Экзаменационные шпоргалки

1. Определения абсолютной и относительной погрешностей. Оценки абс. и отн. погр. Погрешность арифм. операций. Понятие верной цифры.

Классификац. погрешн.: 1. Неустойчивая погрешность – погреш. вход. данных. 2. Методическая погрешность – погрешн. метода решения задачи. 3. Вычислит. погрешность – погреш. представл. данных, округления.

(a*)=|a – a*| - модуль разности между точным и приближенным значениями.

δ(а*)=(a*)/|a|

Погрешность арифм. операций:

1) (а* ± b*)  (a*) + (b*). Д. (a* ± b*) – (a + b) =(a* - a) ± (b* - b)  (a*) + (b*).

2) a и b – ненулевые одного знака. (a*b*)  (a*) + (b*) + (a*)(b*). Д. (a*b*) = (a*b*)/ab =a*b* - ab/ab=(a – a*)b + (b – b*)a + (a – b)(a* - b*)/ab ((a*)b+ (b*)a+a - ba* - b*/ab  (a*) + (b*) + (a*)(b*).

3) (a*/b*)  ((a*) + (b*))/(1 - (b*)). Д. аналог., только b* = b + (b* - b).

Значащие цифры числа – все цифры в его записи, начиная с 1й ненулевой слева. Значащая цифра наз. верной, если абс. погр. не прев. единицы разряда, соответствующего этой цифре.

2. Вывод общей ф-лы погр. Обратная задача теории погрешностей.

Пост. Задачи: дана ф-ия n пер-х. y=f(x₁..x_n).

Т.(общая ф-ла) Пусть у имеет непр. частные производные по кажд. аргументу. Тогда (y)≈ _j=1ⁿf/x_i(x_j). Док: (для ф-ии 1перем) ф-ла конечных приращений Лагранжа f(x)- f(x_n)=f’(ξ)(x-x_n), ξЄ[x,x_n]. |f(x)-f(x_n)|  M₁|x-x_n|, M₁=max_{[x, xn]}|f’(x)|, (y)≈ |f’(x_n)| (x), а x_n– заданное значение аргумента, чтд.

_{Обратная задача теор. погр.: требуется задать погр. аргумента т.о., чтобы} (y)≈ε. Эта задача может быть решена с пом. принципа равных влияний. Будем предп., что кажд. слаг. в общей ф-ле погр-тей вносит равный вклад в величину (y): ε=(y)= _i=1ⁿ|f/x_i|(x_i), (x_i)= ε/(n|f/x_i|).

3. Представление чисел в ЭВМ. Особенности машинной арифметики. Понятие машинного эпсилон.

х = ±  * 2^р,  - t разрядов. х – с округлением по дополнению, тогда: х = *2^р,  = (1/2)*2^{-(t + 1)}. х = х/х = *2^р/*2^р = /  *2 = (1/2)*2 ^{-(t + 1)}*2 = 2 ^{-(t + 1)}  маш. .

4. Абсолютное и относительное числа обусловленности задачи. Обусловленность задачи вычисления функций одной переменной.

Под обусл. поним. чувствительность задачи к погрешности вх. данных. а = 3.34 ± 0.01, b = 3.35 ± 0.01. Вычисли (а + b) и (a – b). Абсолютное число обусл.: _: (у*)  _*(х*). Относит. число обусл.: _: (у*)  _*(х*). Задача хор. обусл, если _  10. Число обусл. ф-ии 1-ой переменной. Ф-ла погрешностей: (f*)  max_{[x, x*]}df/dx(x^*), max_{[x, x*]}df/dx- и есть абс. число обусл. _. Итак: _ = max_{[x, x*]}df/dx. (f*) = (f*)/f*  max_{[x, x*]}df/dx(x^*)*x*/(f*x*) = (max_{[x, x*]}df/dx*x*/ /f*)*(x*). max_{[x, x*]}df/dx*x*/f* – есть _. Итак: _ = max_{[x, x*]}df/dx*x*/f*.

5. Постановка задачи приближенного вычисления корня и основные этапы ее решения. Итерационное уточнение корней: порядок сходимости метода, оценка погрешности.

итерационное уточнение корня(ей). При этом получаем последовательность х⁽⁰⁾, х⁽¹⁾, … , х⁽ⁿ⁾, … приближений к корню х^. Итерац. процесс наз. схож. если lim_nx⁽ⁿ⁾ = x^. Итерац. процесс сход. со скоростью геометрич. прогрессии со знаменат. прогр. q, если справедливо, что x⁽ⁿ⁾ - x^  cqⁿ, c – const.

6. Метод бисекции: описание, ск-ть сходимости, критерий окончания.

