление можно рассматривать как сопротив­ление нелинейного элемента постоянному току в выбранной рабочей точке.

Обратимся к так называемому режиму малого сигна- л а, при котором амплитуда переменной составляющей настолько ма­ла, что в пределах рабочей области ВАХ может быть приближенно за­менена отрезком прямой линии. Это означает, что в разложении (5.16) можно пренебречь всеми членами, содержащими А и в степенях выше первой. Как следует из выражений (5.23), (5.24), ток нелинейного со- противлени я в рассматриваемом режиме содержит две составляющие: постоянную /_, равную току покоя, и переменную А/, частота которой совпадает с частотой переменной составляющей приложенного напря­жения:

At = /_т1 cos (at — a_xU_m cos <at. (5.27)

Подставляя выражение (5.22) в (5.27) и используя определение дифференциального сопротивления (см. § 1.2), находим, что перемен­ные составляющие тока и напряжения сопротивления связаны между :обой соотношением

Ai =- а_гАи — Au/R_w0.

ТаЛим образом, дифференциальное сопротивление нелинейного ре- шстивного двухполюсного элемента можно рассматривать как сопро- пивление этого элемента для малых приращений, или, другими сло- шми, как сопротивление переменному току в режиме малого сигнала.

Из выражений (5.25), (5.27) следует, что в режиме малого сигнала гостоянная составляющая тока нелинейного сопротивления зависит полько от постоянной составляющей приложенного напряжения, а гмплитуда переменной составляющей тока прямо пропорциональна шплитуде переменной составляющей напряжения.

Следовательно, в режиме малого сигнала рассматриваемое сопротивление едет себя подобно линейному, а нелинейность его проявляется только в том, то значения R„ и Я_диф зависят от выбора рабочей точки.

Анализ нелинейных резистивных цепей в режиме малого сигнала бычно выполняют в два этапа. На первом этапе анализируют нели- ейную цепь по постоянному току, при этом все нелинейные резистив- ые элементы представляют схемами замещения по постоянному току i частности*, двухполюсные нелинейные резистивные элементы пред- гавляют статическими сопротивлениями). На втором этапе вы- олняют анализ цепи по переменному току и все элементы цепи пред- гавляют схемами замещения по переменному току (двухполюсные глинейные резистивные элементы представляются дифференциаль- зши сопротивлениями). Окончательно реакцию цепи находят как су- грпозицию решений, полученных в процессе анализа по постоянному переменному току.

В р е ж и м е большого .сигнала ВАХ нелинейного ре- (стивного элемента в пределах рабочей области не может быть за­мена отрезком прямой и в полийоме (5.16), аппроксимирующем ВАХ окрестности рабочей точки, приходится учитывать члены, содержа- ие Аи в степенях выше первой^ В этом случае, как видно из выраже- 1Й (5.24), переменная составляющая тока включает в себя гармони- ские составляющие, частота; которых кратна частоте переменной

составляющей приложенного напряжения, постоянная составляющая тока отличается от тока покоя:

I — — (р -{- — а.₂ Uт Н ~°4 Um Ч'

2 О

а амплитуда первой гармоники 1_т1 не прямо пропорциональна ампли­туде переменной составляющей напряжения U_т.

Таким образом, в режиме большого сигнала постоянная составляющая тока и амплитуды всех гармоник зависят как от напряжения смещения, так и от ам­плитуды переменной составляющей напряжения U_m, поэтому раздельное ис­следование цепи по постоянному и переменному току становится невозможным,

Нелинейное сопротивление при одновременном

воздействии двух гармонических колебаний

Найдем реакцию нелинейного сопротивления на внешнее воздей­ствие х (t), представляющее собой сумму двух гармонических коле­баний различных частот:

х (i) --- Х_т1 cos aj + X_m2 cos a₂t. (5.28)

Пусть BAX нелинейного сопротивления аппроксимирована поли­номом второй степени

у --- а_хх + а₂х². (5.29)

Подставляя (5.28) в (5.29) и выполняя преобразования, получаем

у «/<*> + г/<²> + а₂Х_т1Х_т„ cos (со, — <a₂)i -h a₂X_rrnX,_ni X

>' cos («! + оi₂)t. (5.30)

Здесь г/*¹» и г/*²) — реакции рассматриваемого нелинейного сопротив­ления на воздействие каждой из составляющих х (t) в отдельности:

у^(Л) = -j- а₂ Xf_ni Х_т1 cos со_х ^-f- —- a., X„i cos 2(£>_х t;

(5.31)

г/⁽²⁾ = — а₂ Х^г_т2 -j- а, X_m2 cos (л, t + — а₂ Х'тч cos 2м₂ t.

2 2

Из выражений (5.30), (5.31) видно, что реакция нелинейного сопротивле­ния на одновременное воздействие двух гармонических колебаний различных ча­стот не равиа сумме реакций на воздействие каждого из гармонических колеба­ний в отдельности и содержит помимо постоянной составляющей н гармониче­ских составляющих с частотами &>! ,ы₂, гсо^ 2ю₂ колебания суммар­ной а>! -f- о>2 и разностной ы_г — а>₂ частот, которь<е называются колебаниями комбинационных частот. \

Способность нелинейных резистивных элементов преобразовывать частоту воздействующих колебаний с образованием постоянной со­ставляющей и колебаний кратных и комбинационных частот широко используется на практике для построения различных радиотехниче­ских устройств, таких, как преобразователи частоты, смесители, мо­дуляторы и демодуляторы.

Если функционирование устройства не связано с использованием нелинейных преобразований воздействующих колебаний, то нелиней­ность ВАХ реальных элементов приводит к искажению формы воздей­ствующих колебаний. Такие искажения называются нелинейными. Количественно они оцениваются с помощью коэффициента нелинейных искажений

kj — l//i +1з ~\~1\ + /А,

где /₂; /_а; /₄; ... — действующие значения всех гармонических со­ставляющих, кроме первой (основной) Д.

Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами