§ 1.2. Идеализированные пассивные элементы

Сопротивление

Используемые в теории цепей идеализированные двухполюсные элементы — сопротивление, емкость и индуктивность — являются пас­сивными, так как энергия, потребляемая ими от остальной части це­пи в любой момент времени, положительна или равна нулю.

Сопротивление — идеализированный пассивный элемент, в котором электрическая энергия необратимо преобразуется в какой- либо другой вид энергии, например в тепловую, механическую или световую. Запасания энергии электрического или магнитного полей в сопротивлении не происходит. Термин «сопротивление» используют не только для обозначения идеализированного элемента, но и как коли­чественную характеристику способности этого элемента преобразовы­вать электрическую энергию в другие виды энергии.

По свойствам к идеализированному пассивному элементу — со­противлению наиболее близки высококачественные резисторы — реальные элементы электрической непи, в которых электрическая энергия в основном преобразуется в тепловую. Важнейшей характе­ристикой резистора, которая определяет меру преобразования элек­трической энергии в тепловую, является его сопротивление. Помимо основного процесса —преобразования электрической энергии в теп­ловую — в резисторе имеют место также другие процессы, Например запасание энергии электрического и магнитного полей. Идеализиро­ванный элемент электрической цепи — сопротивление — можно рас­сматривать как упрощенную модель резистора, в которой абстраги­руется только его основная характеристика — сопротивление.

Итак, термин «сопротивление» можно использовать трояким образом — как основную характеристику реального элемента электрической цепи — резис­тора, как название идеализированного элемента электрической цепи и как един­ственную характеристику этого элемента.¹)

Условное графическое обозначение сопротивления приведено на рис. 1.2. Условно-положительные направления напряжения и тока показаны стрелками. Рядом с условным графическим обозначением сопротивления ставят его условное буквенное обозначение R.

Вольт-амперная характеристика резистора, т. е. зависимость между значениями тока и напряжения на его зажимах и=и (г) или i = i (и), в общем случае имеет нелинейный характер.

Рис. 1.2. Услов- Рис, 1.3. Статические вольт-амперные характеристики раз­ное графиче- личных резистивных элементов

ское обозначе­ние сопротивле­ния

И

а)

Соответствующие зависимости, полученные для постоянных токов и напряжений, или; точнее, для случая бесконечно медленно изменяю­щихся токов и напряжений, получили название статических вольт-амперных характеристик (рис. 1.3, а—в). Зависимости между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах резистора называются динамическими вольт-амперными характеристи­ками.

Используя зависимость между мгновенными значениями токов и напряжений на зажимах резистора, можно определить его стати­

_ческое и динамическое сопротивления. Статическое со­противление — это отношение мгновенных значений напряжения и тока на зажимах резистора:

Яст — ^UR^R- - U -7)

Динамическое сопротивление резистора определяется производ­ной мгновенного значения напряжения на его зажимах по току:

Ядин = du_R/di_R. (1.8)

Величина, равная динамическому сопротивлению при бесконечно медленном изменении тока и напряжения, получила название диф­ференциального сопротивления Я_днф. В об­

Рис. 1.4. Вольт-амперные характеристи­ки резисторов с нелинейным (а) и ли­нейным (б) сопротивлениями

щем случае динамическое сопро­тивление резистора не равно статическому, причем значения обеих величин зависят от поло­жения рабочей точки, т. е. от выбора пары значений и_г и ii на характеристике и =

= и (i) или i - i (и), при кото­рых производится определение Яст и Я_ди„. Пусть, например, определение R_cr и Я_дин произ­водится в рабочей точке I ----- l_lt и — Ui (рис. 1.4, а), Значение R_cT пропорционально tg а, т. е. тангенсу угла наклона прямой, про­веденной из начала координат в рабочую точку; значение /?_Д1Н пропорционально tg р, т. е. тангенсу угла наклона касательной к кривой и ----- и (i), в точке i ----- i_lt и — = и (/_х). Очевидно, что

для рассматриваемого случая R_cт> R_nim. Анализируя рис. 1.3, не­трудно убедиться, что в зависимости от выбора рабочей точки зна­чение R_дин может быть как больше, так и меньше нуля, а в частном

случае может равняться нулю, в то время как значение R_CT всегда больше нуля.