Критерий окончания: х^ = х* ± . х*  [a⁽ⁿ⁾, b⁽ⁿ⁾], значит b⁽ⁿ⁾ - a⁽ⁿ⁾  2. х^ = х⁽ⁿ⁾ ± . Условия применимости: пусть f(x) непр. на [a, b], где [a, b] – отрезок лок. корня. Если f(a)f(b) < 0, то метод сход. (стягивается в точку х^). x⁽ⁿ⁾ - x^ (b – a)/2ⁿ⁺¹. Достат. кол-во итерац.: (b – a)/2ⁿ⁺¹    (b – a)/  2ⁿ⁺¹  n  [log₂((b – a)/2)] – 1, где [] – целая часть. Скорость сход.: x⁽ⁿ⁾ - x^  (b – a)/2ⁿ⁺¹ = ((b – a)/2)(1/2)ⁿ. Метод сход. со скоростью геометрич. прогрессии со знаменателем q = ½.

7. МПИ решения нелинейного уравнения: описание, условие и ск-ть сходимости, критерий окончания.

Дано: f(x) = 0, преобразуем в x = (x). Расчетная ф-ла: x⁽ⁿ⁺¹⁾ = (x⁽ⁿ⁾).

Т. Достаточное условие сход.: f(x) = 0,  x = (x), [a, b] – отрезок локализации корня х^. Тогда, если (х)  с¹[a, b], и '(х)  q  1 тогда х⁽⁰⁾  [a, b] метод сход., и оценка погреш.: x⁽ⁿ⁾ - x^  qⁿx⁽⁰⁾ - x^, x⁽ⁿ⁾ - x^  (q/(1 – q))x^(n-1) – x⁽ⁿ⁾. Д. x^ = (x^). x⁽ⁿ⁾ = (x^(n-1)). x⁽ⁿ⁾ - x^ = (x^(n-1)) - (x^) = '(ξ)(x^{(n – 1)} - x^), ξ  [x^(n-1), x].x⁽ⁿ⁾ - x^ qx^(n-1) - x^ …  qⁿx⁽⁰⁾ - x^. x(n) - x= (x^(n-1)) - (x^) = (x^(n-1)) – x⁽ⁿ⁺¹⁾ + x⁽ⁿ⁺¹⁾ - (x^) = (x^(n-1)) – (x⁽ⁿ⁺¹⁾)+ (x⁽ⁿ⁺¹⁾) - (x^) = '(ξ)(x^(n-1) – x⁽ⁿ⁾) + (ξ₂)(x⁽ⁿ⁾ - x^).x⁽ⁿ⁾ - x^ qx⁽ⁿ⁾ – x^(n-1)+ qx⁽ⁿ⁾ - x^ ч. т. д.

Критерий окончания итерац. x⁽ⁿ⁾ - x^  (q/(1 – q))x^(n-1) – x⁽ⁿ⁾  x⁽ⁿ⁾ – x^(n-1) (1 – q)/q. Замеч.: когда q  ½, величина (1 - q)/q  1  x⁽ⁿ⁾ – x^(n-1) . Сход. со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q

8. МН решения нелинейного уравнения: описание, теорема о сходимости, критерий окончания.

(Метод касательных). Ур-е касат к графику f(x) в точке M⁽ⁿ⁾(x⁽ⁿ⁾, y⁽ⁿ⁾): l(x⁽ⁿ⁾) = f(x⁽ⁿ⁾) + f '(x⁽ⁿ⁾)(x – x⁽ⁿ⁾). Ищем x^{(n + 1)}: l(x^{(n + 1)}) = 0  x^{(n + 1)} = x⁽ⁿ⁾ – f(x⁽ⁿ⁾)/f '(x⁽ⁿ⁾)  расчетная ф-ла.

Т. Условие сходимости. Пусть f(x) дважды дифф. на [a, b]. Тогда  такя -окрестность корня х^, что если взять х⁽⁰⁾ из нее, то метод сойдется, и оценка погрешности х⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^  x⁽ⁿ⁾ - x^². Д. Пусть f(x)  с²[0, 1], m = max_{[a, b]}f '(x), M = max_{[a, b]}f ''(x). 1. Запишем f(x) по ф-ле Тейлора: f(x) = f(x⁽ⁿ⁾) + f '(x⁽ⁿ⁾)(x – x⁽ⁿ⁾) + (f ''(ξ)/2)(x – x⁽ⁿ⁾)², где ξ  [a, b]. 2. 0 = f(x⁽ⁿ⁾) + f '(x⁽ⁿ⁾)(x^ – x⁽ⁿ⁾) + (f ''(ξ)/2)(x^ – x⁽ⁿ⁾)². 3. 0 = f(x⁽ⁿ⁾) + f '(x⁽ⁿ⁾)(x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x⁽ⁿ⁾). Вычтем (3) – (2): f '(x⁽ⁿ⁾)(x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x⁽ⁿ⁾) - f '(x⁽ⁿ⁾)(x^ – x⁽ⁿ⁾) + (f ''(ξ)/2)(x^ – x⁽ⁿ⁾)². Получим: f '(x⁽ⁿ⁾)x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^ = (f ''(ξ)/2)x⁽ⁿ⁾ - x^². x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^  (M/2m)x⁽ⁿ⁾ - x^². Следствия: 1. x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^  (q²)ⁿ/c, c - const, q = x⁽⁰⁾ - x^. 2. x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^  x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x⁽ⁿ⁾ 

Критерий оконч. итерац.: x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x⁽ⁿ⁾ . Скорость сход.: со скор. геом. прогр. со знаменателем q².

