Случай 1. , вещественные положительные корни.

, затухающая последовательность.

Случай 2. , вещественные, отрицательные.

Отрицательному корню соответствует знакопеременная затухающая последовательность.

Случай 3. Пара комплексно-сопряженных корней.

Соответствует колебательная затухающая последовательность.

Соответствие между S и Z плоскостью корней.

1. Окружности единичного радиуса плоскости Z  мнимая ось плоскости S.

2. Если корень S – действительный и отрицательный, то - положительное вещественное число, т.е. отрицательная вещественная полуось плоскости S отображается на отрезок положительной вещественной полуоси внутри окружности единичного радиуса.

3. Паре комплексно – сопряженных корней левой полуплоскости S отвечает или пара комплексно – сопряженных корней плоскости Z внутри окружности, либо два вещественных корня на отрицательной вещественной полуоси внутри окружности.

4.2 Корневые критерии качества

На длительность переходного процесса больше всего влияют корни, расположенные ближе всего к окружности единичного радиуса. Эти корни для непрерывных и импульсных систем называются доминирующими, затухают последними.

Зная эти корни, можно оценить время затухания переходного процесса.

1. В непрерывных системах минимальное по модулю значение отрицательной вещественной части корня характеристического уравнения называют степенью устойчивости. Зная степень устойчивости можно приближенно оценить время переходного процесса:

Степень устойчивости: .

Время переходного процесса: .

Для оценки времени переходного процесса в импульсной системе необходимо:

1. Z-преобразованием перейти от плоскости Z к плоскости S, и найдя корни характеристического уравнения в последней, оценить степень устойчивости и время затухания переходного процесса.

2. Запас устойчивости можно оценить по величине перерегулирования.

Если входной сигнал задан в качестве единичной ступенчатой функции:

,

Т.к. , то переходная функция – реакция:

,

Перерегулирование:

Допустимые значения определяются конкретным назначением системы.

4.3 Точность импульсных систем

Точность импульсной системы оценивают по установившемуся значению сигнала ошибки.

.

При ступенчатом воздействии установившаяся ошибка

Отсюда видно, что при ступенчатом воздействии ошибка будет равна нулю, если передаточная функция разомкнутого кон­тура имеет хотя бы один полюс, равный единице.

Аналогично можно показать, что при линейном воздействии ошибка равна нулю, если не менее двух полюсов равны единице.

Метод коэффициентов ошибок.

Значение ошибки в установившемся режиме при типовых внешних воздействиях можно как и для непрерывных систем оценить по коэффициентам ошибок.

Начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда:

, где коэффициенты ошибок представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке в ряд Маклорена по степеням z.

Величины, обратные множителям при производных по аналогии с непрерывными системами называются добротностями по скорости и по ускорению:

Если при постоянном входном воздействии в системе имеется ошибка  0 в установившемся режиме – система называется статической.

Если ошибка = 0, то астатической.

Если ошибка = 0 при линейно возрастающем воздействии, то система астатическая 2-ого порядка.

Порядок астатизма соответствует числу коэффициентов ошибок, равных 0, начиная с .

Коэффициент определяется как .

Для определения остальных коэффициентов нужно перейти к , где ,

, при подстановке .

Пример. Построим переходную характеристику системы, состоящей из «ключа», фиксатора и идеального интегрирующего звена.