Позиционная система счисления

Системы счисления	Основание системы счисления	Алфавит системы счисления
Двоичная	2	0; 1
Восьмеричная	8	0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
Десятичная	10	0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Шестнадцатеричная	16	0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; А(10); B(11); C(12); D(13); E(14); F(15)

Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Алфавит системы счисления — это совокупность сим­волов, используемых в данной системе счисления.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления (ответ обоснуйте):

а) А₁₀ = А,234;

б) А₈ = -5678;

в) А₁₆= 456,46;

г) А₃ =22,2

Задание 2. Запишите числа, которые записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.

1) 156₇; 2) 3005,23₄; 3) 185,794₈; 4) 1102₂;

5) 1345,52₆; 6) 112,011₃; 7) 16,545₅; 8) В105,А₁₆;

9) 13Е,1К₁₆; 10) 56А,В2₁₀

Задание 3. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111?

Развернутая форма записи числа

В позиционной системе счисления число можно представить в развернутой форме (в виде суммы разрядных слагаемых) и в свернутой форме. Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

а_nа_n-1а_n-2 … а₁,а₀,а₁,а₂ =а_nbⁿ + а_n-1b^n-1 + ... + а₁b¹ + а₀b⁰ + а₁b^-1 + а₂b^-2 + ...

Десятичное число А₁₀= 4718,63 в развернутой форме будет имеет вид: 

А₁₀ = 4718,63₁₀ = 4*10³ + 7*10² + 1*10¹ + 8*10⁰ + 6*10^-1 + 3*10^-2.

Рассмотрим еще примеры записи чисел в развернутом виде

589₁₀ → 500 + 80 + 9 = 5*100 + 8*10 + 9*1 = 5*10²+8*10¹ + 9*10⁰

₁₀ = 5*10² + 8*10¹ + 9*10⁰

= 4*10⁵ + 8*10⁴ + 5*10³ + 7*10² + 6*10¹ + 3*10⁰

= 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰

= 7*8² + 6*8¹ + 4*8⁰

= 7*16² + 6*16¹ + 4*16⁰

= 5*10¹ + 4*10⁰ + 3*10^-1 + 2*10^-2

= 5*8¹ + 4*8⁰ + 3*8^-1 + 2*8^-2

= 5*16¹ + 4*16⁰ + 3*16^-1 + 2*16^-2

= 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2³

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Запишите числа в развернутой форме

	11110102		111101,0012		1110,112		100011102
	2174,55		5771,0015		89784515		514763175
	6479118		1622,848		1114878		113874,3348
	1214710		512001410		1874,59610		1554,01410
	1247,032116		15789416		163201,9816		88541216

Перевод чисел в десятичную систему счисления

1. Записать число в развернутом виде

2. Выполнить вычисления как в десятичной системе счисления

→ 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21₁₀

→ 3*8² + 4*8¹ + 7*8⁰ = 3*64 + 4*8 + 7*1 = 192 + 32 + 7 = 231₁₀

→ 10*16¹ + 1*16⁰ + 11*16^-1 = 10*16 + 1*1 + 0,6875 = 160 + 1 + 0,6875 = 161,6875

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Переведите числа в десятичную систему счисления

9498	7638	994,1258	523,258	203,828	335,78
14C,A16	215,716	1252,148	76,048	66,6816	1E,316
2795	281105	841,3755	800,31255	208,925	1247475
1110001112	1000110112	1001100101,10012	1001001,0112