9. Сравнение итерационных методов по ск-ти сходимости. Применение МН для случая кратного корня.

МБ: x⁽ⁿ⁾ - x^  (b – a)/2ⁿ⁺¹ = ((b – a)/2)(1/2)ⁿ. МН:x⁽ⁿ⁺¹⁾- x^  (q²)ⁿ/c. МПИ x⁽ⁿ⁾ - x^  qⁿx⁽⁰⁾ - x^ cqⁿ. Будем говорить, что итер. проц. сх. со скоростью геом. прогрессии со знаменателем прогрессии q, если справедливо , чтоx⁽ⁿ⁾ - x^  cqⁿ, c – const. Все 3 м. сх. по геом. прогрессии: МБ q = ½, МН – q², МПИ – q.

Мод.МН: x^{(n + 1)} = x⁽ⁿ⁾ – mf(x⁽ⁿ⁾)/f '(x⁽ⁿ⁾), m – кратность корня, она неизвестна. При m = кратности корня, число итераций метода – минимально.

10. Обусловленность задачи поиска корня, интервал неопределенности.

В реальн. вычисл. $ такая d-окрестность корня х^½, в которой знак вычисл. ф-ии f*(x) не совп. со знаком f(x½)из-за погрешности вычисл. Становится невозм. опред… Этот отрезок (х^½-d, х^½+d) наз. интервал неопределенности. Если [х^½-d, х^½+d], то f(x) » f(x^½) + f '(x)(x - x^½) ® D ³ f(x) » f '(x)(x - x^½). ½x - x^½½£ D/½f '(x^½)½, ½x - x^½½¬ погрешность результата. Dу £ nDx, n - число обусловлености. Dх £ nD(f*), n_D = 1/½f '(x)½. Из этой оценки вытекает, что задача вычисления кратного корня явл. зад. вычисл. плохо обусловленного значения

11. Нормы векторов и матриц.

В пространстве R_n введена норма, если каждому вектору Х, сопост. вещ. число – норма х ® ||х||. Св-ва нормы: 1. ||х|| ³ 0 и = 0, когда Х = 0. 2. ||ax|| = ½a½||x||, x, y – векторы, a - число. ||x + y|| £ ||x|| + ||y||. Вектор Х = {x₁, x₂ … x_m}. 3 нормы: 1. ||х||₁ = S_i=1^m½x_i½. 2. ||х||_e = ÖS_i=1^mx_i². 3. ||х||_¥ = max_i½x_i½. Величина ||A|| = max_x¹0||Ax||/||x|| наз. нормой матр. А, подчин. норме векторов, введенных в R_n. Св-ва: 1. ||A|| ³ 0 (= 0, A = 0). 2. ||aA|| = ½a½||A||. 3. ||A + B|| £ ||A|| + ||B||. 4. ||AB|| £ ||A||||B||. 5. ||Ax|| £ ||A||||x||. 3 нормы: 1. ||A||₁ = max_jS_i=1^m½a_ij½. 2. ||A||_e = ÖS_i,j=1^ma_ij². 3. ||A||_¥ = max_iS_j=1^m½a_ij½. Геометрическая интерпритация: норма матр. А - это коэфф. макс. растяжения вект. х под действием матр. А по всем х из R_n кроме х = 0, т. е. k_max = ||A|| = max_x¹0||Ax||/||x||.

12. Обусловленность задачи решения СЛАУ. Числа обусловленности.

Обусл. – чувствит. зад. к погреш. вход. данных. Рассм. сис. Ax* = b*. Т. Dx* £ n_DDb*. n_D = ||A-1||. dx* £ n_ddb*. n_d = ||A||||A^-1||, где dx* = ||x^½-x*||/||x^½||. Д. Ax^½-Ax* = b–b*; x^½-x* = A^-1(b – b*); ||x–x*||(= Dx*) = ||A^-1(b – b*)|| £ ||A^-1||(= n_D)*||b – b*||(= Db*); ( ||b|| = ||Ax^½|| £ ||A||||x^½|| умножим на ||x^½ - x*|| £ ||A^-1||||b – b*|| ) ® ||x^½ - x*||||b|| £ ||A||||A^-1||||x^½||||b – b*||. Получим: ||x^½ - x*||/x^½ £ ||A||||A^-1||*(||b – b*||/||b||) или dx* £ n_ddb*. Итак, отн. число об. наз. вел.: n_d = ||A||||A-1||, ч. т. д. Аналогично м. показать, что dA* = ||A – A*||/||A|| для А*x* = b*; и dx* £ n_d(dA* + db*) для А*x* = b*.

14. МГ (схема единственного деления): описание метода, трудоемкость метода.