Когда зависимость между напряжением и током на зажимах рези­стора имеет линейный характер (рис. 1.4, б), значения R_CT и R_am не зависят от выбора рабочей точки и равны между собой: R_P,_t ~ ~ Rдип R, где R - сопротивление резистора.

Резистор, для которого зависимость напряжения от тока имеет линейный характер и, следовательно, значения статического и дина­мического сопротивлений равны между собой и не зависят от выбора рабочей точки, называется резистором с линейным сопротивлением. Резистор, для которого зависимость и ~ — и (/) или i -- i (и) имеет нелинейный характер, называется р е - зистором с нелинейным сопротивлением. Сле­дует отметить, что для большинства резисторов зависимости и — и (i) или i -- 1 (и) несколько отличаются от линейной, однако в ограничен­ном диапазоне изменений напряжения этой нелинейностью можно пре­

небречь и рассматривать сопротивление такого резистора как линей­ное.

Идеализированный элемент электрической цепи — сопротивле­ние — также характеризуется зависимостью между током и напряже­нием на его зажимах и определяемыми по этой зависимости значения­ми статического и динамического сопротивлений. Для линейно­го сопротивления зависимость между током и напряже­нием имеет линейный характер, для нелинейного сопро­тивления эта зависимость отличается от линейной. В дальней­шем, если не будет оговорено особо, ограничимся рассмотрением иепей с линейным сопротивлением.

Зависимость между током и напряжением на зажимах линейного сопротивления подчиняется закону Ома, который можно записать в виде

u_R = Ri_R (1.9)

или

i_R = Gu_R, (1-10)

где G = \IR — проводимость.

В ряде случаев при исследовании электрических цепей проводи­мость удобно рассматривать в качестве отдельного идеализированно­го двухполюсного элемента, имеющего такие же свойства и такое же условное графическое обозначение, как сопротивление, и буквенное обозначение G. Идеализированные элементы электрической цепи со­противление и проводимость относятся к так называемым резистив­ным или диссипативным (от латинского dissipare - - рас­сеивать); наличие их в цепи приводит к потерям электрической энер­гии, или, точнее, к необратимому преобразованию ее в другие виды энергии.

Значения сопротивления R и проводимости G не зависят от выбора рабочей точки, причем R^> 0 и G> 0. В Международной системе еди­ниц сопротивление выражают в омах (Ом), а проводимость в сименсах (См).

Мгновенная мощность сопротивления может быть найдена через значения сопротивления R или проводимости G:

PR -u_Ri_H ■ Ri% - Gur . (1.11)

Мгновенная мощность сопротивления при выбранных положитель­ных направлениях тика и напряжения (см. рис. 1 2) — положитель­ная величина. Электрическая энергия, поступающая в сопротивление и преобразуемая в нем в другие формы энергии, также всегда поло­жительная (кроме случая и_н - i_R -- 0):

t t t

w_R (t) - j рц dt --- R | i% dt - G j u%dt > 0. (1.12)

OO - oo —■ oo

Отметим, что w (t) является неубывающей функцией времени (по­скольку она вычисляется как площадь, заключенная под кривой P р (0> 0). Таким образом, в любой момент времени сопротивле-

1 С

_ние может только потреблять энергию от источников и ни в какие моменты времени сопротивление не может отдавать электрическую энергию другим элементам цепи.

Емкость

Емкостью называется идеализированный элемент электриче­ской цепи, обладающий свойством запасать энергию электрического поля, причем запасания энергии магнитного поля или преобразования электрической энергии в другие виды энергии в ней не происходит. По свойствам к идеализированному элементу — емкости — наиболее близки реальные элементы электрической цепи — конденсаторы. Ос­новной особенностью конденсатора является его способность запасать энергию электрического поля, однако в отличие от идеализированно­го элемента — емкости —в конденсаторе имеют место потери энер­гии в диэлектрике и обкладках, т. е. преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также происходит запасание энергии магнитного поля.

