Лабораторная работа №4

Задача 4.3. Дана система уравнений , где – симметричная положительно определенная матрица. Найти решение системы с точностью = с помощью метода релаксации (для этого модифицировать функцию zeid, реализующую метод Зейделя). Определить экспериментально параметр релаксации , при котором точность достигается при наименьшем числе итераций. Построить график зависимости числа итераций от параметра релаксации.

УКАЗАНИЕ. Параметр релаксации  следует задавать из условия сходимости метода: .

Например: =0.2, 0.4, …, 1.8.

Данные к задаче:

4.3.11

35

на главной диагонали элементы равны 180 , на 2-ой наддиагонали элементы равны 40, на 6-ой наддиагонали элементы равны 10.

Теория:

Метод последовательной верхней релаксации.

Метод последовательной верхней релаксации является одним из наиболее эффективных и широко используемых итерационных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений с симметричными положительно определёнными матрицами А. Этот метод часто называют SOR-методом (successive over relaxation). Частично популярность SOR-метода можно объяснить его простотой и тем, что он хорошо известен широкому кругу специалистов, занимающихся решением прикладных задач.

Суть метода релаксации состоит в следующем. После вычисления очередной i-й компоненты (k+1)-го приближения по формуле метода Зейделя

Производят дополнительно смещение этой компоненты на величину ( - 1)( ), где - параметр релаксации. Таким образом, i-я компонента (k+1)-го приближения вычисляется по формуле

Компактная формула для вычисления записывается следующим образом:

Как нетрудно видеть, при = 1 метод релаксации совпадает с методом Зейделя. При > 1 его было принято называть методом последовательной верхней релаксации, а при < 1 – методом последовательной нижней релаксации. В последнее время метод релаксации называют методом последовательной верхней релаксации для любых значений .

Если A – симметричная положительно определённая матрица, то при любом значении параметра (0< < 2) метод релаксации сходится. Часто оказывается возможным выбрать параметр > 1 так, чтобы SOR-метод сходился существенно быстрее, чем методы Якоби и Зейделя. Однако выбор параметра релаксации – довольно трудная задача. Во многих случаях она решается экспериментальным путём.

Существуют различные модификации метода релаксации. Распространённый вариант метода связан с использованием различных параметров для вычисления различных компонент очередного (k+1)-го приближения к решению.

Метод симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR) заключается в чередовании итераций по методу SOR с такими же итерациями, осуществляемыми для системы, в которой уравнения занумерованы в обратном порядке.

Решение:

очевидно , что при ω=1.2 точность достигается за наименьшее число итераций