Прямой ход: m - 1 шагов. k – ый шаг: мастаб коэфф.: m_ik = a_ik^(k-1)/a_kk^(k-1), i = k + 1, … m. a_ij^(k) = a_ij^(k-1) - m_ika_kj^(k-1), i = k + 1, … m; j = k, … m. bi(k) = b_i^(k-1) - m_ikb_k^(k-1). Обратный ход: x_m = b_m^(m-1)/a_mm^(m-1). x_k = (1/a_kk)[b_k^(k-1) - S_j=k+1^ma_kjx_i^(k-1)]. Трудоемкость метода: 1 шаг: m – 1 деление, (m – 1)² умножение, (m – 1)² вычитание. 2 шаг: m – 2 деления, (m – 2)² умножение, (m – 2)² вычитание. 3. m – 1 шаг: все по 1 разу. Итого S_k=1^m-1k + 2S_k=1^m-1k² » 2m³/3 арифм. действий.

.

15. LU-разложение. Достаточное условие разложимости матрицы. Задачи, решаемые на основе LU-разложения.

Это тоже, как метод Гаусса, но только для самой матрицы А не трогая b. A = LU, L – НТМ, состоящая из масштабир. коэфф. построчно: L = (1, 0, … , 0; m₂₁, 1, 0, …, 0; … ; m_m1, m_m2, … , m_m,m-1, 1). матрица U – ВТМ, то, что остается от А в процессе преобраз. построчно: U = (a₁₁, a₁₂, …, a_1m; 0, a₂₁⁽¹⁾, …, a_2m⁽¹⁾; 0, 0, …, a_mm^(m-1)). Решение получаем так: Ly = b ® y, Ux = y ® x – ответ. Применимость: Если все главные миноры матр. А ¹ 0, то $ единств. LU-разл. матр. Примен. для реш. систем с разными правыми частями, т. к. LU – разл. требует (2/3)m³ арифм.ю действ., а остальные действия лишь 2m². Можно вычисл. определитель: detA = (-1)^sa₁₁⁽⁰⁾a₂₂⁽¹⁾…a_mm^(m-1), где s – число потребовавшихся перестановок строк.

16. МГ с выбором главного элемента по столбцу(схема частичного выбора): описание метода, его вычислительная устойчивость.

Условие: ½m_ik½£ 1. Для этого на каждом (k-ом) шаге метода выбир. макс. по модулю коэфф. из столбца, и меняют строки, чтобы строка с 1-ым макс. кофф. а_ij попала на первое место. Далее все тоже самое. Это чтобы уменьшить m_ik, чтобы погрешн.ь нарастала меньше.

17. МХ решения СЛАУ: описание метода, его преимущества.

(метод квадратных корней). Для симметрич. положительноопределенных матриц. Положит. опр. – жначит все собственные числа > 0, в некотор. случ. достат. проверять, что ½a_ii½ £ S_i¹j½a_ij½. А = LL^T. Матрица L имеcет вид: построчно: L = (l₁₁, 0, …, 0; l₂₁, l₂₂, 0, …, 0; l_m1, l_m2, …, l_mm). Вычислим эл-ты матр. LL^T и приравняем их к эл-там матр. А. Отсюда их и найднм. Ly = b ® y, L^Tx = y ® x. Примущ.: трудоемкость » m³/3 + 2m² арифм. действий, что в 2-ое меньше, чем у Гаусса. Симметрия матр. позволяет компактно хранить и затем замещать элементы а_ij элементами l_ij, метод гарантированно устойчив

18. Метод прогонки с 3-хдиагональной матрицей: описание метода, условия его применимости и достоинства.

построчно: (b₁, c₁, 0, …, 0; a₂, b₂, c₂, 0, …, 0; 0, a₃, b₃, c₃, 0, …, 0; 0, …, 0, a_m, b_m). Правая часть: d₁, d₂, …, d_m. Прямой ход – вычисл. прогоноч. коэфф.: При i = 1: a₁ = - с₁/b₁; b₁ = d₁/b₁. При i = 2, …, m-1; g_i = (a_ia_i-1 + b_i); a_i = - c_i/g_i; b_i = (d_i - a_ib_i-1)/g_i. Обратный ход – вычисл. х: x_m = b_m = (d_m – a_mb_m-1)/(a_ma_m-1 + b_m); далее: x_i = a_ix_i+1 + b_i, при i = m-1, m-2, …, 1. Трудоемкость » 8m арифм. действий. Условия применимости: Если ½b_k½ ³ ½a_k½+½c_k½; ½b_k½>½a_k½. Тогда, g_k ¹ 0, т. е. прогонка может быть довед. до конца и . ½a_k½ £ 1 – т.е. погрешность не накапливается.

19. МЯ решения СЛАУ: описание, условия сходимости, оценка погрешности.