Таким образом, термин «емкость» можно использовать как название идеали­зированного элемента электрической цепа, как характеристику этого элемента, а также как основную характеристику конденсатора, определяющую его способ­ность запасать энергию электрического поля.

Условное графическое обозначение емкости приведено на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Условное графическое обоз­начение емкости

Зависимость заряда q, накопленного в емкости, от напряжения и_с, называемая кулон-вольтной характеристикой, имеет в общем случае нелинейный характер (рис. 1.6, кривая /).

Рис. 1.6. Кулон-вольтные характеристики емкости:

/ — нелинейная; 2 — линейная

Количественно зависимость заряда, накопленного в емкости, от напряжения оценивают значениями статической и динамической ем­костей: С_ст =• g/и и Сд„„ --- dq/du.

В общем случае динамическая емкость не равна статической, при­чем обе величины зависят от выбора рабочей точки на характеристике Я - q («). Если зависимость заряда, накопленного в емкости, от на­пряжения имеет линейный характер (рис. 1 6, кривая 2), то значения динамической и статической емкостей равны и не зависят от напряже­ния: С_лии =.- С,.г - С

В системе единиц СИ емкости С, С_ст и С_дин выражают в фарадах

(Ф).

Емкость, значение которой не зависит от напряжения, называет­ся л и н е й н о й; емкость, значение которой зависит от напряжения, — нелинейной. В дальнейшем, если не будет сделано особых оговорок, ограничимся рассмотрением только цепей с линейной ем­костью.

Найдем зависимость между мгновенными значениями тока и на­пряжения на зажимах линейной емкости. Очевидно, что всякое изме­нение напряжения и_с на зажимах емкости должно, в соответствии с ви­дом зависимости ц = q (и), привести к изменению заряда q. Производ­ная заряда по времени определяет ток емкости

г с = dq/dt = (dq/du_c) ldu_c!dt).

Учитывая, что для линейной емкости производная заряда по на­пряжению равна С и не зависит от напряжения и_с ■ С = dq!du_c = = q!u_c, получаем

(1.13)

Как видно из выражения (1.13), ток емкости пропорционален ско­рости изменения ее напряжения. Если напряжение на зажимах емко­сти не изменяется во времени, то ток емкости равен нулю. Таким образом, сопротивление емкости постоянному току бесконечно вели­ко.

Используя выражение (1.13), находим зависимость напряжения на емкости от тока:

(1.14)

Интегрирование ведется начиная с момента времени t — — оо для того, чтобы учесть все возможные изменения заряда емкости и, следовательно, напряжения и_с, причем предполагается, что в момент времени t — — оо напряжение на зажимах емкости равно нулю.

Пусть наблюдение процессов в емкости началось в момент времени t — t_Q. Напряжение емкости в начальный момент

(1-15)

j icdt. (1.15)

l 4 l t

Разбивая интеграл (1.14) на два: и_с с J '<'& f с «V dt и иеполь-

—т t,

зуя выражение (1.15), находим напряжение на емкости в произволь­ный момент времени t:

(1.16)

Мгновенная мощность емкости

du_r

Pc — ucic — Cuc——. (1-17)

at

Если напряжение на емкости (см. рис. 1.5) положительно (т. е. его направление совпадает с условно-положительным направлением, указанным стрелкой) и продолжает возрастать, то мгновенная мощ­ность емкости в соответствии с (1.17) будет положительной. В этом случае энергия поступает в емкость, т. е. она заряжается.

Если ис > 0 и убывает, т. е. dujdt< 0, то мгновенная мощность емкости отрицательна. Емкость при этом разряжается, т. е. отдает накопленную энергию во внешнюю цепь.

Энергия электрического поля, запасенная емкостью в произвольный момент времени t, определяется напряжением емкости или ее зарядом:

t “с и* ,

а)_С=а)_С (0 = § Pc dt =С j udu=C~ • С¹-¹⁸)

— оо О

Очевидно, что в любой момент времени t энергия, запасенная в емкости, будет неотрицательной величиной.