(вариант метода простой итерации). Ах = b ® x = Bх + c, причем, b_ij = - a_ij/a_ii; c_i = b_i/a_ii. Т. Условие сходимости: Пусть Ax = b ® x = Bx + c (1); x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Bx⁽ⁿ⁾ + c (2). Если ||B|| < 1, то итер. процесс сход. к корню ур-я и справедл. след. оценки: ||x⁽ⁿ⁾ - x^½|| £ ||B||ⁿ * ||x⁽⁰⁾ - x^½|| (3); ||x⁽ⁿ⁾ - x^½|| £ (||B||/(1 - ||B||))*||x⁽ⁿ⁾ – x^(n-1)|| (4). Д.(3). Имеем системы: x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Bx⁽ⁿ⁾ + c и x^½ = Bx^½ + c, вычтем их: x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^½ = Bx⁽ⁿ⁾ - Bx^½ = В(x⁽ⁿ⁾ - x^½). ||x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^½|| = ||В(- x^½)|| £ ||В|||| (x⁽ⁿ⁾ - x^½)|| £ ||В²|||| (x^(n-1) - x^½)|| £ £ ||В||ⁿ⁺¹ * || (x^(n-1) - x^½)||. Д.(4). x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^½ = В(x^(n-1) - x^½) = В(x^(n-1) - x⁽ⁿ⁾ + x⁽ⁿ⁾ - x^½) ® ||x⁽ⁿ⁺¹⁾ - x^½|| = ||В(x⁽ⁿ⁾ - x^½) + + В(x^(n-1) - x⁽ⁿ⁾)|| £ ||В||||(x⁽ⁿ⁾ - x^½)|| + ||В||||(x^(n-1) - x⁽ⁿ⁾)||. (1 - ||В||)||(x⁽ⁿ⁾ - x^½)|| £ ||В||||(x^(n-1) - x⁽ⁿ⁾)|| ч.т.д. Из оценки (4) вытекает Критерий окончания итераций: ||(x^(n-1) - x⁽ⁿ⁾)|| < e(1 - ||В||)/||B||.

20. МЗ решения СЛАУ: описание, условия сходимости, оценка погрешности. Метод релаксации.

Модиф. метод простой итерации. Найденное на n-ом шаге значения неизвестных x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾ … сразу же вкл. в расчет последующих неизвестных. x⁽ⁿ⁺¹⁾ = B₁x⁽ⁿ⁺¹⁾ + B₂x⁽ⁿ⁾ + c. В₁ – нижняя D матрица, на главной диаг – 0. В₂ – верхняя D матрица, на главной диаг – 0. В = В₁ + В₂. Коэфф. по темже ф-лам, что и в МПИ: b_ij = - a_ij/a_ii; c_i = b_i/a_ii. Расчетная ф-ла: x_i⁽ⁿ⁺¹⁾ = S_i=1^i-1b_ijx_j⁽ⁿ⁺¹⁾ + S_j=i+1^mb_ijx_j⁽ⁿ⁾ + c₁, i = 1, …, m.

Метод релаксации – дальнейшая модификация метода Якоби. В нем, как и в Зейделе, находимые Х используются на этом же шаге, но формула выглядит так: . ω=0..2– коэффициент релаксации.

21. Каноническая форма записи расчетных формул итерационных методов. МПИ с оптимальным выбором параметра.

Ax=b. (x⁽ⁿ⁺¹⁾–x⁽ⁿ⁾)/+Ax⁽ⁿ⁾=b. Расчетная ф-ла МПИ с оптим. выбором параметра: x⁽ⁿ⁺¹⁾=x⁽ⁿ⁾-(Ax⁽ⁿ⁾–b). x⁽ⁿ⁺¹⁾=(E–A)(= B)x⁽ⁿ⁾+b. ( x⁽ⁿ⁺¹⁾ = Bx⁽ⁿ⁾ + c ). Для того, чтобы метод сход., надо ||B|| < 1, т. е. ||E - A|| < 1  условие сходимости.  = 2/(min + max).  - собственные числа матр. А. Условие сходимости будет выполнено и при   (0, 2/max).

МПИ с оптимальным выбором итерац. параметра. Расчетная ф-ла: х(n+1) = x⁽ⁿ⁾ – (2/m+M)f(x⁽ⁿ⁾). m и M – min и max f '(x), x  [a, b].

22. Аппроксимация функций по МНК. Постановка задачи. Вывод нормальной системы метода. Выбор степени аппроксимирующего многочлена.

В случае, если: 1. f(x) задана табл. 2. f(x) – вычисл. сложно. Задача: приблизить ф-ию f(x) ф-ией F(x), т. е. f(x)  F(x).  - средеквадр. отклон. должно быть миним.  = ((1/(n + 1))_i=0ⁿ(y_i – F(x_i))²)  min. Приближаем многочленом Р_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m = 0.  = ((1/(n + 1))_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)²)  min. _i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)²  min по a₀, a₁, a₂, …, a_m, т. е. g/a₀ = 2_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)*1) = 0; … g/a_m = 2_i=0ⁿ(a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + … + a_mx_i^m - y_i)*x_i^m) = 0; Получаем нормальную систему ур-ий МНК: (_i=0ⁿx_i⁰)a₀ + (_i=0ⁿx_i¹)a₁ + … + (_i=0ⁿx_i^m)a_m = _i=0ⁿy_i; … ; (_i=0ⁿx_i^m)a₀ + (_i=0ⁿx_i^m+1)a₁ + … + (_i=0ⁿx_i^2m)a_m = _i=0ⁿy_ix_i^m. Система симметрична и плохообусловлена. при m > 5 погрешность – катастрофическая. Из нее нах. a₀, a₁, a₂, …, a_m. Степень аппр. мн. m выбир. такой, когда ф-ия (m) имеет первый локальный минимум

23. Постановка задачи интерполяции. Т. о существовании и единственности интерполяционного многочлена.

Дана n + 1 точка, построить интерп. мн. степени n, так, чтобы P_n(x_i) = y_i. Т. интерполяц. многочлен  и единственен. Д. 1. Существование. Рассм. м-н Логранжа: L_n(x) = _i=0ⁿy_i((x – x₀)(x-x₁)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)…(x-x_n)/(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)). L_n(x) -  мн-ов n-ой степени, сам он тоже n-ой степени. L_n(x_k) = y_k, k = 0, 1, …, n. 2. Единственность. Рассм. P_n¹, P_n² – 2 интерп. мн-на n – ой ст. P_n(x) = P_n¹ - P_n². P_n(x_k) = 0; k = 0, …, n

24. Многочлен Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции.

см. чуть повыше

Погрешность интерп.: R_n(x)=y(x)–P_n(x). T. y(x)cⁿ⁺¹[x₀,x_n]. R_n(x)(M_n+1/(n+1))!_n+1(x), где: M_n+1=max_{[x0, xn]}y^{(n + 1)}(x); _n+1(x) = (x – x₀)(x - x₁)…(x – x_n). без. док. max_n+1(x) невелико внутри [x₀, x_n], а вне быстро растет.

25. Многочлен Ньютона с конечными разностями. Оценка погрешности.

. Применяется, когда сетка равномерна. Составим диаг. таблицу конеч. разностей: строка заголов.: x_i; y_i; y_i; ²y_i;… Возьмем интерп. мн. в след. виде: _n(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁) + … + a_n(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Условие: _n(x_i) = y_i. (x_k – x_k-1) = h. Рассмотри _n(x₀) = a₀ = y₀; _n(x₁) = … и выведи ф-лу: a_k = ^ky₀/(k!h_k). Интерп. м-н Н. при интерп. вперед от точки x₀: _n(x) = y₀ + (y₀/1!h)(x – x₀) + … + (ⁿy₀/n!hⁿ)(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Интер. МН при инт. назад от точки x_n: _n(x) = y_n + (y_n-1/1!h)(x – x₀) + … + (ⁿy₀/n!hⁿ)(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Оценка погреш.: как для Логранжа R_n(x)  (M_n+1/(n+1)!)hⁿ⁺¹. Преимущ.: при добавл. новых узлов надо только добавить новое слагаемое, можно строить от  точки табл.

26. Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция.

Глоб. – с исп. всех точек. Кусочнополин. – с использованиием части точек, мн-ми невыс. степ. Погрешность: max[x₀, x_n]f(x) – P_m(x) (M_m+1)/4(n + 1))/h_max^m+1, где m – степень интерп. мн-на, а M_m+1 = max_{[a, b]}f ^(m+1)(x).  from book. Из тетрадки: R⁽ⁿ⁾_инт  (M_n+1/(n+1)!)hⁿ⁺¹.

27. Интерполяция с кратными узлами.

Мы знаем в хi не только значения f(x_i), но и f '(x_i), … f^(k-1)(x_i). (x_i – узел кратности k), причем для всех точек (i = 0, …, m). Пусть k₁ – кратность 1-ого узла, …, k_m – кратность m-ого узла. n = k₀ + … + k_m.  единственный многочлен ст. n, такой, что P_n(x_i) = y_i; P'(x_i) = y'(x), … до (k – 1) для всех i = 0, …, m. 1. Задан один узел кратности k. P_n(x) = _i=0^k-1y₀⁽ⁱ⁾(x – x₀)ⁱ/(i!). 2. Заданы несколько точек кратности 2, т. е. мы знаем y(x_i) и y'(x_i). По каждым двум соседним точкам в этом случае строят мн-н Эрмита: P₃(x) = y_i-1((x – x_i)²(2(x – x_i-1) + h_i)/h_i³) + y_i((x – x_i-1)²(2(x_i – x) + h_i)/h_i³) + y'_i-1((x – x_i-1)(x – x_i)²/h_i²) + y'_i((x – x_i-1)²(x – x_i)/h_i²). (локальный сплайн). Погрешность max_{[x0, x1]}f(x) – P₃(x)  (M₄/384)h⁴, M₄ = max_{[x0, x1]}f⁽⁴⁾(x). h = (x₁ – x₀).