Таким образом, емкость является пассивным идеализированным элементом электрической цепи, который в зависимости от режима работы может либо запа­сать энергию электрического поля, получаемую из внешней по отношению к ем­кости цепи, либо отдавать накопленную энергию во внешнюю цепь.

Индуктивность

Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, в котором происходит запасание энергии магнит­ного поля. Запасания энергии электрического поля или преобразова­ния электрической энергии в другие виды энергии в ней не происхо­дит. Наиболее близким к идеализированному элементу — индуктив­ности — является реальный элемент электрической цепи — индуктив­ная катушка. В отличие от индуктивности в индуктивной катушке име­ют место также запасание энергии электрического поля и преобразова­ние электрической энергии в другие виды энергии, в частности в теп­ловую. Количественно способность реального и идеализированного элементов электрической цепи запасать энергию магнитного поля характеризуется параметром, на­зываемым индуктивностью.

^UL

о

Рис. 1.7. Условное графическое обоз­начение индуктив­ности

Таким образом термин «индуктивность» применяется как название идеализированного элемента электрической цепи, как название параметра, количественно характери­зующего свойства этого элемента, и как название основ­ного параметра индуктивной катушки.

Условное графическое обозначение индуктив­ности приведено на рис. 1.7.

Связь между напряжением и током в индуктив­ной катушке определяется законом элек-

. _r „ , n w n И H д у К ц и и, из которого следует, что при

изменении магнитного потока, пронизывающего индуктивную катуш­ку, в ней наводится электродвижущая сила е, пропорциональная ско­рости изменения потокосцепления катушки ¥ и направленная таким образом, чтобы вызываемый ею ток стремился воспрепятствовать из­менению магнитного потока:

е — —dWIdt. (1.19)

Потокосцеплен не катушки равно алгебраической сум­ме магнитных потоков Ф_;, пронизывающих ее отдельные витки:

О-²⁰)

t— I

где N — число витков катушки.

Если магнитный поток, пронизывающий все витки катушки, оди­наков ((Dj — Ф₂ = ... — Флг -- Ф), выражение (1.20) приводится к виду

¥ NO.

В системе единиц СИ магнитный поток и потокосцепление выражают в веберах (Вб).

Магнитный поток Ф, пронизывающий каждый из витков катушки, в общем случае может содержать две составляющие: магнитный поток самоиндукции Ф_си и магнитный поток внешних полей Ф_вп:

Ф - Ф_си + Ф_В11.

Первая составляющая представляет собой магнитный поток, вы­званный протекающим по катушке током; вторая — определяется магнитными полями, существование которых не связано с током ка­тушки — магнитным полем Земли, магнитными полями других кату­шек и постоянных магнитов. Если вторая составляющая магнитного потока вызвана магнитным полем другой катушки, то ее называют магнитным потоком взаимоиндукции.

Потокосцепление катушки ¥, так же как и магнитный поток Ф, может быть представлено в виде суммы двух составляющих: потоко­сцепления самоиндукции У , и потокосцепления внешних полей иг .

¹ BIT

UT^UT ]_ ш ^{х х} си ~ ¹ ни*

Наведенная в индуктивной катушке э. д. с. е, в свою очередь, мо­жет быть представлена в виде суммы э. д. с. самоиндукции, которая вы­звана изменением магнитного потока самоиндукции, и э. д. с., вызван­ной изменением магнитного потока внешних по отношению к катуш­ке полей:

^{е е}си + ^еъи-

Здесь е_си — э. д. с. самоиндукции; е_вп — э. д. с. внешних полей.

Если магнитные потоки внешних по отношению к индуктивной ка­тушке полей равны нулю и катушку пронизывает только поток само­индукции, то в катушке наводится только э. д. с. самоиндукции

в--,_си - dVJdt. (1.21)

Рис. 1 8 Вольт-ампериые ха­рактеристики индуктивной катушки-

/ нелинейная; 2 линейная

Потокосцепление самоиндукции ¥_сн зависит от протекающего по катушке тока i^. Эта зависимость, называемая в е б е р - а м и е р- _и о й характер lici II кой индуктивной катушки, в общем случае имеет нелинейный характер (рис. 1.8, кривая /). В частном случае, например для кат\ шкн без магнитного сердечника, эта зависи­мость может быть линейной (рис. I 8, кривая 2). Количественно за­висимость потокосцепления самоиндукции от тока определяется статической £_ст и динамической и н-

дуктивностями катушки:

L_CT ' L_WH -- dV.Jdi,.