28. Понятие сплайна. Интерполяционный сплайн степени m. Различные виды граничных условий.

(Гибкая линейка). Условия: 1. Ф-ия S_m(x) и ее произв. до S^(p)_m(x) вкл. непрер. на [x₀, x_n]. 2. Значение S_m(x) на [x_i-1,x_i] представл. собой полином степени m. 3. S_m(x_i) = y(x_i). S_m(x) – интерп. сплайн. Деффект спл. есть m–p. Рассмотрим кубический сплайн: S₃(x) = P_3,i(x) = y_i-1((x – x_i)²(2(x – x_i-1) + h_i)/h_i³) + y_i((x – x_i-1)²(2(x_i – x) + h_i)/h_i³) + s_i-1((x – x_i-1)(x – x_i)²/h_i²) + s'_i((x – x_i-1)²(x – x_i)/h_i²). Граничные условия: 1. если известны y'(x₀), y'(x_n), то полагают, что s₀ = y'(x₀); s_n=y'(x_n), где s_i – наклон сплайна, s_i = S'_m(x_i). 2. известны y''(x₀), y''(x_n)  - 4s₀/h₁ – 2s₁/h₁ + 6(y₁ – y₀)/h₁² = y''(x₀); 2s_n-1/hⁿ + 4s_n/hⁿ – 6(y_n – y_n-1)/h_n² = y''(x_n). 3. естественный сплайн: y'(x₀) = y'(x_n) = 0. 4. отсутствие узла. выбор наклонов s_i производят так, чтобы P_3,1(x)=P_3,2(x); P_3,n-1(x)=P_3,n(x). для этого потребуем совпад. соотв. 3-их произв.: P'''_3,1(x₁) = P'''_3,2(x₁); P'''_3,n-1(x_n-1) = P'''_3,n(x_n-1). 2h₁^-3(y₀ – y₁) + h₁^-2(s₀ – s₁) = 2h₂^-3(y₁ – y₂) + h₂^-2(s₁ + s₂), 2h_n-1^-3(y_n-2 – y_n-1) + h_n-1^-2(s_n-2 + s_n-1) = 2h_n^-3(y_n-1 – y_n) + h_n^-2(s_n-1 + s_n).

29. Построение линейного и кубического сплайнов. Оценка погрешности приближения функции кубическим сплайном.

Лин. сплайн: y_i+((y_i+1–y_i)/(x_i+1–x_i))(x–x_i), x  [x_i, x_i+1]. Дефект =1. Куб. сплайн.: S₃(x)=P_3,i(x)=y_i-1((x–x_i)²(2(x–x_i-1)+h_i)/h_i³)+y_i((x–x_i-1)²(2(x_i–x)+ h_i)/h_i³) + s_i-1((x – x_i-1)(x - x_i)²/h_i²) + s'_i((x – x_i-1)²(x – x_i)/h_i²). Необходимо, чтобы P''_3,i(x_i) = P''_3,i+1(x_i), i = 1, 2, …, n – 1. P''_3,i(x_i) = 2s_i-1/h_i + 4s_i/h_i – 6(y_i – y_i-1)/h_i²; P''_3,i+1(x_i) = - 4s_i/h_i+1 – 2s_i+1/h_i+1 + 6(y_i+1 – y_i)/h_i+1². Эти рав-ва приводят к системе ур-ий отн. s_i: h_i^-1s_i-1+2(h_i^-1+h_i+1^-1)s_i+h_i+1^-1s_i+1 = 3[h_i^-2(y_i – y_i-1) + h_i+1^-2(y_i+1 – y_i)]. Дополняя условиями s₀ = y'(x₀); s_n = y'(x_n) получаем фундаментальный кубич. сплайн. Погрешность кубич. сплайна: y(x) – S₃(x)  cM₄h_max⁴, M₄ = max_{[x0, xn]}y⁽⁴⁾(x).

31. Унимодальные ф-ии.

Ф-ия f(x) наз. унимодальной, если x₁  x₂, то f(x₁)  f(x₂) при x₁, x₂  x_, а если x₁  x₂, то f(x₁)  f(x₂) при x₁, x₂  x^. (аналогично, ф-ия унимодальна, если для всех х  [a, b] f''(x)  0, то ф-ия унимод. на [a, b]. Поиск min: 1. нахождение отрезков унимодальности f(x). 2. Нах. т. мин. с заданной точностью. Необх. условие: y(x)  c²[a, b]; y'(x^) = 0; y''(x^)  0. Утв.: Если f(x) – унимод. на [a, b] и если    и выполнены условия f()  f(), тогда х^  [a, ], если f()  f(), тогда х^  [, b]. Утв.2. Если f(x) – унимод. на [a, b], то также унимодальна на любом [, ]  [a, b].

32. Решение задачи одномерной минимизации методом деления отрезка пополам. Алгоритм и оценка погрешности.