Значения L_rT н L,_W1, в общем случае не равны между собой и зависят от выбо­ра рабочей точки (значения тока //.). При линейной зависимости потокосцепления самоиндукции от тока статическая и ди­намическая индуктивности катушек равны и не зависят от выбора рабочей точки:

Ll'i ~ ^днн L-

В системе единиц СИ индуктивности L_CT, L_mn и L выражают в г е н р и (Гн). В дальнейшем, если не будет сделано особых оговорок, ограничимся рассмотрением только цепей с линейной индуктивностью

Для катушки с линейной индуктивностью выражение (1.21) мо­жет быть преобразовано к виду

_е _ __^си ₌ ^си di_h _ ¥_си __ _ _L ^dlL

dt di_L dt i_L dt dt

При анализе цепей обычно рассматривают не значение э. д. с., наведенной в катушке, а напряженней/, на ее зажимах, положительное направление которого выбирают совпадающим с положительным на­правлением тока (см. рис. 1.7):

di.

u_L- —e=-L-—±-. (1.22)

Идеализированный элемент электрической цепи — индуктивность, можно рассматривать как упрощенную модель индуктивной катушки, отражающую способность катушки запасать энергию магнитного поля. Для линейной индуктивности напряжение ui. на ее зажимах пропор­ционально скорости изменения тока ii. и определяется выражением (1.22). При протекании через индуктивность постоянного тока на­пряжение на ее зажимах равно нулю, следовательно, сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

оаои^имисТГтока индуктивности IL от напряжения u_L может быть найдена путем интегрирования выражения (1.22):

t

Чтобы учесть все изменения напряжения на индуктивности, имев­шие место до рассматриваемого момента времени t, интегрирование ведется начиная с t — — оо, причем принимается, что при t = —оо ток индуктивности равен нулю. В момент времени t = t₀

^lo

II (t₀) = ~ J ul dt.

При известном значении i_L (t₀) интегрирование (1.22) в пределах от —оо до t может быть заменено интегрированием в пределах от t₀ до t:

основы 1

ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 1

да© 28

-“+²т^(‘~т^Л“—r‘^fal^L)+ 70

*т-т 89

ГН 181

х 212

J 242

От 265

1М-[: 445

й-йма-ь&Ч:;:]- 471

щ;:у:у. ' ПП 521

Мгновенная мощность индуктивности p_L определяется произведе­

нием мгновенных значений тока i_L и напряжения u_L:

di,

Pl — ul it = Lib - - ■ (1.24)

и будет положительной в моменты времени, когда индуктивность по­требляет энергию от остальной части цепи (i_L и u_L имеют одинаковый знак). В моменты времени, когда i_L и и_ь имеют различные знаки, индуктивность отдает запасенную ранее энергию остальной части цепи, т. е. p_L < 0.

Энергия, запасенная в индуктивности в произвольный момент вре­мени t:

* ^ Г '2 Т²

wl (t) — J p_Ldt=L J idi . (1.25)

— оо 0

Таким образом, энергия, запасенная в индуктивности, является неотрицательной величиной и определяется только током индуктив­ности или потокосцеплением самоиндукции.

Идеализированные элементы электрической цепи (емкость и ин­дуктивность), способные запасать энергию электрического или маг­нитного полей, называются энергоемкими или реактив­ными.

Дуальные элементы и цепи

Рассматривая полученные ранее соотношения (табл. 1.1), прихо­дим к заключению, что выражения, соответствующие попарно сопро­тивлению и проводимости, емкости и индуктивности, имеют подобную структуру. Если в выражениях, описывающих основные соотношения для сопротивления, заменить i_R на uq, u_r на ia, R на G, то получат­ся основные соотношения для проводимости. Аналогично, выражения, описывающие основные соотношения для емкости и индуктивности, могут быть получены одно из другого путем замены и_ь на i_c, i_L на и_с, L на С.

Таблица 1.1. Ток, напряжение, мощность и энергия идеализированных пассивных элементов

	Основные уравнения для
Тип идеализи­рованного элемента	тока	напряжения	мгновенной мощности	энергии
Сопротивление		uR = RiR	PR=Ri%	t WR= j Ri\dt —ОС
Проводимость	i'0=GttG	ua=iolG	pa=Gu q	t wa= J Guq dt —ОС
Емкость	duc — с dt	U(-> = Ug (fa) -j- t + ~£ J	&Uq p/п —— c c dt	WC~- Cuq!2
Индуктивность	(*o) + t	diL U f — Li " L dt	diL p =Li, — L L dt
	to

Элементы, для которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем таких за­мен, называются дуальными. Таким образом, емкость и индук­тивность, сопротивление и проводимость (попарно) являются дуаль­ными элементами.

Свойством дуальности обладают не только рассмотренные идеа­лизированные пассивные элементы. Из последующих разделов будет видно, что дуальными также могут быть идеализированные активные элементы и электрические цепи, составленные из идеализированных активных и пассивных элементов.

В ряде случаев использование принципа дуальности позволяет облегчить исследование процессов в цепи. Так. если известны основ-

ныс* соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то соот­ветствующие соотношения для дуальной цепи могут быть получены без вывода, на основании использования свойства дуальности.

Схемы замещения реальных элементов электрических цепей

При описании идеализированных пассивных элементов электриче­ских цепей подчеркивалось, что каждый из этих элементов отражает только одну существенную особенность электромагнитных процессов, имеющих место в реальных элементах электрических цепей. Каждый из рассмотренных идеализированных элементов имеет в качестве

С=3-

Рис 1.9. Схема замещения резистора

«прототипа» реальный пассив­ный элемент: резистор, индук­тивную катушку или конденса­тор. В то же время отмечалось, что процессы в реальных эле­ментах существенно сложнее, чем в идеализированных, в ча­стности в каждом реальном эле­менте наряду с основным имеют место также другие, так называемые паразитные процессы. Вследствие этого схемы замещения реальных элементов в общем слу­чае состоят из идеализированных элементов различных типов.

\^Rl.

и

6)

о)

5)

Рис 1.10. Упрощенные схемы замещения резистора (а), конденсатора (б) и индук­тивной катушки (а)

Рис. 1.11. Эквивалентные схе­мы конденсатора для низких (а), средних (б) и высоких (в) частот

На рис. 1.9 в качестве примера приведена схема замещения рези­стора, в которой наряду с основным элементом — сопротивлением то­конесущего слоя R — содержатся паразитные элементы: сопротивле­ние изоляции /?_из, индуктивность токонесущего слоя L_R, сопротивле­ние контактов R_K, индуктивность выводов L_H, сопротивление выводов Rв и емкость между выводами С„.

Вид эквивалентной схемы и параметры входящих в нее идеализи­рованных элементов существенным образом зависят от конструкции

„сального элемента, технологии его изготовления и особенностей при­меняемых материалов. Чем выше требуемая точность расчетов, тем большее количество факторов должно быть принято во внимание и тем более сложный вид будет иметь эквивалентная схема каждого элемен­та Вместе с тем излишнее усложнение эквивалентных схем существен­но увеличивает трудоемкость расчетов, вследствие чего при исследова­нии цепей стремятся использовать упрощенные эквивалентные схемы, содержащие минимально допустимое число элементов (рис. 1.10).

Следует отметить, что схемы замещения одного и того элемента мо­гут иметь различный вид в зависимости от рассматриваемого диапазо­на частот (рис. 1.11). Так, на довольно низких частотах при невысо­ких требованиях к точности расчетов эквивалентная схема индуктив­ной катушки может состоять только из индуктивности, характеризую­щей способность катушки запасать энергию магнитного поля, и со­противления, отражающего все виды потерь в ней. При этих же усло­виях эквивалентная схема резистора может состоять из одного эле­мента — сопротивления.