Утв.: Если f(x) – унимод. на [a, b] и если a < b и выполнены условия f(a) < f(b), тогда х^½ Î [a, b], если f(a) > f(b), тогда х^½ Î [a, b]. Утв.2. Если f(x) – унимод. на [a, b], то также унимодальна на любом [a, b] Ì [a, b]. На каждом шаге метода вычисл. 2 значения: a^(k) = (a^(k) + b^(k))/2 - d. b^(k) = (a^(k) + b^(k))/2 + d. d - параметр метода, причем 0 <d< (b – a)/2. Условие выбора новых границ: Если f(a⁽⁰⁾) £ f(b⁽⁰⁾), то [a⁽¹⁾, b⁽¹⁾] = [a⁽⁰⁾, b⁽⁰⁾]; а если f(a⁽⁰⁾) > f(b⁽⁰⁾), то [a⁽¹⁾, b⁽¹⁾] = [a⁽⁰⁾, b⁽⁰⁾]. D⁽ⁿ⁾ = b⁽ⁿ⁾ – a⁽ⁿ⁾ = (D - 2d)/2ⁿ + 2d. lim_n®¥D⁽ⁿ⁾ = 2d. ® d < e/2.

33. Решение задачи одномерной минимизации методом золотого сечения. Алгоритм и оценка погрешности.

ЗС отрезка наз деление на 2 наравные части, так, что D/D₁ = D₁/D₂. D - длина всего отрезка. a^(k) = а^(k) + (2/(3 + Ö5))(b^(k) – a^(k)); b^(k) = a^(k) + (2/(1 + Ö5))(b^(k) – a^(k)). Точка a осущ. золотое сечение не только отр. [a, b] но и отрезка [a, b]. a^(k) или b^(k) совпадают с предыд. знач. a^(k-1) или b^(k-1). Поэт. в отличие от деления на 2, необх. вычисл. только одно недостающ. знач. ф-ии. Далее выбирают так: если f(a^(k)) £ f(b^(k)), то [a^(k+1), b^(k+1)] = [a^(k), b^(k)], если же f(a^(k)) > f(b^(k)), то [a^(k+1), b^(k+1)] = [a^(k), b^(k)]. Погрешн.: ½x^½-x⁽ⁿ⁾½£(2/(1 + Ö5))ⁿ⁺¹D, D = b–a. n – число итераций.

34. Решение задачи одномерной минимизации методом Фибоначчи. Алгоритм и оценка погрешности.

Числа Фибоначи: F_n = F_n-1 + F_n-2, (n ³ 2). (1, 2, 3, 5, 8, 13, …). a^(k) = (F_N-k-1/F_N-k+1)(b^(k) – a^(k)); b^(k) = a^(k) + (F_N-k/F_N-k+1)(b^(k) – a^(k)). a^(k) или b^(k) совпадают с пердыд. знач. a^(k-1) или b^(k-1). Поэт. в отличие от деления на 2, необх. вычисл. только одно недостающ. знач. ф-ии. Новый отрезок локализации опред. по прафилу: если f(a^(k)) £ f(b^(k)), то [a^(k+1), b^(k+1)] = [a^(k), b^(k)], если же f(a^(k)) > f(b^(k)), то [a^(k+1), b^(k+1)] = [a^(k), b^(k)]. Погрешн.:½x^½ - x^(N-1)½ £ D/F_N+1, D = b – a. N – число итераций

35. МН поиска минимума для задачи одномерной минимизации. Трудности применения.

Условие: f(x) Î c²[a, b]. Если х^½ - точка мин., то f '(x) = 0, f ''(x) ­. Хочем: x⁽ⁿ⁾ » x^½.Возьмем за р – направление спуска. f(x⁽ⁿ⁾ + p) = f(x⁽ⁿ⁾) + (f '(x⁽ⁿ⁾)/1!)p + (f''(x⁽ⁿ⁾)/2!)p² + … f(x⁽ⁿ⁾ + p) » q(p) = f(x⁽ⁿ⁾) + (f '(x⁽ⁿ⁾)/1!)p + (f ''(x⁽ⁿ⁾)/2!)p². q(p) – парабола. q(p) – мин. по р. ® dq/dp = f '(x⁽ⁿ⁾) + f ''(x⁽ⁿ⁾)p = 0. Условие экстр.: p = - f '(x⁽ⁿ⁾)/f ''(x⁽ⁿ⁾) ® x⁽ⁿ⁺¹⁾ = x⁽ⁿ⁾ + p = x⁽ⁿ⁾ - f '(x⁽ⁿ⁾)/f ''(x⁽ⁿ⁾) ® x⁽ⁿ⁺¹⁾ = x⁽ⁿ⁾ - f '(x⁽ⁿ⁾)/f ''(x⁽ⁿ⁾) ¬ расчетная ф-ла. Метод облад. локальной сходимостью. Вблизи x^½ сход. квадратично. Критерий окончания: ½x⁽ⁿ⁾ - x^(n-1)½ < e.